数学魔法师康威的游戏人生

本文初稿写作于2004年,首发在《心桥》杂志上。微信版本作了一些修改,并更换了插图。本文的主角John Horton Conway不幸于2020年4月11日因新冠肺炎逝世,享年82岁。

撰文 | 倪忆

上帝是怎样创造这个世界的?按照《圣经》的说法,第一天他在一片混沌中游荡,发现太黑了,就说:“要有光”,然后就有了光……他总共花了六天来创造万物,第七天休息。但并不是就此一劳永逸地结束了,麻烦事还在后头,像什么偷食禁果之类的。他得花更多的时间和精力来维护这个系统,有时不爽了还得格一下盘(大洪水),——当然格盘之前需要保存一下数据(诺亚方舟)。有次自己亲自深入系统来查一下毒,还给弄挂掉了……

其实没有这么麻烦,上帝这样的大智者,自然找得到最方便的办法。他应该是在一张餐巾纸上随手写几个公式作为定义这个世界的规则,然后制造一次大爆炸。接下来的事情就不用他管了,他只需端起一杯咖啡,在一旁悠然地看。

不信吗?那么就尝试一下Game of Life吧。在一个有许多正方格的大棋盘上随意放一些棋子,称为胞体(cell),然后遵循下面的规则:

(i) 复生:一个胞体在t时刻是“死”,而在t+1时刻是“活”,如果它的八个邻域有三个胞体在t时刻是“活”的。

(ii) 死于孤单:一个活的胞体在t时刻没有或只有一个胞体邻域,就会在t+1时刻死亡。

(iii) 死于过度拥挤:一个活的胞体在t时刻如有四个或四个以上的邻居,就会在t+1时刻因过度拥挤而死去。

(iv) 生存之道:一个胞体在t时刻生存而能延续生命到t+1时刻,当且仅当它在t时刻有二个或三个活邻域。

就是这样简单的规则,却可以随着初始状态的不同产生无穷无尽的变化,有兴趣的读者可以连上
https://playgameoflife.com/,随意自己设定初始状态,或者打开别人设计好的一些有趣的状态,看看这个简单平台上出现的复杂世界。

用“生命游戏”可以模拟任何图灵机,上图是用生命游戏编写的计算的程序的输出画面丨图源:LifeWiki

1970年,这个“生命游戏”甫一发明出来便轰动了世界,很多人乐此不疲。据说有一段时间,全世界四分之一的电脑都在运行这个程序。这个游戏的设计者,就是本文的主角,普林斯顿大学数学系教授,英国数学家John Horton Conway。

John Horton Conway, 1937.12.26--2020.04.11 丨图源:普林斯顿大学

Lord of the Common Room

大约十年前的一篇访问记中,说Conway每天打开计算机时,屏幕上会随机显示十个日期,比如1789年7月14日,2037年12月26日等等,Conway则心算出这些日期分别是星期几,输入后才能进入电脑。他的最高纪录还不到20秒就算出了全部星期。(Conway的算法在《数学顽童的圆周率日》一文中有简单介绍。)这种情形我倒是从没见过,因为我见到的Conway一向都是使用common room(公共休息室)外的公用电脑。

Conway绝对是一个占用公共资源的专家。系里的common room就是他的办公室,里面的沙发宽大又舒适,足够容纳他的身躯。Common room内外有好几块黑板,刚好能让他打草稿——按他自己的说法是:talk to myself on the blackboards. 桌子上堆着他的玩具。各种各样的人都会到common room里来,所以Conway从不缺乏聊天的对象。

有一次我正在common room里喝咖啡,突然听见电话铃响。我正纳闷,想谁会打电话到common room里来呢,却听见电话机旁的一名学生大喊“John”,同时看见Conway一个箭步从聊天的人群中窜了出去,拿起电话就是一声hello……暴汗。后来见多了也就见怪不怪了,我甚至还替他接过一次电话。

我曾问过Conway,为什么他喜欢呆在common room里面,他说因为他自己的办公室里非常乱。据他说,最初系里给他两个办公室,后来觉得两个太多了,便收回了一个。(想当初必定是用两个办公室作为优惠条件来吸引他,如今新人胜旧人,就给减掉了,资本主义真是残酷。)

