在凝聚态物理学发展历程中，朗道—金兹堡相变理论奠定了人们对物质形态和有序相及其相变的认识基础，在结合了威尔逊重正化群理论后，形成了朗道—金兹堡—威尔逊范式，并成为整个现代物理学宏伟大厦的重要基石。然而，在复杂电子多体系统的实验研究中，以量子霍尔效应、分数量子霍尔效应和铜氧化物高温超导体的实验发现为代表，涌现了众多超越朗道—金兹堡—威尔逊范式的新奇量子物态，掀开了凝聚态物理学的新篇章。文章从量子霍尔效应出发，介绍了二维电子体系中的几种典型拓扑量子物态。之后，重点介绍二维强关联电子多体系统中的内禀拓扑有序态。围绕Kitaev提出的二维Toric Code量子自旋模型，详细论证了该模型的基态为具有Z2内禀拓扑序的量子自旋液体，讨论了其基态的拓扑简并、低能任意子激发，以及相关的拓扑量子相变。同时，简要介绍了内禀拓扑有序态的最新研究进展和可能的未来发展方向。
撰文 | 张广铭、朱国毅（清华大学物理系）
来源 |本文选自《物理》2021年第9期
01
朗道相变范式
杨振宁先生认为“量子化、对称性与相位因子是20世纪物理学发展的三个主旋律”。菲利普·安德森在20世纪70年代初就指出[1]，多者异也(More is different)。当大量粒子相互耦合构成一个多体系统，在低能下它将演生出与原始构成粒子所不同的集体激发准粒子，此为演生现象[2]。比如原子构成晶体，其低能集体激发的准粒子为传播振动与热的声子。然而一旦将晶体拆散分离成原子，声子又不复存焉，所以声子就是一种最为常见而典型的演生准粒子。演生声子这种现象背后的根本原因是：晶体自发破缺了晶体的连续平移对称性，随之催生了无质量的集体激发，这种模式是对有序基态的扰动，反映了一种试图恢复其原始对称性的倾向。事实上，人们在大自然中所观察到的形形色色的物质形态大多是由于其多体系统的自发对称破缺，从而建立起长程有序的物相。
所谓“物相”，指的是一个多体系统表现出的集体宏观性质，它不会随着微观参数的微小变动而改变。比如，铁磁体在一定的温度区间内都可以表现出磁性行为，所以叫铁磁相。因此广义而言，物相的定义依赖于某种绝热原理，随着微观参数的变化，只要宏观物理量的各阶导数都连续，没有碰见奇异性，则可判别为同一个物相，并具有定性一致的行为。微观上说，物相的稳定性反映了一种集体秩序。比如，铁磁体中不同原子磁矩由于相互作用倾向于集体同向排列而降低能量，但是热运动又倾向于摧毁这种秩序而形成无序，所以便有了竞争。温度的变化会干预其竞争，比如在高温下热运动导致无序取得胜利，而在低温下相互作用使能量降低则战胜了热运动，于是在两者之间便有了相变。
当温度被持续调节到一定程度，达到临界阈值，量变将引起质变，宏观物理量将发生非解析的奇异行为，标志着相变[3]。最早人们在实践经验中发现的是诸如气液转变这样的伴随有潜热等现象的相变，其数学上对应于自由能函数的一阶导数不连续性，被称为一级相变。神奇的是，人们后来发现了气液在更高温度和压强下会变得不可区分，期间经历一个临界点，在临界点上自由能函数的二阶导数不连续性，所以被称为连续相变。宏观上对相变临界点的唯象理解最早由朗道—金兹堡(Landau—Ginzburg)的对称破缺理论建立起来：相变的发生是由于自由能随参数的变化导致了某种自发对称破缺。比如低温下原子液体进入超流相，或者金属进入超导相是由于自发破缺了与粒子数守恒相关U(1)规范对称性，从而建立起了宏观的量子相干现象。因此，在朗道—金兹堡的理论中，物相由对称性刻画，而相变由对称性自发破缺导致(图1)。然而微观上，在参数变动的纤毫之末，一个宏观物理系统中的1023多的粒子是如何相互关联而集体发生改变的呢？此外，更为惊人的是，大自然纷繁复杂的物质体系，其相变却呈现出极其简单的普适行为。后来人们发现这是因为在相变临界点附近微观粒子的关联长度发散，从而系统的宏观性质不依赖于其微观细节，只取决于系统序参量维数和空间维数这样的宏观基本量[3]。
