撰文 | 彭罗斯、霍奇斯
来源：数学与人文
访谈者简介：彭罗斯（Roger Penrose），英国数学物理学家，牛津大学数学系 W.W. Rouse Ball 名誉教授。以其在数学物理方面的工作而闻名，特别是对广义相对论和宇宙学的贡献。获得了多个奖项，其中包括 1988 年与霍金（Stephen Hawking）共同获得的沃尔夫物理学奖，2020 年与 Andrea Ghez 和 Reinhard Genzel 共同获得了诺贝尔物理学奖。霍奇斯（Andrew Hodges），英国牛津大学瓦德汉学院高级研究员、数学导师。
罗杰·彭罗斯肖像油画丨图像来源：广东蕉岭丘成桐国际会议中心
第一部分
Andrew Hodges（以下简称 H）：Roger，非常高兴能以这样一个正式访谈的形式跟你对话，特别是，我跟你认识都有四十二年了吧？
Roger Penrose（以下简称 P）：是啊，好长的一段时间了。
H：回顾这段时期内发生的事情，我脑海里出现的第一个念头就是时间。我想说，你做的所有事情似乎都以某种方式击败了时间。
P：通常来讲，应该是被时间击败了吧。
H：我不这么认为。我认为你胜利的次数超过了绝大多数人。
P：我不清楚你是否还记得，我的办公室里曾经有一个倒着走的时钟。
H：我认为那是个很不错的装饰品，每人都该买一个。由此我们自然会联想到热力学第二定律，时间方向之谜，我们的意识和对过去的知觉，等等。不幸的是，过去只能谈论，真是很大的一个缺憾啊。但首先，兴许你可以就你的初期数学工作说几句。很抱歉要从这么早开始，不过我觉得，你的很多工作都源于 20 世纪 50 年代在剑桥的这段时期，而且那时困扰你的谜团，有些到现在也没有消失。
P：好的。我在剑桥圣约翰学院做研究生时，一开始做的是代数几何。我想我当时是被误导了，以为代数几何是很几何的。很快我就认识到它基本上是代数的，而几何才是我很享受而且做起来最轻松的。
我做的其中一件事就是发展了一套记号。一开始霍奇（William Hodge）是我的导师，Michael Atiyah 跟我是同时期的。我发展的那套记号最初是用来应对霍奇所教授的微分几何课程的，这课并不容易，满黑板都是他写下的指标记号。部分由于这个原因，我发展了这套记号，使得张量都由带有“手臂”和“腿”的东西来表示。你可以通过它们进行缩并等运算，将张量代数问题转化成了容易理解得多的图像进行处理。
H：事实上，这有关于另一个主题，我本打算待会儿再问你的。你发展了好些在纸上以及在脑海中看某些东西的方式，它们都跟通常的正式记号很不一样。而且你也给了我一个印象，那就是你没有追随更抽象的代数几何，它从那个时候起已经开始变得非常广阔。抽象数学领域在发生大量惊人的事情，但你一直持一个几何的观点，这在当时的剑桥肯定算是有些跟不上潮流的吧。
P：我想我确实是不追赶潮流的。虽然你去看我的论文的话，里面可是一个图都没有，但它们都是利用图像完成的，我是说，在处理代数运算的时候，我使用张量图画，画各种线条，使用对称和反称操作的记号，进行各种各样的操作。这些本来是很代数的东西，但我都是用很几何的方式去做的。我想，这也是对我后来的研究起重要作用的事情之一。我发展出的张量的更一般形式，超越了张量通常的含义，包括了负数维度的张量，后来发现跟量子力学中的自旋有关联。旋量让我觉得很神秘，因为它似乎是某种“部分”的东西，大概来讲它是向量的开平方，而我当时搞不懂怎么才能做到这一点。
Dennis Sciama 是我在剑桥时的一位很好的朋友，或者应该说，我们在更早的时候就是好朋友了。他是位宇宙学家，追随的是当时流行于剑桥的稳恒态宇宙学模型。Bondi 和 Hoyle 作为这个模型的提出者，当时也在剑桥。Dennis 非常推崇这个模型，而我也觉得它非常有趣、激动人心和哲学上令人满意：宇宙一直存在着，没有什么开端，而它的膨胀则被持续不断产生的新物质所补偿。后来我开始不满意这一模型，因为这些规则很难跟广义相对论相融合，而要让我在广义相对论跟静态宇宙学模型中二选一的话，我肯定是选广义相对论的。不管怎么说，Dennis 跟我的友谊对我是十分重要的，我从他那里学了好多物理知识。