他的办公室在三楼,离common room只有几步路,跟更高楼层里的那些办公室不是一个型号。这间面积相对小许多,门还是玻璃门。Conway在门上贴满了数学画报,不过想偷窥的人还是能透过缝隙看见里面的情形,——也没什么好看的,反正我最初看到时还以为是系里的杂物间。

Conway在他的普林斯顿办公室里丨图源:New York Times

下面这段描写(by Richard Guy)能让读者对他办公室里的情形有个概念:

“他的剑桥大学纯数学和统计系的办公室里几张桌子堆满了论文、书籍、没有回复的文件、笔记、模型、流程、图表、几个喝完没洗的咖啡杯以及一些各种各样的玩艺儿,这些东西泛滥到地板上和椅子上,因此很难容两人在办公室里及坐下来。如果你能走到黑板,你会看到各种颜色的粉笔字迹,却没有地方让你写东西。虽然他有很好的记忆力,可是他常常找不到几天前他写下重要发现的纸张,他只好重新写。”

Conway从来不看信,收到信件后便往故纸堆里一扔。等他再发现这些信件时,看到上面的邮戳是几年前的,就决定永远不去拆阅,免得自己产生内疚感。不过他e-mail收得倒是非常勤,经常能看见他坐在common room外的公用电脑前,满面笑容,飞快地打着字。

每天下午tea time时,Conway周围就会聚集一些跟他关系好的教授或学生听他胡侃。当然他的魅力还比不上点心,只要新的一盘点心端上来,这帮人便纷纷起身(common room里的其他小群体也是一样),Conway还总是抢在头里。上学期他的一门课与tea time的开始时间重合,但他通常要晚十分钟才去上课,因为点心一盘也不能少吃。有时他甚至一边啃着点心一边在黑板上奋笔疾书。上他课的几个人在吃点心方面自然也都跟他臭味相投,对推迟几分钟毫不在意。

甜食带来的一个坏处就是让他的体形不能保持。其实在美国比Conway胖的人比比皆是,但数学家里有他这么大肚子的却少见。对于他这个年纪的人,胖是一件很危险的事。去年期中的时候,Conway突然从common room里消失了,后来才听项武忠教授说他患心脏病动了手术。我当时很诧异,因为他看上去活蹦乱跳的。项武忠解释说:“他太胖!”

手术后Conway恢复得很好,就是在家里一天都呆不住,他太太为此写信到系里,请大家打电话或去家里骚扰他。等再看见他时,已经临近期末。那时他身体还没完全好,一说话就喘不上气,却已经很着急地跑到common room里找人聊天。聊天之余又在黑板上写写画画,尽管都是些高中水平的数学。他说自己好长时间不做数学,得先做一些简单的来恢复一下能力。

A Tale of Two Universities

英国制度,11岁入中学,这时就要根据未来的志愿选择学校。Conway说他在那时就决定去剑桥当一名数学家。他在Harold Davenport手下拿到博士学位后留校任教,研究数理逻辑。当时他感到非常沮丧,因为自己没有拿得出手的成果,觉得不是在做真正的数学。

很快机会就来了。1965年,John Leech在研究装球问题时发现了一种24维的格(lattice)。(Ernst Witt说他在1940年就发现了Leech lattice,但当时没有发表。)他觉得这个lattice的自同构群可能会很有趣,但自己的群论水平不足以对其研究,便把这个问题告诉了许多群论专家。只有Conway比较彻底地研究了这个群,从其商群和子群中一举发现了三个新的有限单群。Conway从此声名鹊起,被邀请到许多地方报告他的发现。他独特的演讲风格给人留下了深刻印象,而Conway也因此获得了信心,迈入一流数学家的行列。

