《战狼2》的热映，掀起了一股军事热。有科普武器的，有讲解军事常识的，有上网打听也门撤侨事件的。战争电影总是让人思绪万千——关于汗水、关于鲜血、关于牺牲与奉献。
《战狼2》海报[1]
这不由得让人想起了第二次世界大战。作为人类历史上规模最浩大、影响最深远的战争，第二次世界大战，不仅在地域上横跨六大洲、三大洋，而且包括了政治上的斡旋、军事上的攻防，以及幕后智力上的较量。
亚伯拉罕·瓦尔德，就是这样一位隐居在幕后的英雄。
奥地利的穷学生
亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald，也译阿夫拉姆·沃尔德），1902出生于克劳森堡（Cluj-Napoca）。当时的克劳森堡隶属于奥匈帝国，所以随着第一次世界大战的结束和奥匈帝国的解体，瓦尔德的家乡也改换门庭，成为了罗马尼亚的一部分。
瓦尔德 [2]
随后的故事，老实说，有点缺乏可陈。和所有优秀的数学家一样，瓦尔德很早就显示出了极高的数学天赋，顺利进入大学，选了几个门外汉（比如我）听到名字就会头痛的课程，比如度量空间。
不一样的地方在于，瓦尔德选择了奥地利，进入了维也纳大学，他的求学生涯，恰好赶在第一次世界大战和第二次世界大战之间。20世纪20年代的欧洲，就像一间失火的屋子。所有人都知道大事不妙，但是谁也不知道该怎么办，于是，各自使出了自己的求生手段，种族主义、反犹情绪，等等等等。
今天的维也纳大学[3]
在这样的氛围下，作为一个犹太人，想在大学找到教职，显然是不可能的。多亏了摩根?斯特恩（Morgenstern，博弈论的创立者），瓦尔德才找到了一份可以勉强糊口的工作。[4]
尽管时运不齐，命途多舛，瓦尔德仍然不愿意放弃自己对数学的热爱，希望能找一个可以安心研究数学的职位。1938年，纳粹德国占领奥地利以后，瓦尔德终于下定了决心——接受考尔斯基金会（Cowles Commission for Research in Economics）的邀请，去美国。[2]
实验室里的特殊分子
瓦尔德是幸运的，他不仅顺利逃到了美国，而且几经辗转，进入了哥伦比亚大学的统计研究小组；瓦尔德也是不幸的，一方面，他的家人因故滞留欧洲，死在了纳粹的折磨之下，另一方面，他是统计研究小组最特殊的一个。
统计研究小组所在地（图片来源见水印）
当时的统计小组，集合了全世界最顶尖的头脑。比如弗雷德里克.莫斯特勒，哈佛大学统计系的创建者，比如，诺伯特?维纳，控制论的创始人。
而瓦尔德呢？
虽然大家认可他的数学能力，但是他毕竟是一位来自敌国的侨民。所以，就出现了一个是很古怪的现象：瓦尔德必须根据需要，写一些分析报告，因为人家请他来，就是干这个的；不过，写完、上交以后，瓦尔德没有权力查阅这些报告，因为这些报告属于机密……
建立信任需要契机，那个契机很快就来了。
从某种意义上讲，第二次世界大战是飞机战的开端，谁抢到了制空权，谁就占据了主动。所以，战争期间，几乎每天都有大量飞机参战。于是问题就来了：敌人也不是吃干饭的，你派飞机过去，人家自然会反击，一来二去，飞机中弹、乃至失事，再正常不过，该怎么提高飞机的生存率呢？
最简单的方案，就是给飞机增加装甲。当时的美国军方做了一番调查，统计了飞机各部位的中弹数量。因为飞机对重量很敏感，没办法搞成坦克那个铁疙瘩样儿，所以，装甲必须加在最需要的地方。
哪里最需要装甲呢？
军方的统计数据[4]
看过这张图表以后，相信很多人的第一反应是，“机身最需要”。
军方也是这么认为的，而瓦尔德，却给出了截然相反的答案：引擎才是最需要加强的。
为了理解这个问题，我们可以假设，敌人发射的不是子弹，而是一团一团的油漆。一批飞机起飞、和敌人交战，然后返回。因为飞机的机动性很强，空战又是立体式的，敌人可能出现在任何一个方位。也就是说，飞机中弹，是一个随机时间；对一架飞机来说，每一部分中弹的概率，是均等的；如果对这些飞机做一个统计，每个部位出现的油漆数量，应该十分接近。
这个结果为什么和军方的调查数据不一样呢？
因为引擎中弹的飞机，往往飞不回来……
二战飞机[5]
安装装甲的目的，是增加所有飞机的存活率。如果只关注那些顺利返航的飞机的中弹情况，就会陷入逻辑误区，这就是大名鼎鼎的幸存者偏差（survivorship bias）。这一理论，在今天，仍然有着很强的现实意义。比如，著名的脸书公司，在分析用户偏好、处理用户数据的时候，就用到了瓦尔德的理论；[5]再比如，当你在网上搜集减肥攻略的时候，你一定要记住：会在网络上分享减肥攻略的，通常是已经减肥成功的，这些人是“幸存者”，他们的经验，不能照单全收。
决策论大师
一辈子做一件了不起的事，就足以留名青史了。然而，瓦尔德的征程才刚刚开始，还有更大的考验在等着他。
瓦尔德[6]
打仗，打的是兵马钱粮。枪支、弹药、火炮，不仅要有，而且要好。任何一个环节出了问题，都有可能影响一场战役。所以，军用物资的检验，是一个大难题。
比方说吧，生产商生产了一万发炮弹，军方如何组织验收呢？
最直接的方案，是挨个儿试、一发一发地打，然后做个统计表。当然，这么做也就失去验收的意义了……
战争时期的哥伦比亚大学工作人员[7]
最常用的方案，是抽样检查。验收的一方，先定下一个标准，好比说，“炮弹合格率必须大于99%”；根据这个标准，挑选合适的样本数量，抽取两组，每组五百发，分别做测试，计算平均合格率；最后，用样本的合格率，估算所有炮弹的合格率。