你看，作为一个纯数学的研究生，我起码去上了三个非纯数学的讲座课程。当然，我去听的很多纯数学课程对我都是很重要的，我记得有 Philip Hall 的课，还有 Shawn Wiley 讲得非常好的拓扑课程，等等。但我也参加了一些跟我的研究计划没什么明显关联的课，其中就有 Hermann Bondi 的“宇宙学中的广义相对论”，讲得非常流畅，非常精彩。狄拉克（Dirac）的量子力学课同样令人赞叹，但其原因则完全不同，他是将所有东西按逻辑组织得井井有条。很多同事告诉我说，这不就是他书里写的那些吗？但你看，我还没看过他的书呢，所以他所做的工作之优雅是我在上课时领略到的。这课对我很重要还有一个原因。第一学期讲的是标准的量子力学，第二学期讲的是量子场论，然后在讲量子场论的时候，不知道出于什么原因，兴许是 Dennis 找狄拉克谈过，他用了一个星期专门讲二分量旋量。我那时一直在试图理解二分量旋量，看了一些书，可我觉得里面写的都说不通。但狄拉克给的那两次讲座真是堪称完美，让整个问题变得一目了然。这事说起来还有点讽刺，因为大家通常认为狄拉克是四分量旋量的代言人，但事实上他不仅理解二分量旋量，他还用这个形式发展了他的方程的更高旋量版本。在我看来他的方法绝对是正确的。
H：你已经提到过，而且我认为我在剑桥时看见的也是这样，那就是纯理论和应用之间的分界十分明显，两边的人很少有交流。他们属于相互分离的不同院系，作为本科生，你本该选择好自己的归属，然后就坚持下去。可以说，那里真的是有“文化隔离”存在，但你无视了它。
P：我想我是忽视了它。是这样的，Dennis 一直想让我对物理感兴趣。在进剑桥之前，在 Fred Hoyle 的一个关于稳恒态理论的精彩讲座上，我就跟 Dennis 有过交流。我没太听懂这个讲座，但我得以跟 Dennis 聊天，他是我哥哥 Oliver 的朋友，在我去之前很多年他也在剑桥。从那时起我跟 Dennis 之间建立了友谊，他一直想让我去做物理，发展对物理学的兴趣甚至将专业改成物理。
当然我并没有这么做，因为那时有太多的数学问题是我所参与和感兴趣的：一般的张量系统，几何的想法，等等。还有很多数学理念是我当时本该学到的，其中有一个就是层的上同调。以前它们被称作 Stacks，但那时逐渐被称作 sheaves（层），整件事情让我感到迷糊。直到好多年以后，当 Michael Atiyah 把所有这些事情都梳理清楚了，我才意识到我要是给予了这个问题足够多关注的话，里面有些东西本可以对我非常有用的。
H：霍奇对你学这些完全不同的东西是怎么想的？我估计对现在的很多研究生来讲，学这么多完全不同的课是很吓人的想法，这可不是能让你发表足够多文章的做法。
P：那时的情况也许有所不同。你看，我一开始是跟随霍奇，而霍奇还有另外几个学生，其中一个很早就放弃了，另一个是 Michael Hoskin ，他后来获得了博士学位但转向了科学史领域。还有一个是 Michael Atiyah。霍奇曾经建议说，既然我对他给我的非常代数的问题有点不喜欢，那我也许可以去旁听另一个学生的课。结果我一点也没听懂，但那就是 Michael Atiyah 的风格。我后来跟他成了很好的朋友。
在我去上狄拉克和 Bondi 的课的同时，我还上了另外一门课，老师是一个叫 Steen 的逻辑学家。这门课深深地影响了我后来所做的事情，因为我在课上学到了哥德尔（G?del）定理。在那之前，我只是大略地听说过这个定理，而我觉得它挺让人不安的。在去剑桥之前，我以为思维就是计算，因为我也想不出别的解释。我模糊地知道哥德尔定理，它基本是宣称，在数学中有些东西是无法证明的，Steen 的课则清楚地告诉我，虽然你没法用某个特定的系统来证明它们，但你信任该系统这个事实却令你可以从系统中导出可信赖的结论。对系统的信念使得你超越了这个系统——你可以找到一些陈述，你没法用系统来证明，但根据你对系统的信任，它们必须是真的。这令我非常惊讶。
H：你是不是在那时就想到了，这应该跟大脑的物理刻画这些事有些关系？
P：是这样的，但那还不是个很确切的构想。你看，在 Steen 的课上我也学到了图灵（Turing）机，它和哥德尔定理一样，也是这门课的内容之一。由于“理解”这件事似乎超越了任何特别的形式体系，这个课使我产生了这样的看法：大脑的运转里肯定有非计算性质的别的什么东西。
我从狄拉克的量子力学课里学到了另外一点。说起来又有点讽刺。那是我第一次去上他的课，他把一节粉笔掰成了两半，谈论着量子叠加。你知道的，在量子力学里如果你能实现两件事的话，你还能把两件事叠加起来。我当时觉得很惊奇，我记得他说着能量之类的事情，但我没法理解这怎么能解释得通。我当时肯定在怀疑自己根本就没抓住要领。这个问题从此一直困扰着我，我也确实形成了这样的想法，那就是：我们对世界的认识还有巨大的缺口，具体来说是在量子力学中，而且有可能跟我们在意识和思考时发生的过程有一些关联。但这想法是很模糊的，直到很久以后我从电台中听到了 Marvin Minsky 和 Edward Vitkin 的谈话。他们采取的是非常计算机学家的视角，从这个角度，我明白他们为何会持那样的观点，但我觉得做出他们那种程度的推断是很荒谬的。这件事使我意识到自己对于这个话题有一些话想说，而且跟其他人所说过的都不太一样。我本来就有写一本书的想法，目的是激起大家对数学和物理的热情，不过这书并没有一个中心的议题。但这件事告诉我，我应该试着阐述一下我对大脑中所发生的事情的看法。