Conway参与编写的大书Atlas of Finite Groups是这一领域的重要文献。丨图源:Notices of the AMS

除了他发现的三个被称为Conway群的有限单群,Conway在这一领域最著名的工作是他跟Simon Norton在1979年提出的魔群月光猜想(monstrous moonshine)。这一猜想把最大的散在单群“魔群”的表示与模形式联系在一起,在1992年被Conway的学生Richard Borcherds证明。Borcherds因此获得了1998年的菲尔兹奖。魔群月光猜想及其推广跟理论物理里的弦理论有着奇妙的联系。它的证明用到了弦理论里的成果,而这个猜想本身也对弦理论有许多反哺。例如Edward Witten用它来计算黑洞的Bekenstein-Hawking熵,得到的结果跟传统方法算出来的非常接近。

我曾问Conway为什么要把这个猜想命名为“月光”,他说moonshine这个词在英语里有illegal(违法)的意思。他们提出这一猜想时,大家还不知道魔群是否存在,所以猜想其性质这件事是illegal的。(在另外的场合,Conway则解释说moonshine有crazy(疯狂)的意思,——这个猜想太疯狂了。)

本质上说,Conway是一位组合学家。他研究的问题多数带有组合特性,看起来非常浅显,但其中却蕴藏着深刻的数学思想。就拿前面提到的生命游戏来说。1940年,John von Neumann提出cellular automaton(元胞自动机),试图建立一个数学模型来描述机器的自动复制与生长。Von Neumann最初的模型非常复杂,Conway将其简化成人人都能理解的“生命游戏”。生命游戏经Martin Gardner在Scientific American上介绍后迅速风靡世界,Conway因此获得了数学界以外的巨大声名。(最近Mathematica的创始人Stephen Wolfram写了一本书A New Kind of Science,把cellular automaton大肆鼓吹了一番,有兴趣的读者可以弄来读读。)

Conway说,他曾经认为自己是一流的数学家,可以做任何事,但现在他已经改变了自己的方向,只尝试让每件事物以最简单的形式出现在每个人面前。前面所说的生命游戏就具有这种特点。

Conway的另外一项出名的工作来自纽结(knot)理论。纽结理论是拓扑学的一个分支,但也可以用纯粹的组合方法进行研究,这正是Conway的拿手好戏。

美国数学家James Alexander在1923年定义了一种纽结不变量,称为Alexander多项式。Conway在六十年代发现了一个奇妙的拆接(crossing change)关系式,可以用来递归地定义Alexander多项式,连中学生都能看得懂,计算起来也很方便。(拆接关系式在Alexander的原始论文中已经出现,但没有引起人们的注意。Conway实际上是重新发现了这一关系,并强调了其重要性。)

Conway在一次讲座中指挥四名听众进行纽结操作???丨图源:Tangles, Bangles and Knots with John Conway??

到80年代时,Vaughan Jones发现了一个新的纽结不变量:Jones多项式,并因此获得1990年的菲尔兹奖。(Jones多项式发现过程中的故事可见《出名要趁早?94岁的新科女院士,41岁才获得博士学位》。)Jones多项式满足跟Alexander多项式非常相近的拆接关系式,而它们还可以推广为更一般的HOMFLY多项式,满足更一般的拆接关系式。

HOMFLY这个名字是发现它的六位数学家姓名首字母的组合。说起这事来Conway还颇有些耿耿于怀。他说当时自己好长时间没有研究纽结,也不去参加各种会议。Jones多项式出现后他的那些纽结界的朋友们(比如说L)一直没告诉他,瞒了他好几个星期,等到HOMFLY多项式出来以后他才得到消息。他只用了一个下午就证明了这个HOMFLY多项式确实是纽结不变量,但为时已晚。Conway说如果他早知道Jones多项式的事,HOMFLY前面就得加个C成为CHOMFLY了……(当时还有两位波兰数学家P和T也独立发现了HOMFLY多项式,但西方对他们工作了解较晚。文献中也经常把这一多项式称为HOMFLY-PT多项式。)

Conway于90年代初离开剑桥大学,来到普林斯顿做访问教授。按普林斯顿的惯例,从别处挖人来时,给的是终身职位,但第一年的头衔还是访问教授,这样如果一年过后这人不愿意留下,还可以回原来的学校。Conway解释说当初并不是他自己作决定留下来,“I was undecided”,是他的太太喜欢这里。

