厉害了!它延长了天文学家的寿命,还能创造宇宙

数学上有这么一个神奇的东东,拉普拉斯(注[1])说它大大延长了天文学家的寿命,伽利略说有了它和时间、空间便可创造一个宇宙,恩格斯则将它与解析几何、微积分并称为17世纪三大数学成就。究竟是啥东东如此厉害?

说来你可能不信,它就是看似平常但又在每年高考中虐考生千百遍的对数。

对数的概念在今天早已深入人心,但在四百年前,它对科学的冲击丝毫不亚于上世纪的计算机。那么,是谁发明了这种高大上的运算呢?

虐你千百遍都不厌倦的对数,到底是谁发明的呢?(图片来源:百家号)

1

追逐前沿和热点是人的天性,探险家如此,科学家也如此。16世纪,随着哥白尼“日心说”的流行,以精确测量为基础的天文学逐渐成为科学界的新宠,众多科学家前仆后继地投入到天文研究中。

人们常用“天文数字”表示极大的数,在普通人看来,这四个字不过是个抽象的概念,可对天文学家而言,每天面对的却是实实在在的“天文数字”。

天体间的距离动辄就是上亿千米,当时的人们要用大量时间计算这些庞大的数字,有时为了确定一个天体的位置就要在计算上花掉几个月,不光耗费精力,还经常出错。

天文学家们个个都为此头疼不已。

2

看到天文学家们苦不堪言,一位叫纳皮尔(注[2])的苏格兰人坐不住了。

纳皮尔虽然热衷于政治和宗教斗争,却是个不折不扣的科学家,尤其痴迷于数学计算,一有空就关起门来独自沉浸在数学、天文和物理的世界里。不过,对于如何简化计算,尽管他急在心头,可一时也没有好主意。

纳皮尔画像(图片来源:www-groups.dcs.st-and.ac.uk)

一天,纳皮尔如平日一样伏案读书,无意间翻到了德国数学家维尔纳(Johannes Werner)的著作。维尔纳在书中首次尝试采用三角函数进行简化计算,也就是我们现在熟知的积化和差公式:cosAcosB=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)]。纳皮尔顿时来了精神:能不能找到一种方法,像维尔纳的公式一样将乘法转变为加法呢?毕竟,加法可比乘法简单多了。

德国数学家维尔纳(网络图)

想法有了,那就撸起袖子干吧!一番钻研后,纳皮尔成功发明了如今称为“对数”的东东。嗯,他用了20年!

虽然现行教科书中总是用指数来定义对数,但实际上指数的发明比对数晚了23年,也就是说,在纳皮尔的时代,指数的概念并未形成,他无法通过指数引出对数并进行计算,那他是如何进行对数运算的呢?

我们不妨先看看下面两行数:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……

1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,……

聪明的小伙伴一定很快就看出第二行的数都是以2为底、以第一行的数为指数得到的幂。纳皮尔发现,要计算32×128,只需先查出32对应5、128对应7,再将5和7相加得到12,然后根据12对应4096,就可快速得到32×128=4096。

纳皮尔发明的对数表(图片来源:wikipedia)

现在看来,纳皮尔的方法并不复杂,完全是中学数学中最常见的对数运算思想,然而这一思想的创立足足用了他20年的功夫!

1614年,纳皮尔出版了名著《奇妙的对数表说明书》,第一次借助运动学和几何术语阐述了对数计算方法,他在序言里兴奋地写道:“经过长期的思索,我终于找到了一些漂亮的简洁法则!”

《奇妙的对数表说明书》封面(图片来源:wikipedia)

3

纳皮尔因发明了对数而在数学史上拥有崇高地位,然而,当谈起对数的发明时,还不得不提一位叫比尔吉(注[3])的钟表匠。

比尔吉画像(图片来源:alchetron.com)

比尔吉在布拉格的宫廷里做钟表匠,除了修表,他还有修天文仪器的小爱好。正所谓“技多不压身”,凭借这个小爱好,他得以结识大名鼎鼎的天文学家开普勒(Johannes Kepler),并顺利成为开普勒的助手,帮其做天文观测和计算。面对天文数字,比尔吉自然也感到头大,便萌生了简化计算的想法。

经过八年的不懈努力,比尔吉独立发明了与纳皮尔相似的对数计算方法,并给出了更适合于实际计算的对数表,包含乘法、除法、平方根和立方根等多种计算。然而,直到1620年他才将自己的成果公之于众,而此时纳皮尔的《奇妙的对数表说明书》早已出版,并且风靡整个欧洲大陆了。

比尔吉的著作(图片来源:alchetron.com)

看着比尔吉的首创权就这么没了,开普勒十分遗憾地写道:“比尔吉远在纳皮尔之前就掌握了对数思想,只可惜他习惯了闲散安静的生活,居然像抛弃刚出生的孩子那样抛弃了自己辛辛苦苦发明的对数!”