H：补充一下，以防观众不熟悉我们涉及的时间跨度。刚才所讲的书是指《皇帝新脑》，你是从 20 世纪 80 年代中期开始准备出版这本书的。接下来，也许你可以讲讲从 Dennis Sciama 那里获得的宇宙学图像。那时候，人们对宇宙还所知甚少，只知道相对于邻近星系的局部的膨胀。
P：我觉得人们把宇宙学当作仅仅是哲学或类似的东西，我的意思是，没有理由去选择相信这个理论或是那个理论。直到微波背景辐射的发现。
H：那是后来的事了。
P：是非常后来的事了。
H：你初次接触宇宙学的时候，它还处于完全空白的状态吧。哈勃（Hubble）定律虽然已经存在，但其他方面的数据完全不能跟今天相比。
P：我想我确实是有些思维跳跃了，你说的没错。
H：是 Hermann Bondi 给相对论带来很多现代的思想。
P：我认为 Bondi 的影响非常巨大。他做过一些极好的电台谈话，无比清晰。他对我的影响无疑也是很大的。他讲东西的方式非常物理，但又清楚明了。我想我从其他同事，特别是 Phenix Pirani 那里也学到了很多，主要是相对论的数学方面的东西。
H：正是这些因素，让你能将对类光几何以及旋量表示的理解与广义相对论结合在一起吧。
P：是的。我试着来弄清这些事情的顺序。我先是对物理发生了兴趣。你看，Dannis 知道物理学领域发生的所有事情，尤其是宇宙学和天体物理学方面的，但他也对基础理论很有兴趣。有时在我们去 Stretford 的路上，他开着漂亮的小汽车，以很快的速度驶过道路转角，然后说道“这就是静止的星星的作用”。Mach 原理强烈地影响着他，这原理是说决定局域惯性的是遥远的星系的作用，所以你转动 Newton 的旋转水桶，引起水向边缘靠近的原因是星星向四周的拉扯。在往返的路上，我们还讨论过这样一个想法：如果我们能让星星们一个个消失掉，惯性会变成什么样子？将这个考虑到极端，当所有东西都消失了，只剩下车子时，你还会感觉到什么吗？根据 Mach 的观点，这时候惯性只由车子本身来决定。我继续想下去，类似地，单个的电子并不知道它自旋的方向。因此我开始考虑单个的自旋系统，它们没有方向的概念，将它们结合到一起时只能谈论总自旋，比如自旋是升高了还是降低了，规则是怎么样的，等等。我基本上就是从这个念头发展出自旋网络的。
H：我还不知道自旋网络那么早就有了，所以它与你的负维张量以及图计算等有关。
P：是的，这些都很早就出现了。你看，这之间的联系还包括不同维度之间的。我十分着迷于自旋的性质。现在，假设你有一个电子或者一个自旋为二分之一的粒子，它只能给你两个自旋的方向，但你明明有整个球面那么多的方向。这是因为在量子力学中，自旋有上下两个方向，其他自旋都是它们的组合，你会看到这两个态的复线性组合其实就是一个球面，这个球面就给了你所有的空间方向。这样，就有了空间的三维性和量子力学的复数之间的紧密联系。这类事情从某种很深的层面上触动了我。当我开始更多地思考相对论的图景，那里有光锥结构，有沿着光锥的方向；当你望向天空，那是个二维球面，不同方向对应于球面上不同的点，这时将这些方向表示为黎曼（Riemann）球面上的点是很有好处的。黎曼球面就是复平面加上无穷远点，这个球面是考虑空间方向的很自然的一种方式。
H：是啊，无时无刻都能看到它。当然，其实你看到的是过去。
P：你会看到一点点的过去。将它看作复球面这点是很关键的，加上选定时空的维度，也就是三维空间和一维时间，这时你才会得到一个具有复结构的光锥，一个复流形。
H：你前面提到，你是从狄拉克那里学到的二分量旋量，而他通常被认为是与四分量旋量密不可分的。你从中得到的联系量子力学和时空的洞察，可不是谁都能自然想到的。