Conway结过三次婚,跟第一位太太生了四个女儿,跟第二位有两个儿子,跟第三位又生了个儿子。去年底他大病初愈时,我看见他带着一个蹒跚学步的小男孩玩,便问他:“Is he your grandson?” 他自豪地回答:“No, he is my son.” 再问其年龄,答曰两年三个月。我顿时肃然起敬,——要知道Conway可是1937年出生的。在我听说过的数学家里面,恐怕只有I. M. Gelfand在这方面比Conway更出色。

也许鼓励创新的美国比相对保守的英国更适合Conway,尽管Conway坚持认为普林斯顿比剑桥更保守。美国人崇拜的科学英雄倒未必需要有非常出色的学术成就,但一定得有张扬的个性。Conway刚好就是他们所需要的类型,加之他又喜欢跟媒体打交道,所以Conway频频在媒体上曝光,声名一时无两。普林斯顿数学系三楼走道旁有一块板,上面贴了各种关于系里教授报道的剪报。Conway的报道占了将近一半,跟John Nash不相上下。当然如今在好莱坞的炒作之下,Nash是比Conway出名多了。

另外一位著名的John Conway是以好几本分析教材闻名于世的John B. Conway. 我起初还以为这两位是同一个人,曾颇奇怪了一阵,因为John B. Conway写的那些书跟John H. Conway的工作风格完全不同。后来才注意到两者的中名不同。

我们的这位John Horton Conway说他曾经多次在会议上碰见过John B. Conway. 有一次参加一个会议,John H. Conway正低头算些东西,突然听前面有人问:“Are you the John Conway?” Conway头也不抬地答道:“I don’t know, it depends on which John Conway you mean.” 一抬头,发现就是另外那位John Conway。

John's Adventures in Wonderland

Conway有种种奇奇怪怪的数学玩具,common room里就堆着好多。上学期我选他的一门课,第一次课前见他在common room里抱着一个箱子。看那个箱子的体积、形状、质地,怎么看都觉得里面装的是笔记本电脑。接下来他带着箱子进教室,打开,原来是一箱积木,汗

…… 这些积木经过精心设计,代表了三维空间中所有种类的对称性。也不知道Conway从哪里弄到的这些积木,多半是订做的。

他这次课讲的是三维空间中对称的分类,采用一套他自己创造的记号,——Conway研究问题时总喜欢使用自己的记号。我当时听不太懂他的英国口音,只能狂抄笔记,他的板书中有好多即兴发挥的缩略语,字迹又潦草,得费好大的劲儿来辨认。所以只忙着抄,根本顾不上思考其中的含义。

讲课中间,Conway给每人发了两个积木,叫大家说出积木的对称性,——当然是用他自己的记号。另外两个学生说对了,我却都错了。Conway勃然大怒,到黑板上把某个定义中的一句重念一遍,中间一个词突然用十倍的音量吼出来“NOT!!!”,当时把我吓得浑身一哆嗦。后来知道 Conway上课时狮子吼是常事,有位师姐也碰见过。还有一次我路过一间教室,忽然听里面传出一声咆哮“ABSOLUTELY!!!”,心知就是Conway在里面上微积分课,正吓唬本科小孩们。

前面已经说过,Conway是一流的纽结专家。别人讲纽结都是用绳子、皮带之类的有一定韧性的东西来演示,他偏要用刚性的东西。他有几根弯曲的金属管,连接起来后在接口处可以转动,Conway能以此展示出所有交叉点不超过五个的纽结。有一次他在common room里给大家摆弄这件宝贝,末了觉得不过瘾,便往地下瞅。我被他瞅得心中直发毛,突然见他俯下身,伸出魔爪,一把握住我的鞋。我没敢抵抗,任凭他把我的鞋连同腿脚一同搁到茶几上。然后他便开始解我的鞋带,扯了几下后发现我的鞋带并不像他想象中那样好解,于是又开始打别人的主意。环视一圈后没找到合适的目标,只得转而寻求更加正统的方法。他拿起笔,在一张纸上随手画了一些纽结,用的还是他自己的记号。不过画纽结并非Conway的独门绝学,好多纽结专家信笔一挥也能画出非常复杂的纽结。

Conway还有许多数学内容的T恤衫,整天穿着。有些上面是数学漫画,有的则相对简单,比如圆周率到小数点后一千位。据说有一次Conway的太太需要用π的精确数字,便问Conway,Conway随口就背出了小数点后的一百位。可他太太嫌不够,问他能不能背更多。Conway感到很没面子,便决定背到一千位。他制定计划,每天跟太太出去散步时背上二十位,而且是两人一起比赛着背,互相考问。这样没用多长时间,他们夫妇俩就都能背到一千位了。

Conway非常热衷于研究有趣的初等数学,下面这个look-and-say序列就是一例,他在common room里给我讲过:

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, ...