图1 朗道自发对称破缺相变理论的示意图。左侧是无序相，其自由能F随着序参量?的函数关系如上图所示，自由能极小对应?=0。典型的例子是铁磁耦合的原子磁矩在高温下由热涨落导致杂乱无序。右侧是有序相，有限序参量才能使得自由能最低，因而基态会发生自发对称破缺， 即spontaneous symmetry breaking (SSB)，磁性系统在低温下原子磁矩同向排列
此外，在接近绝对零度时，当改变多粒子系统的某一参数，如粒子间的耦合强度、压力或外加磁场强度，可以将系统从一种无序的状态连续变化到一种有序的状态。由于在临界点附近存在强烈的量子涨落，这类相变与仅由温度所引起的热力学相变完全不同，被称为量子相变[4]，相变的临界点在绝对零度。量子涨落是导致量子相变的根本原因，其来源是量子系统中物理量的非对易性。一个典型的例子是，受横向磁场作用的一维伊辛(Ising)模型，随着磁场的增强，该模型会出现从铁磁相到顺磁相的量子相变。这类相变，尽管是发生在绝对零度，但依然可以纳入朗道对称破缺的二级相变理论框架之中。
对称破缺相变的微观定量描述由威尔逊(Wilson)所提出的重正化群理论来奠基，其基本思想是考虑热力学(量子)涨落，在标度变换下，通过逐级计算短程高能的物理效应来修正微观粒子间的耦合系数，最终得到长波低能极限下的有效物理作用量。由此，描述相与相变的朗道—金兹堡—威尔逊(Landau—Ginzburg—Wilson，LGW)范式犹如一座大厦落成，而对称性也成为凝聚态物理领域研究物相与集体激发行为的主旋律。
此外，二维经典物理体系会出现一种特殊的热力学相变，即Kosterlitz—Thouless(KT)相变[5]。根据Mermin—Wagner定理，我们知道在具有连续对称性的二维体系中，热涨落会抵抗连续对称性的自发破缺，摧毁有限温度下的长程序，从而导致有限温度下不可能发生有序相变。然而，在1973年Kosterlitz与Thouless发现，由于经典涡旋拓扑激发的参与，有限温度下可以发生不破缺连续对称性的连续相变。在高温无序相，关联长度有限，关联函数随空间距离指数衰减，而跨越临界点进入低温相之后，关联函数呈现幂律衰减，而且具有普适的标度行为，介于长程序与无序之间，叫准长程有序，其背后的物理图像是系统中的涡旋拓扑激发形成束缚态。作为超越LGW范式的最早例子，这里的涡旋拓扑激发因为相对直观而且最早进入人们的视野，所以早期的凝聚态物理学家还曾将Kosterlitz—Thouless相变温度以下的这个无能隙准长程序称作“拓扑序”，此概念与后来人们所关注的有能隙相中的拓扑序概念不可同日而语。
自20世纪80年代开始，人们陆续从实验中发现超越LGW范式的量子多体物质形态。这些物质形态都不具备对称破缺导致的长程序，但是它们之间的转变又不可避免要经历奇异性，亦即发生相变。根据绝热原理，它们应当属于不同的物相。因此，LGW范式预言“沙漠”之中尚有形态各异的“绿洲”。这类超越LGW范式的物相，尽管没有对称性的区分，却有着拓扑性质上的差异[6]。所谓对称性，原来是指系统在某种微观操作下的不变性，比如微观粒子的集体平移、旋转；而所谓拓扑性质，是指系统具有一些离散的整数化的宏观物理量，且这些物理量不随着轻微扰动而改变。比如，常见的一个纽结不随着绳子形变而解开，一个涡旋不随着扰动而消逝，一个甜甜圈一般的圆环面不随着扭捏而化作球面。在量子多体系统中的拓扑往往体现在某种集体激发准粒子波函数的相位因子上，比如在闭合轨迹下积累了不依赖于具体动力学的量子化Berry相位[7]。因此，量子多体系统中演生出来的物相及其相变，继续体现着杨振宁先生曾经所概括的三个主旋律。