P：我只是继续向前，倾向于走自己的路。我想我总是如此。我记得，当战争期间我在加拿大上学的时候，我十分迟钝。你如果看我的数学试卷，我的分数不会很好，还曾经因为心算很差而被降到低年级。但我记得有一个非常优秀而且很有洞察力的老师，他发现只要给我足够的时间，我就能考得相当好。因此他会说：“好的，我们今天会有一场考试，通常是要求在这个时间段里完成，但你想要多长时间我都给你。”因而我就可以坚持不懈地做下去。下一个时间段是游戏时间，同学们都在外边儿玩，我还在坚持着，有时甚至到了下一个时间段我还在继续。最终我会完成得很不错，得到像 98 分之类的分数。这产生了巨大的差别。我想原因在于我不善于记忆东西，不管是在课桌旁或是别的什么地方。我总是试图自己找到解答，这当然对在学校参加考试是没什么好处的。但后来，这一点却正好有了用处，它让我得以用自己的方式去思考那些事情，而不是从书本或其他什么地方直接学过来。
H：说回刚才的话题，我想粒子物理学家那个时期恐怕不会对二分量旋量以及它们跟 的关系感兴趣，而你切入相对论的角度，很大程度上源自量子力学以及经典几何，对吧？
P：量子力学对我的影响显然是很大的。我确信，量子力学还不完善，某些层面的规则还需要改进。我很早就这么认为，虽然具体时间无法确定。但不管怎么说，在微小的层面，非常基础性的量子的特性，这观念本身是极其重要的。
H：是从什么时候开始，你开始理解共形结构中的类光标架、光线以及此时度规不是第一位的这些事呢？你 1959 年关于移动的球面论文，仅用两页就纠正了一个常见的错误说法：如果物体相对于我们以相对论的速度移动，它一定看起来像是被压扁了。
P：那是在我去美国之前，而我是 1959 年去的美国吧。在 1958 年，就在我开始思考相对论里的旋量后不久，我去巴黎附近参加了一个广义相对论的会议。Dennis Sciama 也在，他很热衷于把他认为互相有话可谈的人聚集到一起。
H：如果我记得没错，1955 年是第一届，所以 1958 年肯定是第二届。这是现代相对论的发端时期。
P：是的，1955 年是第一届。是有两届，我记不清哪届是第一届了，在教堂山举办的是第一届吧，所以巴黎应该是第二届。
H：人数相对比较少吧，毕竟感兴趣的人不算特别多。
P：相对来说是的，但有好多我后来得以熟知的人，比如 Ted Newman。这次会议深深地影响了我，对我十分重要。不过我们得先说回去一点。应该是 1957 年吧，我不是很确定，Dennis 说服我去伦敦国王大学参加 David Finkelstein 的一个讲座，是关于 Schwarzschild 解以及怎么样去掉其奇性，听起来还挺有趣。我那时并没有研究广义相对论，而是在思考旋量等问题。他在报告里展示了如何将 Schwarzschild 解延拓到视界以内，当然那时候还不叫视界，人们还认为那是 Schwarzschild 的奇点。Finkelstein 得到了我们现在所讲的 Kruskal 延拓，我对此印象深刻。还有一点很有意思，Finkelstein 那时候的主要兴趣在广义相对论，我的则是旋量、微观量子力学、组合时空这些问题。所以我向他解释了自旋网络的想法，他从那时起开始了对组合时空问题的研究，我则进入了广义相对论领域。所以我们可以说是互换了角色。
H：我明白为什么那会触动了你，因为正好可以使用类光标架。
P：历史发展大概是这样：我去听了这个报告，给我印象很深的是你能去掉所谓的 Schwarzschild 奇点，但中心的奇点还是存在。我想到这就像是你能把它从一个地方赶走，但它始终还在。所以我开始想，有没有可能一般性地证明奇点一定是会存在的。我没有什么机制，没有什么方法来尝试这件事情，仅有的就是一直在研究的旋量。我想好吧，让我来看看怎么用旋量来描述相对论。我就这么做了，然后得到的东西是如此美妙，例如 Weyl 曲率是个全对称旋量，等等。
H：没有其他人做过这些吗？比如 Phenix Pirani？
P：Ed Witten 的父亲 Lou Witten 做过，我一开始并不知道。Phenix Pirani 提到 Lou Witten 的一篇运用旋量的论文，我仔细看了，发现里面有些不太对的地方，我纠正了这些错误然后做了些他还没做的，包括正则地表示四个主类光方向等很多东西。不知怎的它们以比我设想的美妙得多的方式融合在了一起。这件事就跟 Finkelstein 的讲座一样，强烈地将我引向对广义相对论的严肃研究中。之前我也对此感兴趣，但那时才有了足够的兴致。除了我哥哥 Oliver 向我模糊地介绍过以外，我第一次遇到广义相对论是通过薛定谔（Schr?dinger）的一本书，叫作《时空结构》。这是本很不错的小书，除最后一章包含了他个人的一些有些可笑的想法外，大部分都是很精彩的对张量计算的解说等内容。所以说我在去剑桥之前就学了这些，后来则是跟 Phenix Pirani 和 Dennis 学的。我去参加 1958 年的罗马会议时，Dennis 是会议主讲人之一，他对我说，“我有一个小时的报告时间，你可以用其中的一半”。他真是太慷慨了，所以我就做了一个关于旋量的小型报告。具体是 40 分钟还是 20 分钟，我已经记不清了，总之是一个相当仓促的报告，展示了如何将张量转变成旋量，然后美妙地融入到广义相对论的思想里。
