摘要：升压拓扑结构在功率电子领域非常重要，但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在dc-dc升压转换器中，所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本，并确保在所需的导通模式下工作。
升压拓扑结构在功率电子领域非常重要，但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在dc - dc升压转换器中，所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本，并确保在所需的导通模式下工作。本文讲述的是在一定范围的输入电压下，计算电感值以维持所需纹波电流和所选导通模式的方法，并介绍了一种用于计算输入电压上限和下限模式边界的数学方法，还探讨了如何使用安森美半导体的WebDesigner?在线设计工具来加速这些设计步骤。
Conduction Mode
导通模式
升压转换器的导通模式由相对于直流输入电流(IIN)的电感纹波电流峰峰值(ΔIL)的大小决定。这个比率可定义为电感纹波系数(KRF)。电感越高，纹波电流和KRF就越低。
(1) 其中
(2) 在连续导通模式(CCM)中，正常开关周期内，瞬时电感电流不会达到零(图1)。因此，当ΔIL小于IIN的2倍或KRF <2时，CCM维持不变。MOSFET或二极管必须以CCM导通。这种模式通常适用于中等功率和高功率转换器，以最大限度地降低元件中电流的峰值和均方根值。当KRF > 2且每个开关周期内都允许电感电流衰减到零时，会出现非连续导通模式(DCM)(图2)。直到下一个开关周期开始前，电感电流保持为零，二极管和MOSFET都不导通。这一非导通时间即称为tidle。DCM可提供更低的电感值，并避免输出二极管反向恢复损耗。
图1 – CCM 运行
图2 – DCM 运行
当KRF = 2时，转换器被认为处于临界导通模式(CrCM)或边界导通模式(BCM)。在这种模式下，电感电流在周期结束时达到零，正如MOSFET会在下一周期开始时导通。对于需要一定范围输入电压(VIN)的应用，固定频率转换器通常在设计上能够在最大负载的情况下在指定VIN范围内，以所需要的单一导通模式(CCM或DCM)工作。随着负载减少，CCM转换器最终将进入DCM工作。在给定VIN下，使导通模式发生变化的负载就是临界负载(ICRIT)。在给定VIN下，引发CrCM / BCM的电感值被称为临界电感(LCRIT)，通常发生于最大负载的情况下。
纹波电流与VIN
众所周知，当输入电压为输出电压(VOUT)的一半时，即占空比(D)为50%时(图3)，在连续导通模式下以固定输出电压工作的DC-DC升压转换器的电感纹波电流最大值就会出现。这可以通过数学方式来表示，即设置纹波电流相对于D的导数(切线的斜率)等于零，并对D求解。简单起见，假定转换器能效为100%。
根据
(3)
(4) 和
(5) 并通过CCM或CrCM的电感伏秒平衡
(6)则
(7)将导数设置为零,
(8)我们就能得出
(9)
图3 – CCM中的电感纹波电流
CCM工作
为了选择CCM升压转换器的电感值(L)，需要选择最高KRF值，确保整个输入电压范围内都能够以CCM工作，并避免峰值电流受MOSFET、二极管和输出电容影响。 然后计算得出最小电感值。KRF 最高值通常选在0.3和0.6之间，但对于CCM可以高达2.0。 如前所述，当D = 0.5时，出现纹波电流ΔIL最大值。那么，多少占空比的情况下会出现KRF最大值呢？ 我们可以通过派生方法来求得。
假设η = 100%， 则
(10)
然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出：
(11)
(12) 对D求解，可得
(13)
D = 1这一伪解可被忽略，因为它在稳态下实际上是不可能出现的(对于升压转换器，占空比必须小于1.0)。因此，当D =?或VIN = ?VOUT时的纹波因数KRF最高，如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值LMIN、LCRIT和ICRIT。
图4 – 当D =?时CCM纹波系数KRF最高值
对于CCM工作，最小电感值(LMIN)应在最接近? VOUT的实际工作输入电压(VIN(CCM))下进行计算。根据应用的具体输入电压范围，VIN(CCM)可能出现在最小VIN、最大VIN、或其间的某个位置。解方程(5)求L，并根据VIN(CCM)下的KRF重新计算，可得出
(14) 其中VIN(CCM)为最接近?VOUT的实际工作VIN。
对于临界电感与VIN 和IOUT的变化，KRF = 2，可得出
(15)
在给定VIN 和L 值的条件下，当KRF = 2时，即出现临界负载(ICRIT)：
(16)
DCM工作
如图5所示，在一定工作VIN和输出电流(IOUT)下的电感值小于LCRIT时，DCM模式工作保持不变。对于DCM转换器，可选择最短的空闲时间以确保整个输入电压范围内均为DCM工作。tidle最小值通常为开关周期的3%-5%，但可能会更长，代价是器件峰值电流升高。然后采用tidle最小值来计算最大电感值(LMAX)。 LMAX必须低于VIN范围内的最低LCRIT。对于给定的VIN，电感值等于LCRIT(tidle= 0)时引发CrCM。