02
超越朗道范式的拓扑量子物态
以二维量子霍尔效应为范例，我们简要回顾拓扑物相的发展，试图勾勒出弱相互作用系统中拓扑电子态的基本物理。在固体材料中，弱相互作用的电子由于量子效应而形成分立的能带结构，从而可以形成绝缘相。在绝缘相中，电子激发态需要克服有限能量，因而在低能下没有电子激发，似乎与真空无异。然而，自从20世纪80年代发现量子霍尔效应以来，人们发现在绝缘体中有一大类特殊的绝缘体，尽管其块体内无低能的电子激发，但是在其边缘上却有不需要克服能量的无能隙激发态，并且还具有强的鲁棒性，其背后的根源正是拓扑相位因子。
2.1 量子霍尔效应
在磁场中，二维电子气会受到洛伦兹力而围绕磁通发生回旋运动，在能谱上形成朗道能级，其能级间距正比于回旋频率，取决于磁场大小和电子有效质量。每个能级具有与体系尺寸相匹配的巨大简并度，因为在实空间上每个量子磁通就对应于一个电子轨道。由于泡利不相容原理，当电子填满整数个能级的时候，再增加一个电子需要克服系统能隙，所以该体系为“不可压缩”绝缘态。尽管体内激发具有能隙，但在实验上观测到量子化的横向电导表明其系统边缘存在稳健的单向流动的无能隙电子态模式，这就是量子霍尔效应。横向电导的量子化暗示了其内在的拓扑性。在1982年，Thouless，Kohmoto，Nightingale与denNijs四人首次提出了TKNN公式来刻画量子霍尔态的拓扑本质，并且将其体块和边缘的横向电导联系了起来[8]。TKNN公式本质上就是从集体激发的电子波函数中提取出Berry相位。
要理解Berry相位通量的量子化，一个最简单而又具有代表性的例子就是考虑一个连续动量空间中的狄拉克(Dirac)旋量波函数，粒子受到磁单极子的作用：
其对应的基态本征波函数为
其中θ，?为球面角参数。然后，我们可以求得Berry联络：
以及在不同纬度圆轨迹上的Berry相位：
当θ=0，也就是环绕北极点的无穷小轨迹其获得相位为0；当θ=π/2，其获得π相位；而当θ=π，将获得2π相位。也就是说，磁单极子具有2π的量子化的Berry通量。确实，狄拉克磁单极子携带着一根具有2π Berry通量的狄拉克弦。在我们这个例子中，该弦从奇点向南极无穷延伸，如图2所示。此外，狄拉克磁单极子Berry通量的量子化与二维空间中的Berry通量的量子化密切相关。只要我们取一个映射：
其中m代表狄拉克费米子的静质量。如此定义了从二维空间到三维空间的一个曲面映射，直观上相当于将二维动量平面嵌入到三维空间中，或者说把三维中的一个曲面摊开延展到二维平面(图2)。简单分析看到，当m<0，二维动量平面相当于完全包裹了一个磁单极子，从而获得2π的Berry通量。反之，m>0则对应于0通量。通过这个简单而又具有代表性的例子，我们可以窥见，二维封闭流形中的Berry通量量子化本质上是因为三维空间中磁单极子的量子化，对应于二维空间中的一个拓扑结构，称为斯格明子(skyrmion)。
图2 将包裹着一个狄拉克磁单极子的球面延展到一个平直二维平面，即斯格明子(skyrmion)
由于拓扑量子数具有鲁棒性，只要系统的能隙不被关闭，则不能发生改变。人们将这样得到的量子数称为拓扑陈数(Chern number)，因为其背后的深刻数学描述是由陈省身先生研究创建的纤维丛理论。由于这样的绝缘体体内具有非零的拓扑陈数，而体外的真空等价于拓扑陈数为零，则其边缘作为两者的过渡区域必然要发生某种特殊的低能物理特征来弥补拓扑数之差，这便是单向传输(手征性)的无能隙边缘量子电子态模式。也就是说，边缘模式是由于体内与体外的拓扑差别，因而必然具有鲁棒性，不受边缘形状、杂质散射所影响，而且边缘模式的数目也会由体内的拓扑数完全决定，所以完美解释了实验观测到的量子化横向电导。