H：你做的这些，最终就成了 20 世纪 60 年代中期的奇点定理。但此时，你还没有开始发表你的工作吧。P：是的，关于旋量的这些工作是 1960 年发表的。然后，我去了普林斯顿，在那里待了两年，准确说应该是一年半在普林斯顿，然后是去了雪城大学。在这期间，或者更晚一点，我受到了 John Wheeler 的影响。在 20 世纪 60 年代早期，Maarten Schmidt 做出了最早的对类星体的观测，我记得 Wheeler 为此非常兴奋，他说“这告诉我们确实有小到 Schwarzschild 奇点那个尺度的东西存在”。在这之前，人们觉得所谓的 Schwarzschild 奇点跟物理学是没有任何关系的，但这下很清楚了，确实有些奇特的事情发生：它们肯定足够大，因为这巨大的能量；它们又必定足够小，因为它们在几周或几天之内就能发生改变。所以它们必须大致是其 Schwarzschild 半径的尺寸。这就是我们现在所说的黑洞，只是黑洞这个名字那时还没出现。Wheeler 同时还对奇点是不是普遍存在的这个问题感兴趣。
H：当时你知道奥本海默（Oppenheimer）在 1939 年提出的那个坍缩模型吗？
P：是的，没错，Wheeler 很郑重其事地谈起这个。奥本海默参与的一系列论文，特别是二战前夕 Oppenheimer-Snyder 那篇，里面讨论了坍缩。这个坍缩模型考虑的物质是具有严格对称性的尘埃，它们最终会坍缩成一个点。很多人认为这太过匠气，用到的理想化条件都是没法一般化的，而且俄国的 Lipschitz 和 Khalatnikov 好像还证明了奇点是很特殊的，通常不会出现。我看了一下他们的证明，觉得很难想象用他们的方法可以证明什么。所以我开始用其他方式思考这个问题，几何上去想象坍缩恒星内部是什么样的，说服了自己必须要用非局部的论证，单纯考虑局部的话是什么也证明不了的。后来就有了所谓的俘获面（trapped surface）的概念，其来历还挺有趣：它是我跟 Ivor Robinson 聊天时想到的。
那时我在伦敦大学伯贝克学院，Ivor Robinson 是我的好友，从他那里我学到了有关于旋量以及自对偶等很多后来在扭量理论中很重要的东西。他跟我聊着一些很无关的东西，大概是政治之类的，然后我们要穿过一条街道，谈话就中断了，穿过街道后他又开始接着说。后来他回家去了，我却在那里思索着，觉得自己受到了某种启示，但又不确定为什么有这种感觉。于是我把那一天所思考的事情都想了一遍，然后记起了我们过马路时，在走到一半的时候我脑海里出现了一个想法：采用这样一个对坍缩的刻画，也就是现在所说的俘获面，它是一个整体的条件，会告诉你恒星已经无法回头了。想到这里，我便着手去证明，基本上在同一天，我就给出了奇点一定会存在的证明轮廓。不过，相关的技术其实是我更早之前发展的，部分地来自于一个从没发表过的论证，这个论证与稳恒态模型有关。那时我对稳恒态模型和广义相对论都感兴趣，所以想试试看可不可以有与广义相对论相容的稳恒态模型。如果要求严格对称的话，你会碰到能量方面的麻烦；只要求一定的规则性，或许能摆脱这些麻烦。但我论证了一番后发现这是没用的，问题依然存在。我为之发展了一些技术，本以为是浪费了大把的时间，但后来在研究坍缩黑洞时却发现这些技术正是我所需要的。
H：我明白了。你需要的这些微分几何和拓扑的办法，是在 20 世纪 50 年代研究稳恒态模型时发展的，虽然这个模型本身在大爆炸理论成功后就逐渐淡出视野了。黑洞在 50 年代还差不多是天方夜谭，但现在则完全不是了。
P：确实如此，事情的发展真是挺奇妙的。被称为 Texas 会议的相对论天体物理会议，早期我经常参加，第一届我也去了。那一届有很多有关类星体的内容，包括 Wheeler 为之兴奋的由 Maarten Schmidt 所做的对类星体的观测等。Roy Kerr 那时发现了广义相对论场方程的一个解，就是可以被解释为旋转黑洞的 Kerr 解，当然一开始并不清楚这点。对此的理解是很重要的，后来发现在极一般的情况下也会有奇点出现。不用假设对称性，也不用特殊的物态方程，比如奥本海默和 Snyder 所用的尘埃物质。只要不违背正能量条件，一般物质都是可以的。
H：20 世纪 60 年代末，现代天文学和宇宙学开拓了广义相对论的新领域。但你呢？你却开始转向思考基本粒子物理学。
