外尔是德国数学家、物理学家和哲学家，二十世纪最有影响的思想家。作为数学家，外尔是最后的数学全才之一；作为理论物理学家，他对量子力学、相对论都有根本性贡献，且创立了规范场论。外尔是一头闯入物理学瓷器店的数学家大象。此外，他用优雅的文笔为我们阐述数学、物理以及作为其基础的哲学思想，留下了许多脍炙人口的深刻篇章。
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）
The person I admire most is Hermann Weyl.
——Michael Atiyah[1]
1 引 子
康德 (Immanuel Kant, 1724-1804) 的 Kritik der praktischen Vernunft (实用理性之批判) [2]一书中有这样的一句广为流传的话：
“Zwei Dinge erfüllen das Gemüth mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht, je ?fter und anhaltender sich das Nachdenken damit besch?ftigt: Der bestirnte Himmel über mir und das moralische Gesetz in mir.”
有两种东西，对它们的思考越是经常和持久，它们就越是以崭新的、不断增长的惊奇与敬畏充满心灵：这就是我头顶的星空和我心中的道德律令。
参照这一段， 我愿意这样写出我的一个感受：
“Drei Dinge erfüllen das Gemüth mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht, je ?fter und anhaltender sich das Nachdenken damit besch?ftigt: Der bestirnte Himmel über mir und das moralische Gesetz in mir und die Weylsche Werke vor mir
有三种东西，对它们的思考越是经常和持久，它们就越是以崭新的、不断增长的惊奇和敬畏充满心灵，这就是我头顶的星空和我心中的道德律令和我面前的外尔的著作。”
外尔是个震古烁今的数理大家。余生性浅薄，初识外尔是通过他的小册子symmetry (对称)。进入新世纪的前几年里，笔者对对称花样和对称性理论产生了强烈的兴趣。在阅读的诸多对称性文献中，外尔的symmetry一书引起了我的注意，尤其是插图67，那是用线条描绘的成都文殊院窗棂的花样 (图1)。这让我对外尔产生了极大的兴趣，用流畅的语言讲解对称性还引用了中国古建筑的例子，我猜他一定有一个有趣的灵魂。
图1. Symmetry一书插图所临摹的成都文殊院的窗棂
在日后的研究与教学中，我经常会在不同场合遇到外尔这个名字，也浏览(或者叫翻阅，但不能称为读过)了他所有的书籍以及部分文章。对于外尔的不断增长的惊奇与敬畏也就慢慢充满了我的心灵。撰写《磅礴为一——通才型学者的风范》一书，如果没纳入关于外尔的章节，那将是不可饶恕的疏忽。然而，本书交第一稿时，我却并没有这么做，因为我确切地知道理解外尔要比理解爱因斯坦、庞加莱等人更加艰难，勉为其难就没意思了。后来转念一想，反正过些年我也一样不能深入理解外尔，为什么要留下一个那么大的遗憾呢？于是，我匆匆地撰写了这一章，以期成为未来认真、深入介绍外尔的前奏。
2 外尔小传
外尔 (Hermann Weyl，1885-1955)，德国数学家、物理学家和哲学家，二十世纪最有影响的思想家 (图2)，因为学问太过深邃，故他是一般的学术世界里缺失的人物。愚以为，可以形象地说，外尔是一头闯入物理学世界的数学家大象。
图2. 外尔
外尔1885年出生于汉堡附近的一个小镇，父母都来自富足家庭。1904-1908年间，外尔在哥廷恩和慕尼黑两地学习数学和物理，其在哥廷恩大学的博士导师是数学大神希尔伯特 (David Hilbert, 1862-1943)。1908年，外尔以关于积分方程的研究获得数学博士学位。在哥廷恩教了几年书以后，外尔于1913年到了苏黎世的瑞士联邦理工 (ETH)就任几何学教授。在那里，外尔和爱因斯坦 (Albert Einstein, 1879-1955) 熟识，当然也就第一时间熟悉了他的相对论，似乎可以说是爱因斯坦的影响让外尔成了一名理论物理学家。外尔为广义相对论的数学花了大量精力，尤其是在作为其基础的微分几何的拓展问题上。1921年，外尔在苏黎世遇到了在苏黎世大学任教的薛定谔 (Erwin Schr?dinger, 1887-1961)，这可以说是为量子力学数学的拓展埋下了伏笔。外尔于1928-1929年间在普林斯顿大学作访问教授，1930年回到哥廷恩大学接导师希尔伯特的班。此前，哥廷恩大学曾于1925年召他回去接替克莱因 (Felix Klein, 1849-1925)，但被他拒绝。1933年，外尔移居美国，在普林斯顿高等研究院一直工作到1951年退休。退休后的外尔往来于苏黎世和普林斯顿两地，1955年辞世。