2.2 量子反常霍尔效应
自整数量子霍尔效应从理论上被解释之后，人们很快设想在电子多体系统中，即使在没有外加磁场的情况下也可以发生量子霍尔效应，因而被称为量子反常霍尔效应。1988年，Haldane最先提出了一个理想模型，可以实现量子反常霍尔效应[9]。在一个描述石墨烯低能物理的六角晶格无自旋电子紧束缚模型中，电子只能在近邻格点之间跃迁。由于六角晶格的元胞包含两个格点轨道电子，因此可以在布里渊区(Brillouin zone，BZ)中得到两条能带，而两条能带在BZ角点K与-K上发生点接触，形成局部线性色散的狄拉克锥。也就是说，尽管原始构成粒子为非相对论性的紧束缚电子，然而在低能下，该系统中的电子表现为一对具有线性能动量关系的无质量狄拉克费米子(图3)。
图3 (a)六角晶格；(b)六角晶格最近邻跃迁模型在动量空间中的能带色散关系及其低能狄拉克锥。黑色六边形标记BZ，平均每个BZ分得一对狄拉克锥
Haldane在这样的模型中引入一个带相位的次近邻电子跃迁项，使得低能狄拉克费米子获得质量。尤为重要的是，他施加的跃迁相位正好使得两个狄拉克费米子获得相反符号的质量，一正一负。狄拉克费米子获得质量则意味着在能带上打开能隙，可以通过计算拓扑陈数发现，其中一个能带具有+1的陈数而另一个能带的陈数为-1，从而完全填充其中一个能带便可实现量子反常霍尔效应。直观上看，一个带质量的狄拉克费米子可以携带±π的Berry相位通量，而两个组合起来则可以为2π或0两种可能。在Haldane模型里，当取相同的质量则得到0通量，而相反质量则得到2π通量。值得注意的是，这样的模型尽管没有外加磁场，但是依然不可避免地破坏了时间反演对称性。事实上，这是因为电子波函数的相位在时间反演下反号，从而拓扑陈数也继承了这样的行为，非零陈数必然意味着时间反演对称性的破坏。
2.3 量子自旋霍尔效应
随后人们发现了一个反例，或者说是对原来的拓扑陈数的推广。2004年，C. Kane与E. Mele在Haldane模型的基础上，进一步考虑到自旋轨道耦合效应提出了一个新的理想模型[10]。由于存在电子自旋自由度，他们的模型在低能下本质上相当于将两个Haldane模型，分别对应自旋上和自旋下，以相反的方式来破缺时间反演对称性，从而在整体上维护系统时间反演对称性。然而，只要保证两个自旋自由度不发生耦合散射，则其各自的拓扑数仍然可以良好定义并且满足守恒定律，即自旋自由度为好量子数。更一般而言，该体系只需要时间反演对称性保护，狭义的“拓扑绝缘体”指的就是这样的在时间反演对称性保护下具有非平庸Z2拓扑数的绝缘体。拓扑性质导致在体系边缘上，产生分别对应两种自旋自由度而反向运动的无能隙电子流，从而形成拓扑保护的手征自旋流。换个角度看，其边缘上相当于产生了无质量的自旋轨道锁定的螺旋电子运动模式，这样的拓扑相被人们称为量子自旋霍尔态。后来，与之等价的拓扑相也被张守晟等人预言会在HgTe—CdTe量子阱中实现[11]。自此，拓扑绝缘体受到许多人的关注，并开辟了一个全新的领域。
不难发现，由于量子多体系统中还有许多其他的自由度，类似于量子自旋霍尔效应的推广还可以有许多，比如量子能谷霍尔态[12]。除此之外，拓扑绝缘体不限于二维，在三维体系中人们也提出了类似的Z2拓扑数的概念。借助于量子自旋霍尔效应的平台，通过掺入磁性杂质来主动破坏时间反演对称性，薛其坤团队首次观测到了量子反常霍尔效应，从而在实验上首次验证了量子反常霍尔效应[13]。这一大类的拓扑材料由于具有拓扑保护的边缘传输模式，包括电荷、自旋输运模式，乃至能谷输运模式，因而在低功耗自旋、能谷电子学器件应用上具有广阔前景。