P：是的，扭量理论就是在那个时期做的，但其实这是些纠缠了我很长时间的问题。应该说，很大程度上要归功于 Engelbert Schücking。在我第一次到美国的时候，首先是去了 John Wheeler 所在的普林斯顿，然后去了雪城大学，在那里是跟 Engelbert Schücking 共用一个办公室。他总在谈论共形映射，强调共形变换的重要性以及麦克斯韦（Maxwell）方程会如何相应地改变。不知什么原因，他还喜欢强调量子场论里正频率的重要性。这些东西都影响了我，在我发展扭量理论时起了重要作用。用共形变换来将无穷远拉近，给时空一个共形的边界，以便研究辐射，这只是其一。而正频率这件事对扭量理论的作用则是关键性的。我记得，我那时想要某种本质上是复的几何，但实际又是想要描述我们所知的世界，那么，就必须包含量子理论。我做了很大一个表，包含很多主题，它们之间有好多箭头来回交错。那时候做量子场论的人中，很少有人像 Engelbert 一样强调正频率这一点。
H：我觉得物理学家们在使用傅立叶（Fourier）分析时都会这样，都会认为这是个平凡的问题。因为无非只是取正负号的差别嘛。
P：是的，而我认为这要结合共形这件事来看。如果共形是重要的，傅立叶分析就是不合适的，因为它不是共形不变的。不管怎样，你选择正的频率而不是负的，这件事确实是共形不变的。现在你有个黎曼球面，在赤道上有实函数，也就是沿着赤道给定实数，如果你可以将这个函数全纯地延拓到北极或南极，就会得到正的或负的频率。我觉得这真是美极了，那么有某种整体的办法将其延拓到整个时空上吗？这个问题纠缠着我。你将圆圈复化，得到黎曼球面，实轴将其分成两半，也就是频率的正和负。我一直想着，如果是闵可夫斯基（Minkowski）空间呢？将它复化，并没有得到分成两部分的东西。然后我记起了在美国得州奥斯汀时的一件事，时间应该是肯尼迪遇刺事件刚过去不久。朋友开车送我回家，他不是很健谈，所以路上我们都比较安静。我开始思考 Ivor Robinson 说过的，用某种办法将光线复化然后你就能得到麦克斯韦方程的一个很有趣的解，它没有奇性，而且是扭转的。我试图理解这件事，然后意识到这与 Clifford 平行有关：这个麦克斯韦方程的解的类光方向是 Clifford 平行的。我那时对 Clifford 平行只有些模糊的了解，但我确信，得到的确实是曲线扭曲围绕着环面这样的图像。当我到家之后，我将其转化成二分量旋量形式，几乎立刻就明确了：这就是扭量理论。你有实的光线所组成的空间，将其复化，再分为右手和左手两部分，这可以类比于黎曼球面被分成两部分。我用了很长时间才弄明白到底是怎么回事，原因是这其中需要上同调。
H：这挺惊人的。现在，物理学家经常使用扭量变量（twistor variable），但他们把它叫作半傅立叶变换，采用的是完全线性的观点，没有任何几何的内容。但要超出闵可夫斯基时空的范畴来做事情，就必须对什么是粒子、反粒子等有个更好的图像。你关心的这个问题到现在都还远未得到回答吧。P：很有趣的。你知道，我们有一个发展扭量理论想法的小组，基本每周五都会有组会，讨论范围很广的很多不同主题。你差不多孤身一人发展了扭量图（twistor diagram），我对此很是钦佩。你觉得这件事值得去做，就专注地做下去了。
H：哈，其实这些图是你的，我只是使它们存活下去，直到它们与其他人的研究发现相结合。
P：但你发展它的方式是我完全没有想到过的。
H：你一直很关心波函数到底是什么这个问题，而多数人是不关心的，他们写下量子力学的公式，然后计算下去。但你喜欢我们能在某种意义上“看见”，我认为这一点在你做的很多事情中都起重要作用。但你不认为我们能“看见”波方程，这不是跟你通常的想法相抵触吗？
P：有件事很让我忧心，那就是人们总在说，量子力学告诉我们图像不再有用了，我们埋头计算就好，把图像忘了吧。我从未对此感到满意过，因为我总是想尽力图像化一样东西。当然，对于自旋，旋量等想法对于尽力发展几何观念是很有用的，但量子力学是有一些很古怪的地方的。我在“Shadows in the Mind”这本书里讲过，我认为量子力学的神秘之处可以一分为二，而人们总是弄混这二者。第一种我称之为“谜题”性的神秘，它哪里都对却又令人疑惑，但说到底是可以被人理解的。我是说，跟我们原本以为的世界确实不太一样：自旋的行为不像一个小球绕着轴旋转，它是一种更精微的事物，但还是可以被我们理解，是前后一致，能够讲得通的。不仅讲得通，它还很美妙。另外一种我称之为X型的神秘，X这里代表“悖论”，就像薛定谔的猫。