非线性系统与混沌
在一个物理系统中，如果该系统的输入与输出成正比的话，则被成为线性系统，例如我们熟知的纯电阻电路系统，电路的输入电压与输出电流满足欧姆定律，是个典型的线性系统。
线性系统的动力学行为是由系统的线性（微分）方程组来描述，其数学结构相对简单，人们对其的研究已经相当完善了，在物理学和控制学等领域也得到了广泛的应用。
然而，我们的自然界的大部分系统本质上却是非线性的，即输入与输出并不是成正比关系，系统的（微分）方程含有非线性项。例如，当入射光的强度较大时，介质的极化强度与光强不再是成正比了，这就是所谓的非线性光学，是一个典型的非线性系统。
相对于线性系统，非线性系统看起来显然要复杂得多。因此，它又蕴含了许多线性系统所没有的有趣现象，从而吸引了众多数学家、物理学家以及各类工程学家的极大兴趣。其中最迷人但也最令人讨厌的现象就莫过于"混沌（chaos）"了。
所谓的混沌，简单的来说就是一个系统的响应对初始状态相当敏感，初始条件的一个微小的变化都可能会导致最终状态的巨大差别。一个最经典的例子就是蝴蝶效应：一只蝴蝶在巴西亚马逊轻拍翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。
混沌理论发展历程
混沌理论最早可以追溯到19世纪末期，当时大数学家、物理学家庞加莱在研究天体物理问题时发现，对于保守三体运动系统，有些轨道没有周期，并且这些轨道既不会越来趋向于无穷远处，也不会收敛到一个稳定点。这是人类历史上对混沌现象的最初的认识（当时还没有引入混沌的概念）。
在庞加莱之后，混沌现象并没有引起人们的重视，关于混沌的研究基本处于停滞状态。然而，到了1961年，事情迎来了转机，气象学家爱德华·罗伦兹在用计算机模拟天气情况时，发现大气运动系统对初值极为敏感，初始状态的任何一点微小的变化在演化一定时间后，都会导致完全不一样结果。
罗伦兹断言：准确地对天气做出长期的预测是不可能的。对此，他做了一个相当形象的比喻，也就是现在大家所熟知的蝴蝶效应。罗伦兹的工作揭示了：即使对于一个确定的方程，我们也可以得出完全随机的结果。这一观念可以说是对牛顿力学框架下的"确定论"思想提出了极大的挑战。
几乎在同一时期，数学家阿诺尔德和莫塞在数学上严格证明了科尔莫戈罗夫提出的一个物理问题，也就是著名的卡姆（KAM）理论。该理论从数学上严格说明了混沌现象是具有普遍性的。
罗伦兹的工作与卡姆理论问世之后，人们才开始慢慢意识到混沌现象的重要性，从而对混沌现象的研究也逐步进入正轨。1975年，詹姆斯·约克和李天岩在"周期三蕴含混沌"一文中第一次引入"chaos"这个术语，并被沿用至今。
随后，茹厄勒与塔肯斯提出可以用"奇怪的吸引子"来刻画混沌运动的整体形态；曼德布洛特将分形的概念引入混沌理论中，他发现混沌运动系统的相空间具有分形结构，即无穷层次的自相似结构；费根鲍姆发现了混沌中的分岔具有一些普适性规律，即后来著名的费根鲍姆常数。
这些工作表明，看似杂乱无章的混沌并不是完全随机的，相反，它却是有迹可循的，有着内在普适的规律。
混沌控制
事实上，人们对混沌一开始的认识就是混乱的，不可控的。然而，随着对混沌理论研究逐渐深入，尤其是对其内部乱中有序的认识之后，人们便开始思考：是否可以通过某些手段去控制混沌呢？
一方面，当混沌导致的随机性和不确定性给我们带来灾难时，我们能否可以通过某种手段去抑制或者消除混沌；另一方面，当我们需要混沌为我们带来便利时，我们又能否可以通过某些手段去产生我们所需要的混沌，或者将系统的混沌运动轨道调节到我们所需要的轨道。
带着这样的思考，直到1989年，布勒首次提出了混沌控制的概念。次年，奥特（Edward Ott），格里博格（Celso Grebogi）与约克（James A . Yorke）三人提出了一种参数微扰控制方法。
他们利用混沌对参数微扰的极度敏感性，通过对某个可调节的参数进行微调，从而使系统进入我们所期望的周期状态，达到控制混沌的目的。该方法开创了混沌控制的先河，问世之后，立马产生了及其深远的影响。人们根据该三位物理学家名字的首字母，将这项奠基性的混沌控制方法称作为OGY方法。
随后，在OGY方法的基础上，人们又发展了一系列其他改进的混沌控制方法，例如连续反馈控制法和自适应控制法。
另外，随着人工智能的发展，人们发现其可以运用到混沌控制中，提高控制的效率，例如神经网络控制和模糊控制已经成为近年来的热点方向。
混沌的应用
如前所述，我们的世界充满了非线性效应，而这些非线性效应往往会引起混沌。因此，混沌与混沌控制理论不仅仅是个数学的把戏，其更是拥有无比广泛的应用前景。
除了湍流、气象以及保守三体系统等物理问题，混沌理论在生物学等其它基础自然科学中也得到了广泛的应用。例如用混沌理论研究昆虫繁殖问题，甚至是经济学，金融学和政治学等社会科学也能经常见到混沌理论的身影。
另外，除了运用混沌理论去解释和解决以上科学问题以外，对于现代科技，混沌也有极大的应用前景。
在控制科学与工程领域，混沌控制可以广泛应用于各类非线性控制系统，提高系统的稳定性以及控制精度与效率；在信息学领域，我们可以利用混沌来实现保密通信，以及信息的压缩与存储。
随着人们对混沌与混沌控制理论研究的逐步深入，我们有理由相信，该项理论和技术会给我们人类带来更多的惊喜。
总结
综上所述，混沌是一个由非线性效应引起的一个相当独特的现象，具有对初值的敏感性、内禀的随机性、长期不可预测性以及分形性和普适性等特点。它表面上看似杂乱无章，内部实则另有乾坤。
在哲学范畴里，自牛顿力学建立起来后，决定论早已深入人心。然而，混沌理论和量子论的出现却动摇了人们对于决定论的信仰，从而引起了一场哲学思想的变革。
在自然科学的范畴里，混沌理论中蕴含着深刻而又丰富的数学与物理学的美，人们相信，在这些数学与物理学之美的背后必定暗含了宇宙的奥秘。
在应用科学的范畴里，混沌与混沌控制理论能为人类的技术发展带来无限的可能，其广阔的应用前景延升到了各个学科领域。
然而，故事并没有就此结束，人类对混沌的认识才只是刚刚开始，内部乾坤有待于我们继续发掘。亚马逊蝴蝶魔法的秘密，还需要我们数代人去慢慢解开。
参考文献：
[1] 维基百科, Chaos theory, https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory
[2] Alligood, K.T.; Sauer, T.; Yorke, J.A. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94677-1.
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[5] Feigenbaum, M. J. (1978). Quantitative Universality for a Class of Non-Linear Transformations. J. Stat. Phys. 19 (1): 25–52.
[6] Mandelbrot, B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. New York: Macmillan.
[7]Edward Ott, Celso Grebogi, and James A . Yorke, (1990) Controlling chaos, Phys. Rev. Lett. 64, 1196
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