外尔在哥廷恩上大学期间曾修习过胡塞尔 (Edmund Husserl, 1859-1938) 的哲学课，由此认识了胡塞尔的一个女弟子海伦娜 (Helene Joseph, 1893-1948)，后来成了他的妻子。他们缔结了一段持续35年 (1913-1948) 的婚姻。不知道外尔对哲学的兴趣是否是那时建立起来了，反正外尔深受胡塞尔的现象学哲学 (phenomenological philosphy) 的影响。外尔生性洒脱，终其一生他都追求自己做主的生活理想 (Zeit seines Lebens fühlte er sich demokratischen Idealen verpflichtet)。
外尔是哥廷恩大学培养出来的学者，其一生都和哥廷恩的数学传统相联系， 当时是由希尔伯特、克莱因和闵可夫斯基 (Hermann Minkowski, 1864-1909) 所代表的。愚以为哥廷恩数学传统的代表人物也要加上与外尔同时代的诺特 (Emmy Noether, 1882-1935)，而此前则有高斯、黎曼和狄里拆利 (Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) 。在外尔所处的时代，数学家已不再追求庞加莱或者希尔伯特的那种 贯通 (universalism)，而外尔则是最接近达到融会贯通境界的。后世的数学家阿提亚爵士 (Michael Atiyah, 1929-2019) 在1984年接受采访时曾感叹道：“I have found that in almost everything I have ever done in mathematics, Hermann Weyl was there first. (我发现几乎所有我做过的数学，外尔都捷足先登过。)”
外尔一生著述颇丰，其著作目录如下：
1.Die Idee der Riemannschen Fl?che (关于黎曼面的思想), 1913；英文版为The Concept of a Riemann Surface.
2.Raum, Zeit, Materie (空间-时间-物质)，1918.
3.Das Kontinuum (连续统), 1918; 英文版为The Continuum.
4.Mathematische Analyse des Raumproblems (空间问题的数学分析), 1923.
5.Was ist Materie? (物质是什么？), 1924.
6.Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft (数学和自然科学的哲学), 1927；英文版为Philosophy of Mathematics and Natural Science.
7.Gruppentheorie und Quantenmechanik (群论与量子力学)，1928; 英文版为The Theory of Groups and Quantum Mechanics.
9.The classical groups：their invariants and representations (经典群), 1939.
9.Elementary theory of invariants (不变量理论基础), 1936.
10.Meromorphic functions and analytic curves (亚纯函数与解析曲线), 1943.
11.Symmetry (对称), 1952.
12.Riemanns geometrische Ideen (黎曼的几何思想), 1988.
Die Idee der Riemannschen Fl?che (关于黎曼面的思想), 1913；英文版为The Concept of a Riemann Surface.
