一、幂律分布
1897年，有一位叫帕累托（Pareto）的意大利经济学家在研究英国人的财富收入时，发现少数人的收入要远远多于大多数人的收入，提出了著名的“二八定律”（或80/20法则），即20%的人口占据了80%的社会财富。个人收入X不小于某个特定值x的概率与x的常数次幂存在简单的反比关系，即为Pareto定律。
1932年，哈佛大学的语言学专家Zipf在研究英文单词出现的频率时，发现如果把单词出现的频率按由大到小的顺序排列，则每个单词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系，这种分布就称为Zipf定律，它表明在英语单词中只有极少数的词被经常使用，而绝大多数词很少被使用。实际上，包括汉语在内的许多国家的语言都有这种特点。
Pareto定律与Zipf定律都是简单的幂函数，我们称之为幂律分布（Power Law Distribution）。
幂律分布和正态分布，并列为两大主导自然和人类现象的概率分布。
（1）正态分布的本质是独立性（independence），大量同质独立事件将导致正态分布（由大数法则保证）。
（2）幂律分布的本质是正反馈机制（positive feedbacak loop），当事件不再独立（a.事件之间通信成本降低；b.事件之间的作用力增强），一个事件的产生对自身和其它同质事件的产生发生影响时，会导致幂律分布。
幂律分布与正态分布的不同之处在于表现出“尖峰后尾”特征。尖峰厚尾特征，即均值附近与尾部区域的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。如下图所示：
所谓极值，是指股票价格偏离内在价值（或均值）的最大程度，也就是最高价或最低价。
所谓爆表：原意指仪表爆炸，通常指仪表指针超过表上所示的极限。
所谓极值爆表：是说新的价格突破了历史最高价或最低价，导致投资者爆仓。遭遇极值爆表，也被纳西姆·特勒布形象地称为“黑天鹅事件”。
黑天鹅事件（Black swan event)是指不可预测的重大事件，它罕有发生，但一旦出现，就具有很大的影响力。
在发现澳大利亚的黑天鹅之前，17世纪之前的欧洲人认为天鹅都是白色的。但随着第一只黑天鹅的出现，这个不可动摇的信念崩溃了。黑天鹅的存在寓意着不可预测的重大稀有事件，它在意料之外，却又改变一切。人类总是过度相信经验，而不知道一只黑天鹅的出现就足以颠覆一切。
几乎一切重要的事情都逃不过黑天鹅的影响，从次贷危机到东南亚海啸，从9.11事件到“泰坦尼克号”的沉没，黑天鹅存在于各个领域，无论金融市场、商业、经济还是个人生活，都逃不过它的控制。怎样才能避免小概率事件带来的重大损失？
极值，对应于上图中距均值几个标准差的位置（尾部区域）出现的观察值。由于金融数据是非正态分布的，也就是说表现出“后尾”特征：极值出现的概率应该大于正态分布情况下的概率。如果采用正态分布计算极值代表的概率，通常会低估风险。
长期资本管理公司，一家有世界顶尖的操盘手和诺贝尔经济学奖得主们管理的对冲基金，就是因为低估了市场的力量以及短期内价格能够偏离内在价值的程度，在1998年俄罗斯危机中被市场的极端行为“乱拳打死老师傅”的。其实，他们的持仓在清盘后的数月后迅速飙涨，只可惜他们的高杠杆注定了他们倒在了黎明前的黑暗里。
有一道填空题：市场持续非理性的时间可以长过（ ）。
凯恩斯说，可以长过你持续不破产的时间。
公募基金经理说，可以长过客户持续不赎回的时间。
私募基金经理说，可以长过信托持续不清盘的时间。
券商自营操盘手说，可以长过风控持续不平仓的时间。
由于市场经常是非理性的，所以投资者千万不能低估极值出现的概率和程度。宁可高估，也不可低估。因为，
当你交易次数足够多，总会有一个错误在前面等着你。
揭露交易本质，奋斗财富自由。
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