这里面有什么规律呢?说穿了非常低幼。第二个数字11应该读作“1个1”,表示前一个数字是1个1。第三个数字21应该读作“2个1”,表示前一个数字是2个1连写在一起。第四个数字1211应该读作“1个2再1个1”,表示前一个数字先是1个2,再是1个1。第五个数字111221表示前一个数字先是1个1,然后是1个2,再是2个1……

这看起来就是幼儿园小朋友胡乱作的规定,Conway却能发现其中的数学内容,专门写了一篇论文研究其性质。比如说Conway证明了这个序列中出现的数字都由1, 2, 3组成。换句话说,只要你会数到3就能把这个序列一直写下去。作为普林斯顿大学数学系的讲席教授,Conway丝毫不觉得研究这种初等数学有多么“跌份”。这或许是他有如此高人气的一个原因吧。
Conway是数学游戏爱好者,他发明过好多游戏,生命游戏只是其中最有名的一个。据说以前在剑桥时,他经常在休息室里赤着脚,用纸和笔来玩数学游戏。有时他抓着学生、同事和访客陪他玩,找不到对手就自己坐在地下研究这些游戏。

剑桥大学时期的Conway(右三)与朋友们下双陆棋丨图源:New York Times

下面这个“豆芽游戏”就是Conway在剑桥时和Michael S. Paterson一起发明的。两个人用纸和笔就可以玩,幼儿园小朋友也能理解。

游戏开始时,在纸上画若干个点。每方每回合在两点(可以是同一点)间画上一条连接线,然后在此线中间增加一个点,把这一条线分成两条。连接线可以是直线或曲线,但不能跟自己或别的线相交。每一点最多跟三条线相连。

豆芽游戏,初始点是两个的情况。丨图源:维基百科

豆芽游戏有两个版本。普通版本(normal play)里,画最后一条线者赢;悲惨版本(misère play)里则是画最后一条线者输。悲惨版本的难度比普通版本要大许多,有兴趣的读者不妨都试试。

Conway在游戏方面的一个有趣结果是“超现实数(surreal numbers)”。他发现每个实数都能对应一个游戏,相应地,实数的四则运算可以用游戏的语言来解释;此外还有许多游戏具有类似于实数的性质,却不对应实数。这样,Conway便把游戏看作“数”,得到实数体系的扩充,称为“超现实数”。

Conway把他的想法告诉了计算机科学家Donald Erwin Knuth(高德纳),Knuth对此大感兴趣,便借自己在挪威度假的机会,写成了一本小说体的数学书 Surreal numbers : how two ex-students turned on to pure mathematics and found total happiness : a mathematical novelette.

需要指出的一点是,Conway对游戏的研究并非博弈论(Game theory)的主流,标准的博弈论教科书上根本没有一点儿对Conway工作的介绍。Conway研究的游戏确实非常有趣,但在我们这些人眼中,不会给数学带来多大的进益。

也许在Conway看来,一个问题并不必重要或困难,只需要有趣便可以吸引他去研究。在21世纪的今天,数学已经更多地成为一种职业而非兴趣。可对于如孩童一般在海滩拾贝的Conway来说,它永远还只是游戏。

参考文献

[1] 劳拉·常,赵伯炜等译,约翰·H·康威——神秘数学世界的漫游者,《纽约时报50位科学家》,海南出版社,2003.

[2] 李学数,英国的怪数学家康威,《数学和数学家的故事3》,新华出版社,1999.

[3] J. J. O'Connor and E. F. Robertson, John Horton Conway, https://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Conway.html.

本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”,原题目为《Conway:游戏人生》。