考拉兹猜想
选取任意一个正整数。如果这个数字是偶数，除以2；如果它是奇数，乘以3再加1。现在，用你得到的新数字继续按上述规则处理。如此循环下去，你的数字最终都会变为1。
如选取的是6，根据上述规则，得出序列为6,3,10,5,16,8,4,2,1。如选取的是11，根据上述规则，得出序列为11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1。
这就是考拉兹猜想，是德国汉堡大学的学生洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出的。数学家们用了很多数字进行测试，发现没有哪个数字最终不会变为1的。但问题是，到现在还没人能证明考拉兹猜想。也许，有一些非常大的数字经过处理后，最终会逐渐趋向于无穷大，或者一些数字会被困在某个循环中，从而无法变为1。但是，从来没有人能够找出这样的反例。
移动沙发问题
假设你在搬家，想把你的沙发搬到新的公寓里。问题是，走廊有个拐角，你必须想办法把你的沙发弄过去。如果沙发很小，那么就不是问题了。如果沙发很大的话，那么它可能会卡在拐角处。如果你是一个数学家，你可能就会提出这个问题：可通过走廊拐角的最大的沙发是什么样的？它不必是一个矩形的沙发，它可以是任意形状。
上面就是移动沙发问题的基本内容。为了方便回答，这个问题还做了这些精简：整个问题只发生在二维空间中，拐角是90度，走廊的宽度为1。那么，可以通过走廊拐角的最大的二维图形是什么样子的？
可以通过走廊拐角的最大的二维图形的面积，还被称为“沙发常数”。然而，没人知道确切地知道这个二维沙发能有多大，数学家们只是知道一些相当大的沙发可以通过去，另一些更大的沙发却通不过去。当前的研究表明，沙发常数的数值应该在2.2195和2.8284之间。
完美的立方体问题
记得勾股定理不？直角三角形的两条直角边长为a和b，斜边为c，那么a2+b?=c?。如果三条边长度都是正整数，那么这三个数被称为一组勾股数。例如，(3,4,5)就是一组勾股数。
现在，让我们把这个想法扩展到三维空间中。在上面的立方体图示中， a、b、c代表着这个立方体的三条边，g代表着体对角线。那么，根据勾股定理，你会得到a?+b?+c?=g?。
我们的目标，就是找到a、b、c和g都是整数的立方体。也就是说，找到三维空间下的勾股数。数学家们进行了很多次尝试，但是到现在也没有找到一个立方体，其三条边和体对角线都是整数的。但是，他们也没能力证明这样的立方体是不存在的。所以，寻找这种完美的立方体的任务仍在继续。
内接正方形问题
在纸上画出一条闭合的线。这个线圈不一定是个圆圈，可以是任何形状，但线的起点和终点必须重合，而且线与线之间不能有交叉。在这个线圈里，你可以画出一个正方形，其四个顶点都处在线圈上。1911年，一位德国数学家提出了内接正方形问题：任何一个二维的闭合线圈，是否都至少有一个内接的正方形，其四个顶点都处在线圈上？
数学家们已经证明，在任何一个二维的闭合线圈，你都可以画出内接的三角形或矩形。但是，要想证明能画出正方形，就变得困难起来。到目前为止，还没有人能解决此问题。
幸福结局问题
这个问题之所以叫做“幸福结局问题”，是因为它导致了匈牙利数学家乔治·塞凯赖什和他的美女同学爱丝特·克莱因共谐连理。这个问题是从这个规律开始的：
在一张纸上随机地画出5个点，但要求其中任意3点不共线，那么不管你怎么画，你就总能找到其中的4个点，连接起来能构成一个凸四边形——4个内角都不大于180度的四边形。
这个是关于凸四边形的规律。后来，数学家们发现，要想画出一个凸五边形，你至少得需要9个点。而凸六边形，得需要17个点。至于凸七边形以及其他的凸多边形，数学家们就搞不清楚究竟至少需要多少个点了。
是否存在一个公式，可以告诉我们至少需要多少个点就能画出任意一种凸多边形呢？数学家猜测，公式可能是M=1+2N-2，其中M是点的个数，N是凸多边形的边数。但到目前为止，数学家们只是证明了M是不小于1+2N-2的，还无法证明它们是相等的。所以，幸福结局问题仍悬而未决。
