历史上有许多数学家和物理学家研究过彩虹这一美丽的自然现象，除了能解释彩虹是因为光在水滴中的折射和反射，还有一些有趣的问题不那么容易回答，比如为什么看到彩虹的仰角为42°？为什么看到的彩虹是完美的半圆形？神奇的现象往往背后蕴含着深刻的道理，这也是让科学家不懈追求的动力。
撰文 | Marianne Freiberger
翻译 | 丁玖（密执安州立大学博士，南密西西比大学数学教授）
校对 | 汤涛（南方科技大学数学系教授）
来源：数立方网站
当伟大的数学家艾萨克·牛顿解释彩虹的颜色与折射时，诗人约翰·济慈吓坏了。济慈抱怨（当然通过诗），数学解释打劫了这些魔幻般的“所有规则和线条的奥秘”的自然奇观。但是，正如我们下面将看到的，数学解释只需要基本的几何线条和圆圈，漂亮的数学原理和彩虹本身是一样的优雅。
因折射而弯曲
彩虹的颜色是因光折射而分裂成的一个结果，就像光线通过棱镜照射时所发生的那样。从太阳上来的白光是不同频率电磁波的组合。当这些频率的组合在同一时间到达你的眼睛时，你就能看到白色，当你的眼睛捕捉到其它的波时，你就会感知另一个特定的颜色。
约670至780兆赫频率之间的光波被视为紫罗兰色调，光谱的另一端是波频率在约400至480赫兹之间，它给出了不同深浅的红色知觉。而所有其它颜色均来自这两个频段之间的频率。一般来说，人眼不能感知所有频率的电磁波。
图1：可见光谱从紫色（左）到红色（右）
当一缕阳光碰到一个球形水滴，它的一部分将从液滴的表面反射，但另一部分将进入它。当进入时，光线会弯曲或折射，这是将吸管插进一杯水时看到的同样现象。然后光线将继续行进直到液滴的后部。这时有些光线会离开水滴出去，但有些将被反射回来到液滴的另一边，并在这一过程中再次折射。（见图2）
图2：一条光线被折射，反射，然后再次折射。
折射是一缕光线从一种介质传递到另一种介质而速度放缓的一个结果。一个非常粗略的类比是想象将一个购物推车以某种角度从路上推向草地：推车因为撞击草地将首先放缓，然后改变方向。
图3：不同频率的光有不同的折射
不同频率的光进入液滴弯曲多大由Snell定律描述。该定律说，折射光线位于由入射光线和入射点法线所形成的平面上，法线是通过射线撞击液滴的那点并和液滴表面垂直的那条线。由于我们假设是球形的液滴，在这种情况下，法线是连接液滴中心和入射点的扩展半径。
图4：包含入射光线和折射光线的水滴的横截面。Snell定律表明角度α和β有关系。
Snell定律也告诉我们，光线折射的角度由下列方程决定：
上面的结果四舍五入到小数点后两位。折射率为1.34的紫外线光有
正是这些不同频率的光导致的不同折射角度，给出了彩虹的不同颜色。
捕捉彩虹光
但是，为什么我们看到的颜色形成一个完美的圆弧？要了解彩虹的形状，我们假定来自太阳的光可以看成一束平行光线并射向一个特定的水滴。使用Snell定律和反射律（即入射角等于反射角），我们可以计算出一根射线偏离它第一次进入液滴时的角α多少。换句话说，当它被折射、反射，然后再折射后以什么角度转向（见图5）。这个角度当然因不同频率或不同颜色的光而异。
图5：算出的角度偏差
图6：DF(α)的图像
图7：图中彩虹线以红色表示。来自水滴的一簇光线在彩虹线周围出现，而其它地方出现的光线则更加分散。
色彩锥
图9：由水滴偏离而来的彩虹线与直线L形成了一个42.52度的倾斜角。
如果把你的眼睛发出的所有和L相交42.52°角度的光线放在一起，将得到一个圆锥体（见图10）。所有发出红光的液滴都在此锥上；如果不是的话，你将不可能捕捉到它们的红色彩虹线。但是，当你从锥的顶点沿着锥表面看，所有你看到的都是一个圆。你可以通过将一张纸卷成锥形状并通过尖端的小洞窥视来尝试这点。彩虹来自锥面上与你的眼睛距离不一的水滴，有的较近有的较远。但你的眼睛无法分辨距离，它看到的是红色光混合在一起形成的一个圆弧，似乎是位于有一定距离的某处。为什么你往往看不到完整的圆呢？这是因为地球的缘故。除非你的位置高于天空中的水滴，例如从飞机上俯视，在这种情况下，你可以看到一个美丽的圆形彩虹。
图10：你看到的在天空发光的水滴位于一个圆锥体的表面。
这种解释也说明为什么背朝太阳站着时你只看到一道彩虹：这是你可以捕捉来自于液滴的彩虹光线的唯一途径。这也解释了为什么彩虹下面的天空显出比上面的更明亮。由于绝大多数的光线离开液滴后高于彩虹线（见图7），你不会捕捉到彩虹“上面”来自水滴的任何光线（即位于各种颜色的锥的外面）。所以你看不到任何源自这些水滴的反射光。然而，你的眼睛能捕捉到来自水滴彩虹“下面的”的反射光（位于锥体内的水滴）；鉴于此，彩虹下面的天空显得更亮，它以白光出现，因为从不同的水滴来的不同颜色的非彩虹光线混合在一起会成为白光，并进入你的眼睛。
彩虹几何也表明，任何你看到的彩虹是你的，也仅仅是你的，虽然站在你旁边其他人也会看到彩虹，但它一般会来自不同的水滴，因此这将是一个不同的彩虹。
图11：彩虹
如果你是幸运的，有时候你可能会在略高于主彩虹处看到暗淡一点的第二个彩虹。这个副虹是水滴内光线两次反射的一个结果。在这种情况下，各种颜色的彩虹角度约为51度，这是为什么副虹在天空看上去高一点的原因。双反射也意味着副虹的颜色以相反的顺序出现，底部为红而顶部为紫。下面是笛卡儿所作的原始草图，他天才地首先解释了彩虹的形状，包括主虹和副虹。与副虹相关的双反射由红线跟踪。
图12：笛卡儿的草图：主要和次要的彩虹
甚至有可能在理论上（尽管实际中鲜有发生）看到来自水滴内三、四个或更多的反射产生的彩虹。但我把这些计算留给读者们。
本文转载自数立方网站。原文链接：https://plus.maths.org/content/rainbows