此外，外尔辞世后，后人于1968年编辑出版了他的4卷本全集 (Gesammelte Abhandlungen) 。外尔的著作内容不易懂，但读懂一点就大有收获，况且其文笔流畅，读来算是享受。
在外尔的学问与成就中，数学、物理和哲学的成分虽非浑然一体，却也不是泾渭分明的。下文将外尔的成就分成数学的、物理的和哲学的，只是为了介绍的方便，不具有严格的意义。
3 外尔的数学成就
外尔共写过200余篇论文，是那种出自个人机杼的、有思想的论文。对大部分外尔的文章，硬要分辨其为数学的哪个领域或者是算数学还是算理论物理可能是不得体的。在他眼里，数学是一个有机整体，他对整个数学领域的进步都有影响，其耕耘的范围包括分析、拓扑、微分几何、微分方程、李群、表示理论、调和分析和分析数论等。有了贡献者水平的数学，特别是在微分几何、微分方程、李群和表示理论等领域，加上和爱因斯坦、薛定谔等人过从甚密，外尔参与近代理论物理的奠基是自然而然的事情。
外尔的数学生涯开始于分析，包括积分方程和谱理论。1910年外尔以奇性微分方程及其用本征函数的展开，即后来的自伴随算符的谱理论，获得私俸讲师资格 (habilitieren)；1911年发表了?ber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte(本征值的渐近分布) 一文，证明了在紧致域上拉普拉斯算子本征值的渐近分布，即Weyl law，1912年又用变分原理给出了新证明。外尔后来不断回到这个问题，他还将之应用于弹性体系，得到了外尔猜想。本征值渐近分布，学量子力学的看到这个概念会眼睛一亮，这是量子力学数学一大关啊，而外尔得到这些研究成果时量子力学这个词还没出现呢[3]。
关于拉普拉斯算符本征值的渐近分布，外尔在1915年指出其第一项正比于系统的体积，除了体积以外的其他参数不起作用，此乃物理学家，其中有大名鼎鼎的洛伦兹 (Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928)，在提供了经典物理到量子物理桥梁的黑体辐射研究中首先猜测的一个结果。坦白地说，笔者虽然撰写过关于黑体辐射研究的长篇论文，对这一点却毫不知情。当然，黑体辐射、量子力学和拉普拉斯算子本征值，这里的逻辑关系是契合的。
1913年外尔发表了小册子Die Idee der Riemannschen Fl?che (关于黎曼面的思想)，对黎曼面进行统一处理。此项工作的一个重要意义在于将复数从复平面中解放出来。外尔用点集拓扑让黎曼面理论更加严格，为后来的流形研究树立了榜样。黎曼几何的外尔张量对于理解共形几何非常重要。
1918年外尔出版Raum-Zeit-Materie（空间-时间-物质）一书，此时他已经开始思考如何筑牢广义相对论的数学基础并加以扩展。同一年，外尔发表了关于规范场论的第一篇文章，那是从数学上将引力理论同麦克斯韦电磁理论结合起来的尝试，详情见下。也许不算巧合的是，同一年在哥廷根出现了诺特定理，而这是规范场论的重要基础。
1923 -1938年间外尔发展了用矩阵表示表述的紧致群理论。关于紧致李群他证明了基本的特征标表，这是理解量子力学的对称结构的关键。外尔还给出了旋量问题的阐述。外尔关于群论的工作，加上维格纳（Eugene Wigner，1902-1995）和冯·诺伊曼（John von Neumann, 1903-1957）的工作，奠立了量子力学的数学基础，见下。关于非紧致群及其表示，特别是海森堡[4](Werner Heisenberg, 1901-1976) 群，也捎带着在1927年在外尔量子化的框架中给处理了。李群和李代数才成了纯数学和理论物理的主流，外尔功不可没。
4 外尔的物理成就
外尔的物理贡献在于相对论、量子力学，以及创立了基于相对论和量子力学的规范场论。环顾天下，有此能力与机遇故而享此荣耀者，仅此一人而已。爱因斯坦是量子力学、相对论和统计物理的奠基人；薛定谔是量子力学奠基人，做出了挽救规范场论的关键一步。这三人是终生的好朋友，且关于自然持比较一致的哲学观点，实在是物理学的幸运。
4a) 群论与量子力学
如果将1925年底薛定谔构思波动方程算作新量子物理的起点，可以说外尔从一开始就参与了量子力学的创立。要确立薛定谔方程
的正当性，那得有一个能表明它还算靠谱的例子。薛定谔将他的方程应用于氢原子求解其定态波函数，不过那样得到的三变量的二阶微分方程的解，即便对于当时已是数学物理教授的薛定谔本人来说，也是很难的。这个工作是在外尔的帮助下才完成的，详情见下。
