撰文 | 倪忆（加州理工学院数学系教授）
2021年4月26日，美国科学院宣布了新当选的院士和外籍院士名单。在120名新科院士中，有59名女性，创下了纪录。其中有一位来自纽约哥伦比亚大学巴纳德学院（Barnard College）的女数学家，琼·伯曼（Joan Sylvia Lyttle Birman），出生于1927年5月30日，还差一个月就满94岁。这个年纪当选院士，即便不是纪录，想必也没有几个人能排在她前面。
2008年，琼·伯曼在普林斯顿高等研究院
张爱玲说过：“出名要趁早。”这话似乎尤其适合数学领域。有一种说法称数学是属于年轻人的学科，数学界最高奖之一的菲尔兹奖就只颁发给不超过40岁的数学家。大众的目光更多地汇聚在那些“神童”身上，看他们如何一路开挂，仿佛不是少年天才就没有前途。即便是魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）和张益唐这样大器晚成的数学家，也在很年轻的时候便开始从事高质量的数学研究。从这一点来看，伯曼的经历在数学家中相当罕见。
琼·伯曼原姓莱特（Lyttle），出生于纽约的一个犹太移民家庭，是四姐妹中的老三。不同于传统的“犹太高知”形象，琼的父母都没有上完中学，但他们对子女的教育非常严格。即便琼在考试中得了98分，父母也会追问：“那两分是怎么丢的？”
莱特家四姐妹，左一为琼
高中毕业后，琼进入斯沃斯莫尔学院（Swarthmore College）学习数学。为了离家更近，她转学至巴纳德学院。这是哥伦比亚大学附属的一所女子学院，是著名的“七姐妹学院”之一。当时常春藤联盟的大学仅招收男生，普林斯顿、哈佛、耶鲁都是到1969年才招收女生。（作为对比，北京大学在1920年便招收了第一批女生。）对有志于接受高等教育的女性来说，七姐妹学院就是她们最好的选择。然而，巴纳德学院开设的数学课程很浅，高级数学课必须要到马路对面的哥大本部去上。琼经常发现自己是班上唯一的女生，这不禁让她产生了“女生不适合学数学”的念头。
少女时代的琼
1948年大学毕业后，琼在工业界工作了十多年。在此期间，她短暂回到哥伦比亚大学，于1950年获得物理硕士学位。同样在1950年，她与物理系同学约瑟夫·伯曼（Joseph Leon Birman）结婚。（约瑟夫后来成为一位知名物理学家和社会活动家。上世纪八十年代，中美两国物理学会设立了一个合作研究计划，让中国的中年物理学家有机会赴美深造，约瑟夫·伯曼就是这一计划的美方负责人。他跟周光召、黄昆、方励之等中国物理学家都有交往。）
21岁时的伯曼夫妇
1961年，已经是三个孩子母亲的琼·伯曼进入丈夫任教的纽约大学，成为一名半职的数学研究生。因为家庭负担沉重，琼起初每年只修一门课，后来增加到两门。修够课程后，她通过了硕士毕业考试。然而，她并不知道这个考试同时也是博士资格考试，而博士生必须是全职学生。在丈夫和系里老师的支持下，她开始攻读博士学位。作为一名年纪偏大且数学基础薄弱的学生，她找导师并不顺利，先后被两位教授拒绝。最终，群论专家马格努斯（Wilhelm Magnus）接受了她。
1962年，伯曼的三个孩子
在博士阶段，琼·伯曼的研究方向是辫群和映射类群。这是两类起源于拓扑的群，但当时的人主要研究它们的代数性质，很少有人把它们同拓扑结合起来。马格努斯的导师德恩（Max Dehn）证明了所有闭曲面的映射类群都是有限生成的，马格努斯希望把德恩的定理推广到带洞的曲面。马格努斯本人证明了亏格0的情形，还证明了亏格1并且洞的个数是1或者2的情形。他给伯曼的博士论文主题就是解决亏格1并且洞的个数是3或者4的情形。大出马格努斯意料的是，伯曼用拓扑方法定义了一个正合列，今天称为“伯曼正合列”，并利用这个正合列证明了任意亏格和带任意多个洞的曲面的映射类群都是有限生成的。这是关于映射类群的一个基本结果，至今仍被广泛引用。
辫群里的一个基本关系（图源：https://theportal.wiki）
伯曼在1968年获得博士学位。她已经41岁了，有三个孩子。对于大多数人来说，此时已经到了人生的下半场，可以混日子等退休了。可对于伯曼来说，她波澜壮阔的数学生涯才刚刚开始。她在纽约的斯蒂文斯理工学院（Stevens Institute of Technology）找到了一份教职。在那里，她与一位研究生希尔登（Hugh Hilden）合作发表了六篇论文，将映射类群的对称子群与辫群联系起来，并且运用这一理论对一类特殊情形证明了庞加莱猜想。她还证明了（亏格大于2）的闭曲面映射类群的一维同调群是Z/2Z的子群，这改进了菲尔兹奖得主芒福德（David Mumford）的结果。伯曼的学生鲍威尔（Jerome Powell）最终证明了这个同调群是零。
这时的伯曼已经是辫群和映射类群领域无可争议的头号专家。1971-1972年，她应邀在普林斯顿大学数学系访问一年，在那里开设了一门关于辫群和映射类群的研究生课程。在当时的普林斯顿数学系，她是唯一的女教师。她的课程讲义随后被普林斯顿大学出版社出版，是辫群和映射类群的第一部系统性专著。1973年，伯曼被母校巴纳德学院聘为数学系主任，从此一直在那里工作。
辫群跟纽结理论有着密切联系。伯曼一直持有一种理念，就是用辫群来研究纽结。1984年，新西兰数学家琼斯（Vaughan Jones）在研究算子代数时发现了辫群的一个新的表示，于是他联系了伯曼，两人开始会面讨论。从伯曼那里，琼斯学到了许多关于辫群和纽结理论的内容。最终在伯曼的帮助下，他发现了一个新的纽结不变量——琼斯多项式。在琼斯发表的论文里，他写道：“在许多应当感谢的人里，作者要特别指出琼·伯曼。她对这个新主题的贡献有着无法估量的重要性。”1990年，琼斯获得菲尔兹奖，而在国际数学家大会上介绍他的工作的人正是伯曼。