图5 – LCRIT 与标准化VIN 的变化
为计算所选最小空闲时间(tidle(min))的LMAX，首先使用DCM伏秒平衡方程求出tON(max)(所允许的MOSFET导通时间最大值)与VIN的函数，其中tdis为电感放电时间。
(17) 其中
(18)
可得出
(19)
平均(直流)电感电流等于转换器直流输入电流，通过重新排列(17)，可得出tdis相对于tON的函数。简单起见，我们将再次假设PIN = POUT。
(20) 其中
(21)
将方程(3)、(5)、(10)、(19)和(21)代入(20)，求得VIN(DCM)下的L
(22)
LMAX遵循类似于LCRIT 的曲线，且同在VIN = ?VOUT时达到峰值。为确保最小tidle，要计算与此工作点相反的实际工作输入电压(VIN(DCM))下的最低LMAX值。根据应用的实际输入电压范围，VIN(DCM)将等于最小或最大工作VIN。若整体输入电压范围高于或低于? VOUT(含? VOUT)，则VIN(DCM)是距? VOUT最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了? VOUT，则在最小和最大VIN处计算电感，并选择较低(最差情况下)的电感值。或者，以图表方式对VIN进行评估，以确定最差情况。
输入电压模式边界
当升压转换器的输出电流小于ICRIT与VIN的最大值时，如果输入电压增加到高于上限模式边界或下降到低于下限模式边界，即IOUT大于ICRIT时，则将引发CCM工作。而DCM工作则发生于两个VIN的模式边界之间，即IOUT小于ICRIT时。要想以图表方式呈现VIN下的这些导通模式边界，在相同图表中绘制临界负载(使用所选电感器)与输入电压和相关输出电流的变化曲线。然后在X轴上找到与两条曲线相交的两个VIN值(图6)。
图6 – 输入电压模式边界
要想以代数方式呈现VIN的模式边界，首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流，以查找交点：
(23)
这可以重写为一个三次方程，KCM可通过常数计算得出
(24) 其中
(25)
这里，三次方程通式x3 + ax2 + bx + c = 0的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出[1] [2]。在此情况下，x1项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量VMB。
我们知道
(26)
(27) 以及
(28)
(29)
由于升压转换器的物理限制，任何VMB ≤ 0或VMB > VOUT的解均可忽略。两个正解均为模式边界处VIN的有效值。
模式边界 – 设计示例
我们假设一个具有以下规格的DCM升压转换器：
VOUT = 12 V
IOUT = 1 A
L = 6 μH
FSW = 100 kHz
首先，通过(25)和(28)计算得出KCM和θ：
将VOUT和计算所得的θ值代入(29)，得出模式边界处的VIN值：
忽略伪解(-3.36 V)，我们在4.95 V和10.40 V得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。
图7 – 计算得出的模式边界
采用WebDesigner? Boost Powertrain加速设计
对于不同的升压电感值，手动重复进行这些设计计算可能会令人厌烦且耗费时间。复杂的三次方程也使输入电压模式边界的计算相当繁琐且容易出错。通过使用安森美半导体的WebDesigner?等在线设计工具，就能更轻松并显著地加速设计工作。 Boost Powertrain设计模块(图8)会自动执行所有这些计算(包括实际能效的影响)，并根据您的应用要求推荐最佳电感值。您可以从广泛的内置数据库中选择真正的电感器部件值，或者输入您自己的定制电感器规格，立即就能计算得出纹波电流和模式边界、及其对输出电容、MOSFET、二极管损耗、以及整体能效的影响。
图8 - WebDesigner? Boost Powertrain
结论
电感值会影响升压转换器的诸多方面，若选择不当，可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系，设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。
参考文献
[1] H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London： Oliver and Boyd, 1952.
[2] I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case," The Mathematical Gazette, vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008.