量子力学告诉你，通过一个并不十分困难的实验，你可以将猫置于死掉和活着的叠加态，虽然这对猫不太友好。所以薛定谔差不多是在说，看，根据我的薛定谔方程，你可以有只既死又活的猫哦。这完全说不通嘛，你没见过这样的猫的。因此，尽管他从没明确这么说过，但对我来讲他是想表明，我们肯定是漏掉了什么东西，理论中有些什么地方不对。爱因斯坦也这么认为。令人惊讶的是，狄拉克也是。尽管狄拉克很少说起，但他对此其实是有更多的看法的。他在讲座里就明确地说过，可以在网上找得到。对了，他针对玻尔-爱因斯坦争论说过，虽然玻尔（Bohr）通常被认为赢得了争论，但时间也许会告诉我们，爱因斯坦的想法中正确的成分更多一些。
H：这种对量子力学的怀疑态度，是从他那里获得的吗？
P：不是的。我感觉，他很不愿意表达他内心私密的观点。我有过一次很有意思的经历。波士顿大学哲学系有次邀请了我，你知道，哲学家们喜欢那种有人作个演讲，然后另外有人来反驳他这样的做法，他们问我是否愿意参加，以及希望跟谁作对手。我刚好听闻狄拉克评价说射影几何对他的思考很有用，而他们邀请了他，所以我马上说，好的，我会来作些评论。
H：你肯定不会拒绝的，这主意好极了。
P：绝对是的。因此他作了这个报告，一个非常优雅的狄拉克式的报告，内容是关于射影几何。然而他只讲了纯粹的几何，没有物理，没有谈及对他个人的思考方式的影响或任何其他东西。于是我对他说“其实我们是希望你能透露一些你的个人想法的”。之后我作了一个关于旋量的报告，也就是阐述我在物理学中所使用的射影几何。这整件事情都挺有趣的。另外我想说一下，射影几何对我也有很大影响。
H：我们说回去一点。射影几何在你的时代不是也算有些过时了吗？听起来就像是维多利亚时代的东西，应该差不多从课程设置中消失了，最多这里一点、那里一点地出现一下。
P：基本上是消失了，但我赶上了它的末期。我本科时期是在伦敦大学学院，而事实上几何在当时的课表里占很大一块。课表里有应用数学和分析，以及代数跟几何，我想是这样的，但几何所占比重非常大。举个例子，有一个人，是个纯粹主义者，他只从两个简单的几何公理出发，看看能证明些什么。当然有时候你还需要其他公理。总体上我喜欢这个课程，虽然不是天天如此。我觉得，看着这些原始的想法发展成几何，是件挺愉快的事。我在那里也学了一些射影几何，深深地影响了我对很多东西的理解。我们说到哪儿了？
H：你在关于狄拉克的事情里讲到了射影几何，而我认为这应该是来源于你早年的经历吧。而这挺不寻常的，对吗？
P：是的，我抓住了它的尾巴。它们几乎完全从课表中消失了，后来又重新出现过，但已经被当作是非常过时的东西了。即使是去做所谓的代数几何，里面也没有多少你能看见的那种意义上的几何了，所以我并没有深入进去。几何对我来说一直很重要，但更多的是其与物理学有关的方面，比如量子力学和广义相对论里的几何。
第二部分
H：Roger，我们已经谈到，在早期人们还对宇宙学一无所知的时候，你就开始对其进行思考了。现在则完全不同了，这个领域出现了海量的数据，大量的人以各种方式在进行研究。但我感到，你还是认为有些根本性的问题完全没有得到解答，比如宇宙学常数在其中扮演的角色等。那么，讲讲你目前的看法吧。
P：是的，我确实这么认为。我想我思考问题的方式肯定跟别人有些不同吧，因为这些年来我认为很重要的问题，获得的关注都很少。热力学第二定律以及时间的方向这些问题一直令我费解。最主要的是，在考虑大爆炸，就是宇宙的开端的时候，有一个非常显然但又几乎被完全忽视的问题。根据第二定律，熵是随时间增加的，但你反过来逆着时间方向描述的话，事物会变得越来越有序，熵越来越低，最终你会得到什么呢？你当然会得到大爆炸。大爆炸最强有力的证据是什么？当然是来自所有方向的微波背景辐射。很早的时候，COBE 的结果就显示了微波背景的一个特别的性质。你看到的这个漂亮的辐射谱，也就是所谓的 Planck 谱，它意味着你观察的东西处于热平衡态。当然，实际上并不是平衡态，因为宇宙在膨胀，不过就算将这点考虑在内，这个膨胀也不是熵增的，而是绝热的。这就导致了一个悖论，因为当你沿时间回溯，熵应该越来越小，最终会非常小，但实际上，你看到的东西却告诉你熵处于最大值。没有人指出过这是一个巨大的谜团。当然，我倒是说过，但几乎没有其他人了。不仅如此，他们反而说这正是大家所期望的：在标准宇宙学模型中，如果你从完全球形的初始条件出发，就会得到这样的结果。当 Penzias 和 Wilson 看到微波背景辐射后，Dicke 以及其他很多人都说，这正是我们所希望看到的，是大爆炸的闪光。好的，那么熵如何解释？如何说得通？
