出品：科普中国
制作：中国科学院数学与系统科学研究院 黄逸文
监制：中国科学院计算机网络信息中心
（一）圆周率级数表达公式
自古以来，人们就痴迷于如何计算圆的周长。以拉丁字母π标记的圆周率，其定义就是一个圆的周长相对于其直径的比。尽管圆是如此地简单和完美，在生活中更是有举足轻重的应用，但是众多先贤对计算π的精确值却一筹莫展。
早在古希腊时期，主流的毕达哥拉斯学派就认为世界上所有的数都是有理数。具有讽刺意义的是，无理数正是毕达哥拉斯的弟子所发现，因为和主流思想相悖，最终被其学派迫害身亡。然而对π是有理数还是无理数的争论，以及如何简单便捷地计算出π的具体值却困扰了人们1000多年。
早在南北朝时期，中国的祖冲之用古老的算筹计算出圆周率π的近似值介于3.1415926到3.1415927之间。如此精确地测量圆周率有着积极的现实意义。他因此能够修正古代的量器容积的计算，极大地改进了生产实践的需要。尽管如此，祖冲之的方法虽然简单，但却需要极为持久的耐心和仔细，以至于他的记录直到一千多年后才被打破。圆周率π就好像一份宝藏，为它的主人牢牢地守护着自己的秘密。
这个公式将圆周率精确地表达为数学的级数公式，一举揭示了作为无理数π的终极秘密。它是由德国数学家莱布尼茨在1673年发现，也因此被后世称为莱布尼茨公式。事实上，与莱布尼茨同时期的苏格兰数学家格列固里、印度数学家索马亚吉均独立发现了类似的级数公式。在参与人们的生活数千年后，圆周率π终于第一次清晰地展露出自己的的真实面目。
（二）欧拉公式
这个公式是由瑞士数学家欧拉发现。该公式由5个数学上最简单的符号组成，它通过3种基础运算，即加法、乘法和幂运算就将1、0、π、i和e这五个数学中最重要的数字联系在了一起，堪称天才的完美之作。
它是数学与世界之间兼具理性色彩与深邃之美的巅峰之笔。它是纯粹的数学之美，淋漓尽致地展现出数学作为跨文化、跨种族的通用语言的简单与和谐，让人们得以一窥数学穿越宇宙时空通行无碍的完美特性。
（三）傅里叶级数
特别的，对以[-π,π]为周期的可微分函数f（x）有如下的无穷级数表达式：
1807年，法国数学家傅里叶发现任何可微分的函数都可以用正弦函数与余弦函数的加和表示出来，不论原始函数的图形多么诡异，这种表示都可以达到任意需要的精度。
透过傅里叶发明的数学工具，数学分析领域进入了全新的时代。从数学的角度来看，傅里叶的定理告诉我们，任何曲线不论其本质如何，都可以用数不尽的简单曲线加以取代，或者说，所有曲线都可以用堆叠波纹的方式加以呈现。这提供了人们认识事物的极为强有力的工具。
时至今日，世界上很多领域都受益于傅里叶级数的应用。从震荡分析到影像处理，从激动人心的音乐创作到信息时代大放异彩的通讯技术，到处都有傅里叶级数的踪迹。甚至人们可以通过遥远星空所发出的光就能分析所在星球的化学成分，历史上人们就是通过光的频谱分析才逐步认识到太阳发光发热的秘密等等。这一切，都是傅里叶级数的应用带给世界文明的馈赠。
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