2.4 二维拓扑超导态
最简单的二维拓扑超导是具有轨道角动量l= ±1 的p± ip无自旋费米子超导，以及l= ±2 的d± id自旋单态配对的超导。根据泡利不相容原理，无自旋费米子的配对波函数其轨道自由度必然要具有反对称性，在有单轴旋转对称性的前提下意味着奇数的角动量，则最简单的例子便是px+ipy。在连续极限下，低能有效哈密顿量可以写为
转换到动量空间中，上式成为
其中，我们将电子和空穴组成二分量的旋量，而ρ则是作用在该旋量空间中的三个泡利算符矩阵。因此，有效哈密顿量表示为赝磁场与赝自旋的作用，该磁场在动量空间中的分量为
其形式等价于我们先前所讨论的狄拉克二分量旋量费米子哈密顿量式，这里的拓扑直接体现在背后的赝磁单极子的量子化。只有当化学势μ= 0 的时候，准粒子激发谱在k= 0 处关闭能隙，除此之外，系统具有有限大的能隙。因此，μ= 0 是一个临界点，分开了两个有能隙超导相。这两个超导相具有完全一样的对称性，但是它们有着不同的拓扑陈数：C= 1，μ> 0，而C= 0，μ< 0。也就是说，μ> 0时，化学势从能带中切割出费米面，此时的超导具有非平庸的拓扑性质，对应弱配对的巴丁—库珀—施里弗(Bardeen—Cooper—Schrieffer，BCS)极限；而μ< 0时，系统不具有费米面，此时的超导是平庸的，对应于强配对的玻色—爱因斯坦凝聚(Bose—Einstein—Condensation，BEC)极限。
与常规s波配对超导态不同，p波超导的弱配对BCS极限与强配对BEC极限并不绝热相连，其拓扑不等价性导致必然需要经历一个拓扑相变[14]。考虑μ> 0 的一个足够大且具有开放边界的系统，由于从系统内部到外面的真空经历了拓扑陈数从C= 1 到C= 0 的变化，在系统的边缘上必然要关闭能隙。在开放边界条件下，通过求解Bogoliubov—de Gennes方程得出，在边缘上将出现手征性、单向性准粒子传导，即破坏了时间反演与宇称的马约拉纳(Majorana)费米准粒子模式。
更进一步，我们可以求解出，当超导体块中出现了超导涡旋的时候，将会俘获一个严格零能量的孤立马约拉纳费米子。这可以如下简单理解：将超导涡旋近似处理成超导体上一个挖空的圆对称的区域，则围绕其边缘会出现线性色散的手征马约拉纳费米子模式，而由于磁通涡旋的存在抵消掉了p+ip超导自身携带的2π相位环绕。所以，该手征马约拉纳费米子模式波函数满足周期边界条件，从而其轨道角动量整数量子化，其中角动量为0的模式则为严格零能量的马约拉纳费米子。事实上，其零能量受到拓扑保护，在扰动下该结论不变。磁通涡旋与俘获的孤立零能量马约拉纳费米子的复合体被称为马约拉纳零能模式。与单纯的费米子不同，马约拉纳零能模具有非阿贝尔的统计，即两个马约拉纳零能模相互缠绕一周彼此都会获得π相位。如何在实际物理体系中实现p+ip拓扑超导？2008年，傅亮和C. Kane提出在拓扑绝缘体表面态上耦合常规超导体可以实现p+ip拓扑超导[15]，该方案吸引了许多实验学者的关注。其方案的核心是，借助三维拓扑绝缘体表面态上的狄拉克螺旋电子态的强自旋轨道耦合，有效地“冻结”电子自旋自由度，从而演生出p+ip的低能有效配对拓扑超导态。