1986年，琼斯和伯曼
伯曼影响过不止一位菲尔兹奖得主。她和英国数学家西尔瑞斯（Caroline Series）在八十年代中期发表了几篇论文，研究曲面上的全体闭测地线。在她们工作的基础上，麦克肖恩（Greg MacShane）证明了一个关于有洞环面上闭测地线长度的著名恒等式。伊朗数学家米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani）在她的博士论文里将麦克肖恩恒等式推广到了任意曲面，并用它证明了关于模空间上积分的一系列令人惊异的结果，包括对伯曼和西尔瑞斯文章中提出的一个闭曲线计数问题的解答。2014年，米尔扎哈尼成为迄今为止唯一一位获得菲尔兹奖的女数学家。
米尔扎哈尼（图源：Getty Images）
1991年，俄罗斯数学家阿诺尔德（Vladimir Arnold）访问哥伦比亚大学。伯曼在数学楼的门厅见到了阿诺尔德，后者在电梯前把行李箱放下，从中取出一篇他的学生瓦西列夫（Viktor Vassiliev）写的论文，对伯曼说：“你必须读读这篇超级棒的论文！里面有从奇点理论而来的纽结不变量，你应该帮助宣传一下！”（关于阿诺尔德的一些往事，见《那些不被允许领取菲尔兹奖的数学家》。）伯曼把这篇论文复印了许多份，寄给了她能想到的每一个相关的数学家。她和当时在哥伦比亚大学任职的中国数学家林晓松一起深入研读了瓦西列夫的论文。最终，伯曼和林晓松用自己的方式对瓦西列夫不变量给出了公理化的定义，并且证明了琼斯多项式是一种特殊的瓦西列夫不变量。伯曼和林晓松对瓦西列夫不变量的刻画是如此成功，以至于大多数人都是通过他们的论文来学习瓦西列夫不变量，并且使用“有限型不变量”（finite type invariant）这个更符合他们的公理系统的名字来称呼瓦西列夫不变量。这篇是MathSciNet上伯曼被引用次数最高的论文。
伯曼和林晓松（图源：Notices of the AMS）
有这样一件事可以说明伯曼的治学态度。1973年，伯曼和希尔登在《数学年刊》上发表了一篇论文，其中包含7个定理。2016年，有两名数学家发现伯曼和希尔登论文中的定理5是错误的。对这种情况，通常的处理方式就是在同一杂志上发表一篇更正，指出错误即可。但伯曼和希尔登检查了MathSciNet上引用他们论文的全部42篇文献，确认没有一篇引用了错误的定理5，并在更正中加以说明。他们的更正发表于2017年，距离前一篇论文已经有44年，是笔者所知间隔最长的。
在长达五十多年的学术生涯里，伯曼发表了一百多篇论文，涉及到低维拓扑和几何群论的许多领域。2006年，79岁的伯曼从巴纳德学院教授的职位上退休。但她不愿意就此退休，于是又以“研究教授”的身份继续留校，直到近年才正式退休。2007-2008年，笔者在哥伦比亚大学做博士后，当时伯曼仍然每天到校工作。伯曼在80岁以后发表了十几篇论文，其中最新一篇完成于2018年，当时她已经91岁高龄！
伯曼和她培养的部分博士
伯曼一直热心参与数学界的社会工作，尤其是对开放获取期刊的倡导以及对女数学家的支持。1990年，为了纪念她的二姐露丝·莱特·萨特（Ruth Lyttle Satter），伯曼捐资给美国数学会，设立了露丝·莱特·萨特数学奖（Ruth Lyttle Satter Prize in Mathematics），颁发给最杰出的女数学家。华裔数学家杨丽笙、张圣容、邬似珏曾获得此奖。（露丝跟琼有着相似的经历。她本科毕业于巴纳德学院，生育四个孩子后，于41岁开始攻读植物学博士，45岁时获得博士学位。她在与疾病作斗争的同时取得了突出的学术成果。）伯曼夫妇后来又捐款给女数学家协会（Association for Women in Mathematics），设立了琼和约瑟夫·伯曼拓扑与几何研究奖（Joan & Joseph Birman Research Prize in Topology and Geometry），颁发给拓扑和几何领域的优秀青年女数学家。他们还捐款给美国数学会，设立了琼和约瑟夫·伯曼女学者奖金（Joan and Joseph Birman Fellowship for Women Scholars），用以减轻职业生涯中期的女数学家的个人负担。
状如蝴蝶的洛伦茨吸引子，伯曼曾深入研究过其中出现的纽结（图源：reddit.com）
伯曼获得过许多荣誉，包括斯隆奖、古根海姆奖、肖夫内奖。她是纽约科学院院士、美国艺术与科学学院院士、欧洲科学院外籍院士。今年当选美国科学院院士，可谓实至名归。祝贺琼·伯曼，也祝愿她继续产出更多的数学成果！
主要参考资料
[1] Interview with Joan Birman, Notices of the AMS 54 (2007), no. 1, 20-29.
[2] Dan Margalit, The Mathematics of Joan Birman, Notices of the AMS 66 (2019) no. 3, 341-353.
本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”。作者注：文中图片除标明外，均来自Celebratio Mathematica.