比尔吉给出的对数表(图片来源:参考文献[2])

4

话说纳皮尔发明对数的消息很快传播开来,数学家和天文学家们都很感兴趣,认为对数能很好地解决大数乘法的问题。当时伦敦著名的数学教授布里格斯(Henry Briggs)正被天文计算折腾得心烦意乱,在看到纳皮尔的小册子后,他仿佛久旱逢甘雨,决定前往爱丁堡拜访纳皮尔。

出发前,布里格斯兴奋地对朋友说:“纳皮尔爵士出版了一本书,介绍了他新发明的对数。从没有一本书让我如此快乐,真希望今年我能尽快见到这位天才!”

在前往爱丁堡的路上,布里格斯在日记中写道:“纳皮尔爵士能发明如此令人惊奇的对数,必定有着发达的头脑,我猜,他有个大脑门。”

时年54岁的布里格斯俨然成了纳皮尔的小迷妹,四天后,他抵达爱丁堡,见到了爱豆。

纳皮尔居住的城堡(图片来源:wikipedia)

“爵士先生,我这次跋山涉水而来,就是想一睹您的尊容!”布里格斯崇拜地看着纳皮尔,说道,“我特别想知道您是如何发明对数这一绝妙的计算方法的,虽然现在看来它很简单,但在您之前却从未有人发现它。”

“教授,您过奖了。其实我的发明还有很多不完善的地方,您在大学讲授数学课程多年,有没有好的改进建议?”纳皮尔谦逊地说。

?布里格斯直截了当地说:“爵士先生,您在书中选取了0.999999作为底数,虽然可以使真数间的空隙无限缩小,但不如以10为底,这样符合十进制的习惯,计算起来会方便很多。”

英国数学家布里格斯(图片来源:history-computer.com)

纳皮尔听后深表同意,布里格斯干脆在爱豆家住了下来,以便随时讨论问题。经过二人一个月的商讨,终于确定了以10为底的办法:将10的对数作为1,1的对数作为0,即lg10=1=100。小伙伴们看到这里一定很熟悉,这正是如今的常用对数。

1617年,纳皮尔不幸去世,失去了爱豆和合作伙伴的布里格斯格外伤心。但他化悲痛为力量,加快了对数研究的步伐,在纳皮尔去世不久后就出版了自己的第一部对数著作《一千个数的对数》。他在书中采用插值法给出了1到1000的对数,每个结果都精确到14位小数,这是世界上第一张常用对数表。七年后,布里格斯又出版了第二部对数著作《对数的算术》,这次他将对数计算的范围扩大到了100000,精确位数也达到了惊人的40位小数。

《一千个数的对数》中的一页(图片来源:wikipedia)

自此,对数在全欧洲开始被广泛使用,天文数字的计算变得小菜一碟。

5

对数被誉为数学计算领域的三大发明之一(另两个是阿拉伯数字和十进制),经过数学家们的研究和完善,它早已融入到日常生活的每个角落,例如,我们经常接触的分贝、pH值、星等、里氏震级等都是用对数表示的。

对数在群论和微积分中扮演着关键角色,根据对数原理发明的对数计算尺,在过去300多年中一直是科学家和工程师们的必备计算神器,直到上世纪70年代才被电子计算器取代。

电影《起风了》中,身为飞机设计师的主角在绘制图纸时所用的正是计算尺(据网络图制作)

对数的发明节省了消耗在计算上的大量人力,是数学史上重要的里程碑之一,它大大影响了人类的发展进程,甚至有人说它使现代化提前了至少200年!

--------------------------------------------------

注释:

[1]拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749-1827):法国科学院院士,对数学、统计学、物理学和天文学等学科均有重要贡献。

[2] 纳皮尔(John Napier,1550-1617):苏格兰数学家、物理学家、天文学家,除对数外,他还发明了纳皮尔尺,对小数点的推广也有贡献。

[3] 比尔吉(Jost Bürgi,1552-1632):瑞士钟表匠、天文仪器制作师和数学家,活跃于卡塞尔和布拉格的宫庭中。