天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。
——1975年杨振宁先生为陈省身先生作
人类首先系统化和公理化地研究几何学，还要追溯到古希腊欧几里得的时代（公元前300年）。欧几里得在他的《几何原本》中，总结了几何学的几条公理和公设。在此后的近2000年里，欧几里得的公理和公设，一直成为平面几何的基本规则和基础。我们中学学习的平面几何，就源于欧几里得的公理系统。
在欧几里得的公设中，有一条第五公设（又被称为平行公设）：通过已知直线外一点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行。正是这条公设导出了三角形的内角和为180度。它是一条根据日常经验总结出的公设，在千百年来很少被人质疑。但到了19世纪早期，偏偏有两个爱吃螃蟹的人——高斯和罗巴切夫斯基——怀疑起平行公设来，他们反复论证后发现，欧几里得的平行公设并不是逻辑上必须的，它是一个人为附加的限制条件。
他们设想存在一类曲面，在这类曲面上平行公设并不成立，三角形的内角和也不是180度。由此构建起来的新几何学便称为非欧几何学。高斯和罗巴切夫斯基的非欧几何学影响深远，它突破了欧几里得旧公理的限制，大大地解放了几何学，具有跨时代的意义。这样，原来的欧几里得几何学便成了新的非欧几何学的一个特例，非欧几何学可被应用于球面和马鞍面上，为后来出现的微分几何奠定了基础。
非欧几何学通常又被称为罗巴切夫斯基几何学，这是为了纪念它伟大的创始人罗巴切夫斯基。有时候，它又被称作是高斯-罗巴切夫斯基几何学。为何一代“数学王子”高斯竟然会屈居罗巴切夫斯基之后呢？事实上，高斯研究非欧几何学要比罗巴切夫斯基早几年，早在罗巴切夫斯基发表他的著作之前，高斯就已经深入地研究了非欧几何学，并且已经有了相当高的成熟度，获得了很多重要成果。但“数学王子”一直没有发表他的成果，直到罗巴切夫斯基发表之后，高斯才公布了自己的一些结果。
在此后的一些年里，高斯本人也从来没有争夺过非欧几何学的发现权，他总是将非欧几何学归功于罗巴切夫斯基。不少人据此说高斯高风亮节，一代“数学王子”果然气度非凡。这或许是部分原因，但更多的原因是，已经中年的高斯太过保守，担心发表非欧几何学这样轰动的结果会遭到数学保守派的攻击。而罗巴切夫斯基当时正是一个愣头小伙，天不怕地不怕，便把结果发表了出去。果不其然，罗巴切夫斯基受到了“正统数学家”的漠视、嘲讽、排挤和攻击，一生遭遇不公正对待，精神差点崩溃，成为了一代悲情英雄。
早在非欧几何学构建之前，还有一个伟大的跨越。17世纪笛卡尔将坐标系引进了几何学，从而将代数学与几何学巧妙地联系在一起，创立了解析几何学。在解析几何方法的帮助之下，射影几何在19世纪走向了成熟。在解析几何、射影几何和非欧几何学成熟之后，现代几何学的集大成者——微分几何便应运而生了。
微分几何是利用微积分的方法，通过研究空间的局部来探索出空间的几何性质。提到这，就不得不提黎曼。黎曼不仅开启了微分几何的新纪元，还用它研究了一类弯曲空间，它在局部相似于寻常的欧几里得空间，而在大尺度的非局域上又有不同于欧几里得空间的空间弯曲性质。这一类空间又被称为“黎曼流形”，爱因斯坦的广义相对论便是以“黎曼流形”作为数学基础。
微分几何的出现，建立了弯曲空间局部和欧几里得平直空间的对应，使得我们可以用解析几何和数学分析的方法从空间的每一个局部来研究弯曲的非欧几何空间，这在之前是不可能办到的。
微分几何的出现不但是几何学的新纪元，也是整个数学史上的新篇章。它使坐标系和代数学被引入之后，将分析的方法也引入了几何之中。从此，19世纪数学的三大块（俗称“老三高”）——几何学、代数学和数学分析学成为一个整体。毫不夸张地说，微分几何开创了二十世纪数学由分散向统一发展的新篇章。
20世纪之前的数学分为三大块——几何学、代数学和数学分析学（与之相对应的数学专业三门主干课程，数学分析、线性代数和解析几何又常被数学系的人称为“老三高”）。而进入二十世纪之后，数学又有了新的发展，从前的分支交叉融合，新的思想涌现出来，构成了新的分支。抽象代数（包括群论、环论、域论）、泛函分析和拓扑学出现了（这三样也被数学系的人称为“新三高”）。二十世纪初期，“老三高”与“新三高”的交织和碰撞，擦出了数学史上炫丽的火花。
在20世纪伊始，当“新三高”出现之后，几何学也取得了新的进步。这一时期，嘉当（法国数学家）深入研究了微分几何流形上的分析学，建立起了外微分的概念。他研究了流形中的联络，提出一般联络的微分几何学。除此之外，嘉当还仔细研究了李群和流形的对应关系，将李群引入“黎曼流形”之中。由于李群同时又可被看做是一种“拓扑空间”或“拓扑群”，嘉当的工作为日后拓扑学在几何学中的自由发展奠定了基础，也是后来诞生的整体微分几何的萌芽。
20世纪，以微分几何为代表的现代几何学将物理学带入了新的高度，而20世纪前中期物理学的蓬勃发展也为几何学推波助澜。若论二十世纪中叶的几何学大家，首屈一指的便是陈省身。
陈省身是公认的整体微分几何的开创者和推广者。黎曼时期的微分几何，主要是通过研究弯曲空间的每个局部来研究整个弯曲空间，而弯曲空间的整体性质，则不容易直接获得。如果忽略局部而从大范围分析，则是拓扑学的强项。1946年陈省身与美国的斯丁路特和法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论，将拓扑学和大范围分析引入几何之中。纤维从理论具有巨大的威力，不但方便了几何学，还方便了物理学。可以证明，纤维从理论与物理学中的规范场有着千丝万缕的关系。在二十世纪后半叶，以陈省身的纤维从理论为代表和以大范围分析为主导思想的整体微分几何推动着现代几何学滚滚向前。
1975年，杨振宁先生曾为陈省身先生作了一首小诗：“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”诗的最后两句“千古寸心事，欧高黎嘉陈”概括了在千年的几何学发展中的五位大师——欧几里得、高斯、黎曼、嘉当、陈省身。的确，他们的名字本身就是几何学发展的写照。也许，在我看来，还应加上笛卡尔和罗巴切夫斯基。
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