不过，军用物资比较特殊。要检查炮弹的合格率，你得先把它运到靶场吧？还得准备一些火炮吧？每个样品都得发射出去吧？这一笔一笔的，都是钱呐。第二次世界大战期间，美国以一国之力，参与欧洲、北非、太平洋三大战场，哪怕再有钱，也得省着点花。
为了解决这样的难题，瓦尔德开创性地提出了序贯分析的方案。[8]所谓序贯分析，就是按照一定的顺序、次第进行抽样。一万发炮弹，要求合格率99%，平均来说，一百发炮弹里，最多可以有一发不合格的。那么，从里面先抽一百发出来，进行测试，如果不合格的炮弹数量大于一，就不用接着测试了，这批炮弹极有可能不符合要求；如果不合格的炮弹数量少于一，可以通过数学计算，判断接下来还要不要借着抽，需要抽多少。因此，与传统抽样调查不同，序贯分析并不事先规定样本数量，而是边抽边检、根据结果调整后续行动。这样，就能充分利用抽样检查的结果，既能保证准确性，又能大为减少浪费。[9]
大规模军事行动中，设备、物质可靠性非常重要[10]
序贯分析，现在被称之为序贯概率比检验（Sequential probability ratio test，SPRT）是一种十分杰出的数学思想。自其诞生以来，不仅在军事科学被广泛运用[11]，而且影响到了许多其他学科。
我举个例子吧，中国是胃癌大国，而提高胃癌存活率的关键，是早期诊断。与此同时，中国人口众多，挨个做详细检查，就算有那个钱，也没那么多医生。所以，可以运用序贯分析的思想。首先，向人们发放调查问卷，有没有上腹疼痛啊，有没有食欲不振、消化不良啊，每一项都标注一个数字，表示与胃癌的关联度；总分数特别低的，很好，患胃癌的概率很低，不用接着查了，分数比较高的，通过生化测试，检查胃癌标记物；如果胃癌标记物显示为阳性，就做详细的胃镜检查。这样，通过序贯分析，不仅可以节约资金，还能及早发现胃癌患者，提高其生存率。[12]
结语
因为序贯分析这个事儿，瓦尔德还和费歇尔（杰出的统计学家，被称之为“统计界的凯撒”）闹过别扭。费歇尔认为，统计学的任务是进行数据分析、获取相应的信息，而不是做出决策；至于瓦尔德，干脆根据自己的研究，提出了统计决策理论。
村上春树在《海边的卡夫卡》中写道：“世界万物，无一不是隐喻。”身为普通人，我们都希望事件与事件是有关联的，比如，阳台上出现一只喜鹊，便意味着好事要发生。然而，“随机”才是宇宙的本来面目。只有依靠统计，我们才能在变化莫测的世界生存。
令人难过的是，1950年12月，瓦尔德因飞机失事遇难。一辈子研究随机性的人，最终殒命在一个随机性事件上。
美国战争部的宣传画，左，数学拯救生命，右，数学抗击纳粹[13]
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参考文献
[1] 战狼2 (豆瓣)[EB/OL]. [2017-08-12]. https://movie.douban.com/subject/26363254/.
[2] Abraham Wald[J]. Wikipedia, 2017.
[3] Universit?t Wien[J]. Wikipedia, 2017.
[4] 乔丹?艾伦伯格. 魔鬼数学[M]. 胡小锐, 译. 中信出版集团, 2015.
[5] How A Story From World War II Shapes Facebook Today[EB/OL]. [2017-08-01]. https://www.fastcodesign.com/1671172/how-a-story-from-world-war-ii-shapes-facebook-today.
[6] SHOTTON R. Data lessons from a mathematical genius[EB/OL]. . https://mediatel.co.uk/newsline/2016/09/12/data-lessons-from-a-mathematical-genius.
[7] Columbia Forum: WWII & NYC | Columbia College Today[EB/OL]. [2017-08-13]. https://www.college.columbia.edu/cct/archive/summer13/columbia_forum.
[8] WALD A. Sequential tests of statistical hypotheses[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1945, 16(2): 117–186.
[9] 韦博成. 漫谈统计学的应用与发展 (2)[J]. 数理统计与管理, 2011, 30(2): 254–270.
[10] Of B-17s, Math, Mediation, & Thinking | Triangle Smart Divorce Cary NC[J]. 2016.
[11] 刘奎永等. 序贯分析法在舰炮武器试验中的应用[J]. 火力与指挥控制, 2004, 29(1): 98–102.
[12] 孙远杰等. 早期胃癌序贯筛查的流行病学结果分析[J]. 中国临床研究, 2010, 23(7): 560–562.
[13] MCRANEY D. Survivorship Bias[J]. You Are Not So Smart, 2013.