薛定谔1926年的量子力学奠基性论文的题目就是“作为本征值问题的量子化”，而算符的本征值问题可是外尔得出过定理的研究内容，简直是撞到他的枪口上了。量子力学数学的关键概念是希尔伯特空间，而希尔伯特就是外尔的导师。在量子力学中算符作用于波函数，那么在波函数不能得到具体形式的局面下如何研究得到物理？这就得用群论来定性分析算符及其本征函数和本征值了，而这又撞到外尔的枪口上了。仅仅到了1928年，量子力学还羽翼未丰呢，外尔的《群论与量子力学》就出版了，算得上是第一时间赶出来的。外尔的《群论与量子力学》和维格纳1931年的《群论及其在原子谱量子力学中的应用》是从群论角度理解量子力学的经典，它们让量子力学有了点学问的样子，极大地促进了量子理论的发展。李群的表示论就是为量子力学量身定做的，而外尔在群表示论和算子谱理论的权威研究让他成了新物理学当仁不让的代言人。由于群论对于一些物理学家来说太难了，外尔他们当时的努力竟然被诬为群瘟 (Gruppenpest)。后来的发展表明，群论是近代物理最有用的工具。这两本群论，加上1930年狄拉克 (P.A.M. Dirac, 1902-1984) 的《量子力学原理》和1932年冯诺伊曼的《量子力学的数学基础》，是量子力学在建立过程中就形成的经典著作，是理解量子力学之创造的第一手资料[5]。
外尔于1939年在普林斯顿期间出版了The classical groups(经典群) 此一经典著作。该书共分为10章，包括导论、矢量不变量、矩阵代数与群环、对称群与完全线性群、辛群、特征标、不变量的一般理论、再论矩阵代数，最后一章是补缀。外尔之所以写这本书，是因为他在1925年就得到了一个半单连续群的特征，他想用直接代数构造为所有重要的群得到类似的结果，而当其时他已掌握了所有的工具。学过一点群论的人，对外尔的The classical groups一书会特别有感觉。贯穿The classical groups 一书的是不变量理论 (invariant theory)，故可以和他的Elementary theory of invariants (不变量理论基础) 一书参照着读。不变量这个概念会把克莱因、希尔伯特、诺特和外尔联系起来，会帮助我们理解什么叫“数学传统”。The classical groups也被认为是反映了外尔对数学一体性的坚持，人们评价这本书值得一读再读十遍地读 (It’s the kind of book you read ten times—Atiyah)。当然，这本书的序言比正文更有名气。论及书的风格，相较于那种给读者以把他们关入了一个照明充分的小屋子，其中每一个细节都凸显令人炫目的清晰而毫无阴影的那种印象，外尔写道：
“I prefer the open landscape under a clear sky with its depth of perspective, where the wealth of sharply defined nearby details gradually fades away towards the horizon.”
我喜欢晴朗天空下有着深远景致的开阔地，那里众多细节明晰的近景渐渐融入地平线。
“…The book is primarily meant for the humble who want to learn as new the things set forth therein, rather than for the proud and learned who are already familiar with the subject and merely look for quick and exact information about this or that detail.”
本书主要是给那些谦卑的、想将其中内容当作新事物学习的而非那些骄傲又博学的、早已熟悉相关主题故而只是想找点儿关于这个或者那个细节之便捷精确信息的人准备的。
4b) 广义相对论与规范场论
相对论与瑞士的苏黎世和德国的哥廷恩两个小镇有关。在苏黎世给出狭义相对论几何的闵可夫斯基是哥廷恩数学传统的领袖人物，第一个写出引力场方程的希尔伯特是哥廷恩数学传统的领袖人物。毕业于哥廷恩的外尔于1913年到了苏黎世的瑞士联邦理工。外尔与爱因斯坦交好，又秉承哥廷恩的数学物理传统，自然也会对相对论产生浓厚的兴趣。广义相对论涉及微分几何、不变理论、群论等数学，都是外尔的拿手戏。如同闵可夫斯基完善了狭义相对论的数学基础，外尔要完善和发展广义相对论的数学基础。爱因斯坦的广义相对论论文于1916年3月发表，1917年夏外尔即开设了广义相对论课程，1918年出版了名著Raum-Zeit-Materie (空间-时间-物质) 一书，因为，如他所言：
“Es lockte mich, an diesem gro?en Thema ein Beispiel zu geben für die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen und physikalischen Denkens.”
