【一个传统小游戏】
设计四张卡片：
第一张写有 1， 3， 5， 7， 9，11，13，15
第二张写有 2， 3， 6， 7，10，11，14，15
第三张写有 4， 5， 6， 7，12，13，14，15
第四张写有 8， 9，10，11，12，13，14，15
某甲心里想一个0-15间的整数，告诉你此数共在哪些卡片里有。你将这些卡片的第一个数加起来，就得到某甲心里想的那个数。
这个游戏很多人见过，但未必都知道其背后的数学道理就是二进制。解释如下：
第一张卡片中是0-15间所有二进制表示为xxx1的数，而其第一个数是0001。第二张卡片中是0-15间所有二进制表示为xx1x的数，而其第一个数是0010。后两张类推。
例如，某甲心里想的数是13，这个数的二进制表示是1101，因此它在第一、三、四张卡片里有，而且正等于0001 + 0100 + 1000。
【几个IT相关的二进制问题】
1.在美国的公司刚刚工作不久的一天，一位计算机专业的小伙子跑来找我，说他新装的VB6是有BUG的，让我看看。他的即时窗口里显示： 3.0 – 2.99 = 0.00999999999999979。
我告诉他有一个文件叫IEEE754，可以解惑，他坚持让我说。于是我告诉他：double 数型有64个二进制位，其中第1位是表示正负符号的，第2至12位是表示带偏移的指数的，后52位是表示“小数”的。2.99无法用二进制精确表示，所以才造成他看到的结果。这是 double 与生俱来的，不是VB6的BUG。
2.不久，公司一位波兰女孩找我，说公司让她编的“四舍五入”函数会出现工作异常。
我看了代码，发现她所写的round( r, n ) 函数，基本上等于是 floor( r*10^n + 0.5 ) / 10^n。这代码里也有double之二进制存储产生的问题。
例如，round(1.005, 2)=1.01。但是，1.005不能用double精确表示，它的表示约为1.0049999999999998。因此，以上代码计算的“r*10^2 + 0.5”约等于100.999999999998，取整后为100。结果，其代码给出的答案是1.00，错了。
3.在做偏微分方程的迭代求解时，我发现迭代N次后的结果在debug模式与release模式下不一致。仔细分析代码，发现类似1.0 + 0.25*DBL_EPSILON + 0.25*DBL_EPSILON 的计算式，在两种模式之下的计算结果分别为1.0与1.0+DBL_EPSILON。原因在于后一种模式默认某种“优化”计算……不细说。
还有其他问题，很多都牵涉到double在计算机内部的二进制表示。了解IEE754的规定，才能够找到问题所在以及解决办法。这个知识点对IT高手不是问题，但相对入门级的新手很有用。
【用三进制证明( 0, 1 )中的实数不可数】
首先，把( 0, 1 )中的实数用三进制表示；其次，用反证法，假设( 0, 1 )中的实数是可数个。
由于是可数个数，因此可以将所有这些数写成数列x(n)。
构造一个三进制小数y：其第一位小数取数与x(1)的第一位不同，且不取2；从第二位小数开始，第n位取不同于x(n)的第n位，且与y已经取得的前一位不同——例如，设x(10)为2，y 的第9位已经取0，则y 的第10位取1。
不难证明，此y是( 0, 1 )中的实数，且不等于数列x(n)中的任何一个。也就是说，数列x(n)不可能包括全部( 0, 1 )中的实数。
这证明，( 0, 1 )中的实数是不可数个，也就是说：不可能把( 0, 1 )中的实数一一对应到自然数集上。
【康威十三进制数】
文不对题一下，我们只考虑使用十一进制，康威十三进制数留给好奇者去探索。
用A记10，用十一进制表示所有( 0, 1 )中的实数。
在所有这些十一进制表示的( 0, 1 )中的实数里，考虑A仅出现有限次的那些数。对一个这种数x，去掉其最后出现的A之前的所有数字，把A改成“0.”，则得到一个新的小数y。把y解读为十进制小数，则我们构造了一个从( 0, 1 )到( 0, 1 )的映射。
关键是，这个映射中，( 0, 1 )内的每一个数都有无穷多个原像。也就是说( 0, 1 )可以映满( 0, 1 )无穷多次。
其实，( 0, 1 )可以映满( 0, 1 ) * ( 0, 1 )。证明怎么构造，这里先不说了……
总之，N进制可以很好玩，可以很有用……
（作者：惊鹤闻风，南京大学数学系副教授）