这情形是有些讽刺意味的。宇宙学上，人们是怎么解爱因斯坦方程的呢？自然，你要假设对称性，否则方程太难了没法求解。Friedmann 就是这么做的，他假设宇宙是非常均匀又各向同性的，然后就能解出场方程了。爱因斯坦起初对此是不太满意的，但不管怎么说，结果是对的。爱因斯坦虽然同意这其中的数学，但他认为肯定有其他什么地方不对。奇怪的是，这个模型从此就被人们接受了，成了宇宙学的基础。其中用到的惊人的对称性假设不怎么引人注意，但它正是熵为何会处于最低的原因，因为时空中本来可以有的波浪起伏都没出现，而是一开始就被设定为不存在了，否则就没法解方程。人们习惯了根据模型它们就不应该出现的说法，但真是这样吗？所有这些引力场的自由度都本该是可以存在的。为了看出这个假设是多么不一般，你可以想象一个坍缩的宇宙，它具有所有可能的不规则性，所有黑洞凝结在一起，熵升高到令人难以想象的程度。用黑洞熵的 Bekinstein-Hawking 公式，我们可以做出估算。结果会告诉你，我们所置身的宇宙是多么不可思议。
H：我认为，你在微波背景辐射发现之前就有这个困惑了吧，因为你被 Hoyle 的稳恒态模型吸引的原因就是它可以避开 Friedmann 奇点。
P：你知道，我确实认为第二定律与稳恒态模型联系很紧密。我主要关心的问题似乎可以靠这样的图像来解决：氢原子开始均一地分布，然后一块块地坍缩成恒星，导致能量的增长。这主意是对的，但却用在了错误的模型里。均一分布的氢原子在引力的作用下坍缩就产生了炽热的区域。太阳是黑暗天空中的炽热的点，这才带来了地球上的生命。如果整个天空是均一温度的，太阳就没什么用处了，是炽热的太阳与暗冷的天空的结合，才导致了低熵的存在。终归是通过引力造就的。这是关键的一点，我在思考稳恒态模型的时候肯定就想过这个，虽然还不是很具体。
H：Dennis Sciama 考虑过这个问题吗？
P：我不太记得了，但他应该会想到的。我为霍金（Hawking）和 Isral 主编的爱因斯坦纪念文集写了一篇长文，内容是关于热力学第二定律的，我不记得在这之前跟 Dennis 讨论过相关问题。那时我还没有后来的一些想法，例如我还不知道用什么来表征大爆炸的特殊性之所在。
H：那来自于你对共形结构的研究吧。这是你早期工作中十分重要的一项，你认为跟后面很多工作一样重要，对吧？
P：有几件事情很早就引起了我的注意，到后来也起了很重要的作用，但我没能早一点看清楚。其中一个是数学方面的。我们谈论四维时空，一维时间和三维空间的时候，会谈到 Weyl 曲率。Weyl 曲率是共形曲率，共形结构告诉你角度或者光锥结构，但不能告诉你怎么区分大小。曲率的这些性质都在Weyl 曲率里了。除了用来度量共形曲率，Weyl 曲率在某种程度上还可以度量引力的自由度。当我在考虑如何用旋量写出不同自旋的无质量场的方程时，参考了狄拉克的做法。他研究无质量场的时候，出于某些原因，采用了很不寻常的做法，我也一直没能完全理解。如果你追随他早年关于无质量场的论文，你会得到以一种特别的方式写出的、包含不同自旋情形的方程。麦克斯韦方程需要两个指标，而如果你要考虑引力子方程的话，则要四个指标。都是同一个方程，中微子方程也是其中一个，还有引力场传播的波方程等。狄拉克话不多，难得能跟他聊上几句。有段时间我跟他同在圣约翰学院，我知道他对广义相对论的量子化感兴趣，就问他可不可以跟他聊一聊。他同意了，我就跟他说了些旋量的东西，给他看一个自旋为 的场的波动方程。
H：用的是他教给你的二分量旋量。
P：是的，一点没错，确实是他让我接触到这个的。狄拉克考虑着这个方程，问我这方程从哪里来的，我告诉他是来自 Bianchi 恒等式。他就问我什么是 Bianchi 恒等式。我很惊讶地说“什么，你竟然不知道 Bianchi 恒等式？”我听说他那时正在研究量子化，他显然应该是了解 Bianchi 恒等式的，只是不知道它叫这个名字。
我要说的重点是，在这之后，我发觉这个传播方程使得引力的方程看起来就像是麦克斯韦方程，不过是自旋为 2 或者 的。这一点虽然泡利（Pauli）和其他人发现过，但他们的做法不同，看起来非常复杂。而如果你用 -旋量的方式写出来，这一点就很明显了。然后我开始担心这个方程的共形不变性。我惊讶于这个方程的一个奇怪性质，那就是它在特别的旋量权重（weighting）下的共形不变性。我们已经将 Weyl 曲率解释为共形曲率，所以这就有了另外一个共形的解释。它是共形的量，但权重不一样。这一点引起了我的注意，我感觉到这里应该有些重要的东
