我们知道：两个负数相乘，其乘积总是正数。因此，根据定义，所有不等于零的数的平方应该都是正数。问题自然就出现了——一个负数的平方根是多少？我们知道，4的平方根（√4）是2（22=4）。是否也可以认为√4也可能是-2呢？因为（-2）2=4。到了16世纪，一些复杂等式的运算不可避免涉及了求解负数的平方根和立方根问题，数学家们则被迫开始解决这一难题。
1545年，意大利数学家吉罗拉·卡尔达诺提出，虽然负数的平方根没有实数值，但是可以有一个虚值，或者可以“假想”一个数值。很快，拉斐罗·邦别利提出可以利用叫做“复数”的数值来表达一些等式。在复数里，有基于单位1的“实数”部分，也有基于单位i的虚数部分。我们要感谢勒奈·笛卡尔提出了虚数这个概念，感谢莱昂哈德·欧拉使用符号i。虚数单元i的运算和单元1的运算类似，也是i+2i=3i，但是虚数部分构成了另外一组数的基础，而这组数和实数截然不同。（这两种数的几何之间没有交叉，但是很相似。）所以一个复数可以是1+i或者3+2i。进行实数的加减运算的时候，实数和虚数部分分别运算。进行乘法运算的时候，系数与这两部分分别相乘。
1673年，沃利斯发明了一种简单的方法，将虚数表示成平面上的点。他引入另一条与实数轴垂直的数轴，将虚数放在这条数轴上。实数构成了平面上的一条数轴，而虚数则构成了另一条数轴。平面上其它点与复数一一对应，复数由两部分组成，一部分为实部，另一部分为虚部。在笛卡尔坐标系中，我们沿实轴度量实部，沿平行于虚轴方向度量虚部。这与笛卡尔运用代数方法处理平面几何问题类似，都使用了数轴。例如，3+2i距原点右方3个单位，上方2个单位。沃利斯的思想解决了有关虚数的意义问题，但无人问津。不过慢慢地，他的思想潜移默化中被人们所接受了。大多数数学家不再为复数平方根在实数轴上无立足之地而苦恼了。
复数作为合理的量被人们接受后，在数学的各个分支中迅速传播。如今，复数被广泛应用于物理学和工程学中。一个简单的例子就是振动（周期性重复运动）研究，比如地震中建筑物的摇动、车内的振动、交流电的传输等。最简单、最基本的振动模型是表示时间，a表示振幅，表示振动频率。实际上，很容易将该公式改写成复变函数的实部，复数的应用简化了运算，因为指数函数要比余弦函数简单。复数也还可以用于测算动力系统稳态的稳定性，因此被广泛应用于控制论中。
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作者： 北京陈经纶中学 张辉
