第一节 大数法则
大数法则（Law of Large Numbers），又称“贝努利大数定律”或“平均法则”，它是概率论中的一个最重要法则。它是指，某些“有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下，往往会呈现出几乎必然的统计特性。
比如：大量的做“扔硬币”的试验，随着试验次数的越来越多，试验的结果越来越呈现出“50%正面，50%反面”的现象。
一、大数法则
简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多、样本足够大时，事件出现的频率无穷接近于该事件发生的概率”，即频率的稳定性和平均结果的稳定性。
大数法则反应了世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个个体上，是杂乱无章的、毫无规律、难以预测的。但由于大数法则的作用，整体群体却能呈现某种稳定的形态。
例如，某个人乘飞机遇难，概率不可预料，对于他个人来说，飞机失事具有随机性。但是对每年100万人次所有乘机者而言，这里的100万人可以理解为100万次的重复试验，其中，总有10人死于飞机事故。那么根据大数法则，乘飞机出事故的概率大约为十万分之一。这就为保险公司收取保险费提供了理论依据。对于个人来说，出险是不确定的，对于保险公司来说，众多的保单出险的概率是确定的。
有一个小故事，比较有意思，有助于我们理解大数法则的意义。
一天，一位沙特王子入住葡京酒店。王子找到赌王，说：我就和你玩一把掷硬币。出正面我给你50亿美元，出反面你的赌场归我。赌王呵呵一笑：这个游戏固然公平，但不符合我们博彩业的行事法则。我们开赌场不做一锤子买卖，而是小刀锯大树。如果你真的想玩，我们就玩掷骰子，1000次定输赢。你赢了，可以把我的产业拿走，我赢了，只收你20亿。
沙特王子无奈，只好退出赌局。
这个故事是虚构的，旨在说明大数法则对于赌场的意义。开赌场不是一锤子买卖，而是“小刀锯大树”。
大数法则需要很大的样本数才能发挥作用，基数越大，结果就越稳定。随着样本的增大，随机变量对平均数的偏离是不断下降的。
投资，其实也是一个以概率为基础的游戏，讲究的是多次交易。美国著名技术分析大师约翰·墨菲曾经说过一句十分经典的话：“技术分析是历史经验的总结，其有效性是以概率形式出现的。”约翰·墨菲可谓一语道出了技术分析的本质。
交易者必须学会按照概率来思考，因为我们不可能提前知道每一笔交易的具体结果。我们知道，一套正期望值的交易系统，总会有一连串盈利的时候，也总会有一连串亏损的时候；我们知道，只要交易次数越多，基数越大，赚钱的结果就越稳定；一郑千金、豪气干云的赌博式下单，是高风险的行为，是不可取的。
当你明白了大数法则的意义，在交易的过程中，面对连续错误、不断小额亏损的情况，你会很淡定。因为你知道自己的交易系统的收益期望值是正的，你知道大数法则的作用。当你交易次数足够多，总会有好的结果在前面等着你。
二、小数法则
大数法则是统计学的基本常识，有人称为“统计学的灵魂”。大数法则虽然威力无穷，普通人却因其貌不扬而忽视，甚至经常错误地诠释大数法则，认为大数法则适用于大样本的同时，也适用于小样本。
针对这一现象，特维斯基（Tversky）提出了“小数法则”（law of small numbers）的概念。“小数法则”不是什么定律或法则，而是一种常见的心理误区，是人们将小样本中的某事件的概率分布看成总体分布。人们在不确定性的情形下，会抓住问题的某个特征直接推断结果，而不考虑这种特征出现的真实概率及与特征有关的其他原因。
用错误的心理学“小数法则”代替了正确的概率论“大数法则”，经典表现就是“赌徒谬误”。赌徒谬误可由重复抛硬币的例子展示。
抛一个公平硬币，正面朝上的机会是0.5（二分之一），连续两次抛出正面的机会是0.5×0.5=0.25（四分之一）。连续三次抛出正面的机会率等于0.5×0.5×0.5= 0.125（八分之一），如此类推。
现在假设，我们已经连续四次抛出正面，接下来要再抛一次，你认为出正面的概率大，还是出反面的概率大？
A：出正面的概率大
B：出反面的概率大
C：各占50%
犯赌徒谬误的人说：“如果下一次再抛出正面，就是连续五次。连抛五次正面的机会率是(1/2)5 = 1/32。下一次抛出正面的机会只有1/32，所以，出反面的概率大，选B。”
以上论证步骤犯了谬误。假如硬币公平，定义上抛出反面的机会率永远等于0.5，不会增加或减少，抛出正面的机会率同样永远等于0.5。连续抛出五次正面的机会率等于1/32(0.03125)，但这是指未抛出第一次之前。抛出四次正面之后，由于结果已经确定，不在计算之内，无论之前硬币抛出过多少次和结果如何，下一次抛出正面和反面的机会率仍然相等。
实际上，计算出1/32机会率是基于第一次抛出正反面机会均等的假设。因为之前抛出了多次正面，而论证今次抛出反面机会较大，属于谬误。这种逻辑只在硬币第一次抛出之前有效。
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