此外，我们简要介绍下一个d+id拓扑超导。其超导配对波函数的轨道角动量l= 2，具有偶宇称，因而出现在自旋单态配对中。d+id的配对波函数围绕费米面会发生4π的相位环绕，因此得到拓扑陈数C= 2，在边缘上会导致两支手征马约拉纳模式，等价于一支狄拉克费米子模式。此外，考虑到自旋单态配对不破坏SU(2)对称性，所以Bogoliubov准粒子激发携带自旋简并，从而其边缘模式即为一支携带自旋的狄拉克费米子模式。因此，尽管d+id超导也具有非平庸的拓扑，但是其边缘乃至涡旋中心都不具备孤立的马约拉纳模式，从而属于阿贝尔统计类型[14]。有研究者认为在1/4填充附近的石墨烯或者在三角晶格的哈伯德模型中可以实现d+id拓扑超导。
2.5 相应的拓扑相变
按照绝热原理，有序相的划分依赖于相变，因而有序相与相变犹如一枚硬币的两面不可分割。在传统的LGW范式中，有序相由序参量来刻画，相变则对应于序参量获得一个非零真空期望值，相变理论基本决定于宏观的序参量和空间维数。因而物质的有序相及其相变有一一对应关系，知道了两个相，从对称性和空间维度的信息便基本确定了其间的相变临界理论，这就是凝聚态中的普适类的概念。与传统LGW相变不同，拓扑相变并不涉及对称性破缺，大多由拓扑数来刻画，因而其拓扑陈数的改变则标志着拓扑相变，类比于LGW范式下对称性的改变所描述的相变。在此类拓扑临界点上，往往具有无质量狄拉克色散的费米子激发，其数目取决于两边拓扑相的拓扑数之差，狄拉克费米子质量出现反号，则对应拓扑相变的相变点。比如平庸绝缘态到量子自旋霍尔态的相变，在低能下对应于一个二维螺旋狄拉克费米子从正质量变为负质量[11]。
03
超越朗道范式的内禀拓扑有序物态
诸如量子霍尔态、量子反常霍尔态和拓扑超导态这样的量子多体纠缠态，由于无法绝热地演变成单粒子直积态，它们的拓扑性质体现在边缘上或者缺陷上的无能隙稳健激发模式，而体内并没有任何不同于平庸相的物理效应。然而，在粒子与粒子的强相互作用下，量子多体系统还可以演生出更加丰富的内禀拓扑有序物态，其拓扑本质则体现在体内可以出现新奇准粒子激发，它们满足的统计性质既非玻色亦非费米统计。
3.1 任意子统计
通常在三维空间中，点状粒子与粒子之间的任何缠绕轨迹均可以绝热连续收缩回到原点，从而粒子与粒子之间的缠绕必然只能产生0或者2π的统计相位。由于两次粒子交换操作等价于粒子之间的缠绕，所以粒子之间的交换只可能导致其波函数相位改变0或者π，分别对应于玻色子与费米子。然而在二维空间中，粒子之间的缠绕轨迹无法绝热地收缩回到原点，从而原则上可以获得更为一般的Berry相位(图4)。在二维空间中，原则上可以出现超越玻色子与费米子的其他分数化统计相位的粒子，F. Wilczek最早提出[16]，并称之为“任意子”(anyon)。任意子之中又分为阿贝尔任意子与非阿贝尔任意子，前者的相互缠绕只导致波函数整体相位的改变，而后者对应于矩阵形式的相位因子，所以相互缠绕导致波函数被完全改变。任意子在2+1维时空中相互缠绕的世界线等价于数学上的辫子群[17]。
图4 (a)在三维空间中，点粒子之间的缠绕轨迹可以沿着球面绝热收缩回一个点，因而产生的相位只能为0(玻色)或者π(费米)；(b)二维空间中，点粒子之间的缠绕轨迹由于被禁锢在二维平面内而无法绝热地收缩回一个点，因而原则上可以产生任意的Berry相位，包括非阿贝尔类型
这些超越玻色与费米统计的任意子便演生于强相互作用的内禀拓扑有序态之中。最为著名的例子便是实验中所观测到的分数量子霍尔态，尽管其微观基本自由度都只是电子，但是其强相互作用的结果导致在低能长波极限下所观测到的准粒子具有分数电荷并满足统计，比如最早观测到的电子比上磁通的填充数ν= 1/3 的Laughlin霍尔态，其准粒子激发即具有1/3电荷的统计性质，堪称凝聚态中的夸克[18]；而知名的ν= 5/2 填充的Moore—Read态[19]则具有非阿贝尔的伊辛任意子激发。由于具有有限能隙，分数量子霍尔效应在低能长波极限下的规范涨落可由Chern—Simons拓扑规范理论所描述[20]，所以对应的量子态具有拓扑有序性质。