它诱惑我关于这个主题给一个哲学的、数学的、物理的思想交相渗透的例子。
Raum-Zeit-Materie一书受真学物理的人的欢迎程度令人侧目，仅仅到了1922年即已出到了第五版，法语和英语译本也有了，被誉为不会过时的著作 (见1991版序) 。
Raum-Zeit-Materie一书的副标题为Vorlesungen über Allgemeine Relativit?tstheorie (广义相对论教程) ，分为欧几里得空间、可测度的连续统、时空相对性和广义相对论四章，意在展开一个简单的基本思想 (die Entfaltung einer einfachen Grundidee)。一个数学家，在广义相对论创立不久便及时地提供了广义相对论的教程，详细阐述了流形、联络与曲率，还有它们的物理诠释。问题是，外尔是要发展这门学问，为这门学问夯实进而拓展其数学基础。这让我想起了外尔导师希尔伯特的一件轶事。当年希尔伯特受德国数学学会的指派撰写数论研究的报告，人家希尔伯特当时的境界竟然是要趁机为数论奠立基础 (lay the foundation)。确实，对于广义相对论这种学问，不是外尔这样的数学家还真未必能正确估量其价值——爱因斯坦本人也不行。对付广义相对论这种学问，“…die Physik liefert die Enfahrungsgrundlage, die Mathematik das scharfe Werkzeug (物理提供经验基础，数学提供锋利的工具) ”，二者缺一不可。
外尔1918年的德语论文“引力与电” (Gravitation und Elektrizit?t) 在其文后即有爱因斯坦从物理角度的诘难，这让规范场论差点成了被洗澡水淹死的婴儿。然而幸运的是，经过薛定谔 (1922)、伦敦 (1927)、福克 (1927) 等人的工作，外尔最初的思想实现了同量子理论的结合，加上其1929年英文的“引力与电子” (Gravitation and the electron)和德文的“电子与引力 I.” (Elektron und Gravitation I.) 这两篇文章, 其意在建立一个囊括引力、电和物质的理论 (eine Gravitation, Elektrizit?t und Materie umfassende Theorie)，规范场论这门学问终于得以建立，最后经非阿贝尔规范场论发展到标准模型，其间的过程波澜壮阔。更多详情参见本书的薛定谔一章及拙著《云端脚下-从一元二次方程到规范场论》，有兴趣深入学习的读者请参阅规范场论方面的原文与专著。
狄拉克方程来自电子的相对论质能关系E^2=(pc)^2+(mc^2)^2，虽然推导过程中狄拉克也是大胆施为，但应该说它还是有坚实的物理基础的。狄拉克方程导致了反粒子的概念，且很快得到了证实 (参见拙著《惊艳一击》)。与此相反，外尔方程来自将狄拉克方程中的一项之系数m 设为零，这样做当然没有什么物理基础。这种做物理的方法，未免显得上不了台面；没有物理基础的推导未能结出物理的果子，于情于理倒也说得过去。其实，要求存在无质量的外尔费米子，从概念上说还有许多困难。将一个已知方程中的一项系数设为零，这对数学家来说简直就是举手之劳。如果外尔做过这样的研究，得算是他人生的污点。有人愿意顽强地从外尔方程出发往下编故事是法律保障的自由，但以为大自然非要满足这个方程就让大自然太为难了。大自然没有义务满足某个人写下的方程，哪怕是外尔的方程也不行。
更加有趣的是，关于外尔方程和外尔费米子的文章、书籍都说是在1929年德文的“电子与引力 I.”一文中外尔得到外尔方程的，然而翻遍原文也不见相关内容，其中曲折，值得进一步考证。
作为一个数学家，外尔似乎对物理理论该是什么样儿没有什么先验的负担。比如，关于左右对称，在1929年那篇经典论文中外尔就写道：
“Wir werden sehen, da? man mit zwei Komponenten auskommt, wenn die Symmetrie von links and rechts aufgehoben wird().……Die Einschr?nkung 2 hebt die Gleichberechtigung von links und rechts auf.”