此处的拓扑，本质上是因为系统的低能有效作用量不依赖于时空度规，即在时空坐标变换下作用量保持不变，而表征上体现在这些具有非平庸统计相位的任意子类似于拓扑激发，具有强鲁棒性。同时任意子从产生到湮灭的运动轨迹可以将一个多体基态转变为另一个基态，从而导致依赖于实空间的流形拓扑的基态简并度。任意子的信息完全蕴含在系统基态空间中，可以通过对实空间流形作模变换而提取出任意子的统计相位。比如，将实空间上的一个圆环面作90°旋转的变换，在基态空间中的表示矩阵描述了不同任意子之间相互缠绕的统计相位；而将圆环面剪切开，将其中一个开口自转90°再重新接上这样的变换矩阵则携带了同种任意子之间缠绕的统计相位[21]。有了任意子之间的统计相位信息，便可以通过Verlinde公式计算出任意子的基本融合规则[22]，实现拓扑有序态的完整描述。
3.2 量子自旋液体
另一个能演生任意子的内禀拓扑物态则是量子自旋液体家族。量子自旋液体的研究可以追溯到阻挫量子磁学以及铜氧化合物高温超导体。30年前，安德森提出共振价键态(Resonant Valence Bonds，RVB)的拟设，用来作为阻挫量子磁性基态甚至作为高温超导的母体态[23]。在具有电子半满填充的晶格体系中，由于强库仑相互作用，电子电荷自由度被冻结，只留下自旋自由度，形成强关联莫特绝缘相。在经典理论中，低温下自旋热运动被冻结，自旋倾向于破缺旋转对称性形成某种量子有序态，比如铁磁态和反铁磁态，或者保留自旋旋转对称性而破缺晶格对称性的价键固态：电子两两配对成为价键单态。然而，电子磁矩在反铁磁的超交换作用下，强烈的自旋量子涨落会摧毁任何的有序而恢复高对称性。当存在晶格几何阻挫时，量子涨落的效应尤甚。由于没有破缺任何的自旋旋转对称性和晶格对称性，人们将其喻为“量子自旋液体”。量子自旋液体最有代表性的就是由安德森提出的作为许多不同的价键固态的等权量子叠加的RVB液体态。在该量子态中，电子的自旋和电荷自由度分离而出现分数准粒子激发，演生出的规范场传递粒子间相互作用。在RVB拟设下，自旋子(spinon)已然发生配对，而在进行空穴掺杂时，U(1)规范对称性上升为全局对称性，空穴子(holon)作为玻色子可以发生玻色凝聚而自发破缺全局的U(1)对称性，这时系统便进入到超导相，这便是高温超导的RVB图像。
图5 示意最近邻短程共振价键态(RVB)中的其中一个价键态构型。蓝色椭球标记一个由两个格点上的自旋所形成的自旋单态，红色标记一个孤立自旋子(spinon)拓扑激发，其满足费米统计但不携带电荷
然而，基于高温超导体系的RVB是由长程的自旋单态组成，其自旋子无能隙而具有费米面，研究起来非常复杂。为此，Rokhsar与Kivelson提出了量子二聚态模型[24]，考虑更原始的短程RVB态中的拓扑激发，用简化的二聚化构型来刻画短程RVB的极限，即退禁闭的自旋子以及演生涡旋规范场，如图5所示。而文小刚则从隶玻色子(slave boson)分解与演生规范场的角度提出了该体系中的Z2拓扑序的概念[25]。随后，Moessner与Sondhi从数值计算上验证了该系统所具有的Z2拓扑序[26]。然而，真正彻底的征服来自1997年Kitaev在arXiv上发布文章所提出的严格可解模型，该模型简单且严格可解，展现出相应的克服能隙的任意子激发与基态拓扑简并[27]。
3.3Z2自旋液体态