我们将看到，如果将左右对称性取消，则两个分量就够用了。……限制条件2取消了左和右的平权。
后来的外尔旋量就分为左手的和右手的。三十年后的物理学界为是否放弃左右对称性而经历的心灵挣扎，是物理学史上有趣的一页。
4 外尔的哲学成就
哥廷恩的数学传统是包括哲学的。构建数学的基础，应该是哲学性的劳动。外尔熟悉古希腊哲学和德国古典哲学，大学时选修过胡塞尔的哲学课，据信他对物理的处理方式多基于胡塞尔的现象学哲学。外尔所著的Was is Materie?， Raum-Zeit-Materie，Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft（数学和自然科学的哲学），以及Das Kontinuum (连续统)[7]都是哲学味十足的名篇。后人编纂的Mind and Nature (思维与自然) 收录的也是外尔的一些哲学思考。
在1918年的Das Kontinuum一书中，外尔使用罗素 (Bertrand Russell, 1872-1970) 的分支类型论 (ramified theory of types) 的较低层次发展了谓词分析的逻辑，他实际上是发展了经典运算的大部，但他既不使用选择公理也不使用反证，还避免使用康托 (Georg Cantor，1845-1918) 的无限集合。这期间外尔采用的是费希特 (Johann Gottlieb Fichte，1762-1814) 的构造主义。在连续统中，可构造的点是分立的存在，而我们需要的不是那种作为点之集团的连续统,应该构造同物理意义自恰的连续统。该书出版后, 外尔转向了布劳威尔 (L. E. J. Brouwer, 1881–1966) 的直觉主义。后来，外尔又觉得布劳威尔的直觉主义对数学施加了太强的限制。1921年，外尔写了“关于数学新的基础危机”一文，在数学界引起了极大的骚动。约在1928年后，外尔就公开认为数学的直觉主义同他对现象学哲学的热情不相容。晚年的外尔认为数学是“符号构造(symbolic construction)”。
1949年，外尔放弃了数学的直觉主义的价值。在1949年英文版Philosophy of mathematics and natural science中，外尔写道:
"Mathematics with Brouwer gains its highest intuitive clarity. He succeeds in developing the beginnings of analysis in a natural manner, all the time preserving the contact with intuition much more closely than had been done before. It cannot be denied, however, that in advancing to higher and more general theories the inapplicability of the simple laws of classical logic eventually results in an almost unbearable awkwardness. And the mathematician watches with pain the greater part of his towering edifice which he believed to be built of concrete blocks dissolve into mist before his eyes.
“数学从布劳威尔那里获得了高度的直觉上的清晰。他成功地以一种自然的方式开启了分析的发展，一直保持住了比从前更加紧密的同直接的接触。不可否认的是，为了寻求更加高级、更具一般意义的理论，运用经典逻辑的简单法则最终会导致令人难以容忍的糟糕局面。数学家痛苦地看着他以为是用混凝土砖建立起来的大厦之大部眼睁睁地消解在迷雾中" 。
德语的Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft出版于1927年，那一年外尔已对相对论的几何做了充分的研究、参与了1926年薛定谔量子力学波动方程解氢原子问题，泡利写出了他的两分量量子力学波动方程，而狄拉克的四分量相对论量子力学波动方程还要再等来年。在这本书里，外尔谈了他关于数学逻辑、公理、连续统、无限、几何[8]、时空、方法论、物质以及因果律等观念，而这些在笔者看来，是理解量子力学和相对论的关键。从笔者个人经历来看，缺乏对这些基本观念的思考是大学阶段学习量