1997年，A. Kitaev在arXiv上发布一篇名为《藉由任意子实现可容错的量子计算》的文章，首次提出一个名叫Toric Code的自旋模型，名字取义于在圆环面上作量子编码，文章后来正式发表于2003年。该自旋模型严格可解，其基态为量子自旋液体，可以完美地展示Z2内禀拓扑序。该模型十分简约，只保留了最核心的拓扑的信息。与RVB自旋液体不同，此模型并不具有自旋旋转不变性，从而充分展示了Z2量子自旋液体的本质不在于对称性。出于这个模型的极简性与严格可解性，以及Z2内禀拓扑序的基础性，该模型在拓扑序研究领域中的地位堪比伊辛模型在相变研究中的地位，是许多理论和实验研究的一个试金石。
Toric Code模型最初定义在一个周期边界条件的正方晶格上，自旋1/2物理自由度处于格点连边上，其哈密顿量表示为
其中顶点Aj算符与元格Bp算符分别定义在顶点与元格(plaquette)上，如图6(a)所示。四自旋相互作用项表面上十分复杂，但是每一个局域的Aj或者Bp都是守恒量，这是由于自旋1/2的泡利算符反对易，而顶点算符和元格算符之间总有偶数自旋交叠，从而抵消了负号。因此，任意的本征态都可以由所有的局域算符的本征值来完全确定，模型严格可解。
图6 (a)Toric Code 模型中四个自旋乘积形成的相互作用项；(b)Toric Code 模型的基态可以表示为所有闭弦等权相干叠加形成的弦网凝聚态
当我们将自旋朝上视作参考真空，而自旋朝下看作弦的一段，那么Toric Code模型的基态可以表示为包含所有闭弦等权重相干叠加态，如图6(b)所示。这种闭弦凝聚态可以看成是传统玻色子凝聚态从点粒子推广到弦这样的延展对象，并且闭弦在基态中可以任意涨落不耗散能量。其实，在经典伊辛统计模型中，高温极限下自旋无序涨落，磁畴壁发生任意的热涨落。如果把闭合畴壁当作基本自由度，该热力学系统则为发生热涨落的各种畴壁。这样的伊辛统计模型与Toric Code模型的基态有着深刻的内在联系。
实际上，Toric Code模型等价于一个描述二维空间中最简单的离散化的电磁场理论，其低能激发包含的准粒子有：电荷e、磁通m、马约拉纳费米子f。由于不同格点的σx之间相互对易，所以m粒子相互缠绕的轨迹算符可以等价于一串m闭弦算符作用到基态波函数上，并不出现任何相位，从而m粒子之间具有玻色统计。同理，不同的e粒子相互之间缠绕也不产生相位而同样具有玻色统计。然而，关键的是当一个e粒子环绕一个m粒子一周缠绕时，其运动轨迹涉及一条e弦与一条m弦的相交。由于σxσz= -σzσx，从而它们之间的交换会贡献一个“-1”，即导致π的Berry相位，如图7所示。也就是说，尽管各自满足玻色子统计，但是e与m粒子相互间却具有非平庸的统计相位π，人称“semion统计”。如此一来，可以简单验证，e粒子与m粒子的复合粒子具有费米统计，记为 f = em。从一个纯粹的玻色自由度的微观模型中，竟然演生出了费米子激发，这不可不谓神奇！如此，我们便确立了该体系中的三种基本低能拓扑激发准粒子e，m，f。广义上说，它们都属于任意子。
图7 弦算符激发的拓扑粒子及其统计关系。蓝色粗线代表电荷e弦，红色粗线代表磁通m弦，其各自末端为拓扑准粒子。可以验证电荷e弦环绕磁通m弦一圈后，发生Aharonov—Bohm效应导致π相位
每一种任意子激发都具有拓扑稳定性，不同的任意子类型只能通过融合来转变，比如e型任意子只能通过与f型任意子融合来得到m型任意子。一般而言，任意子的融合遵循一个简单而基本的代数原则。Toric Code模型任意子的融合原则是
事实上这组融合规则连同任意子的统计定义了一种拓扑序。在三角晶格短程RVB自旋液体中，虽然微观晶格不同，对称性也不一样，但是其中的基本拓扑激发却遵循同样的统计和融合规则，即费米型的自旋子围绕着玻色型的演生规范场vison(π通量涡旋)转一圈会产生π通量激发。所以，三角晶格上的短程RVB自旋液体与Toric Code模型同为一个普适类，称为Z2拓
