克莱因是数学物理学家，做数学似乎不分专业，在几何、拓扑、复分析和群论方面都是高手。他1872年的爱尔兰恩纲领乃是对时代数学之集大成，是历史上不多的大手笔，深刻地影响了此后数学的演化，被誉为是一项无法评价其创新性的成就。克莱因是学物理的出身，他对物理的理解和表达能做到系统完备，可见何谓数学乃学物理、做物理之必备。我衷心希望，我们的中华少年在解一元二次方程的时候，手边的参考书是拉格朗日的《关于代数方程解的思考》和克莱因的《二十面体与五次方程解教程》。
撰文 | 曹则贤(中国科学院物理研究所研究员)
欣赏数学之美需要物理的眼光
法国百科全书派的天才哲学家狄德罗老师 (Denis Diderot，1713-1784) 曾这样描写数学家：“ (他们) 就像那些站在高耸入云的峰顶上出神凝望的人，下面平地上的物体已从视野中消失；他们观察到的景象只是他们自己的思想，他们意识到的对象只是他们所攀登的高度。在那个高度上，恐怕一般人都无法适应，也无法呼吸 [那么稀薄的空气] 。” 这段话的法文原文我没找到，是基于如下这段英文翻译的: “ (they) resemble those who gaze out from the tops of high mountains whose summits are lost in the clouds. Objects on the plain below have disappeared from view; they are left with only the spectacle of their own thoughts and the consciousness of the height to which they have risen and where perhaps it is not possible for everyone to follow and breathe [the thin air].” 好吧，他们看不到我们，我们估计也看不到他们。就让我们从他们留下的伟大成就以及相应的文字构想他们的风采之万一吧！
然而，我想说然而，大数学家也不都是这么傲慢得不食人间烟火的。他们中也有好人，不，是有有悲悯心的人。有一个人，他在巅峰之上也不曾忘却地面上还有稀里糊涂的芸芸众生，还肯抽时间为我们撰写Elementarmathematik vom h?heren Standpunkte aus (高观点下的基础数学)，他就是数理大神克莱因 (图1)。
图1. Felix Klein
克莱因 (Felix Klein，1849-1925. Felix，拉丁语词，幸福的；Klein，德语词，小的) 是数学家，也是个好为人师的数学教育家。克莱因于1849年出生于德国的杜塞尔多夫，1865-1866年间在波恩大学学数学和物理，那时他是想当物理学家来着，他的导师普吕克 (Julius Plücker，1801-1868) 就是波恩大学的数学和实验物理教授 (不熟？普吕克矩阵和阴极射线了解一下)。1866年，年纪不过17岁的克莱因成了普吕克的助手 (德国大学名教授的助手是什么意思，请参考泡利、海森堡、约当都是玻恩的助手和劳厄是普朗克的助手加以理解。这些人可都是博士毕业以后才当上助手的) ，这就算是参加工作了，然后于1868年获得博士学位。嗯，对，你没看错，人家是在19岁上大学三年级时获得博士学位的 (后来的泡利也是大学念了三年获得物理博士学位，不过他已经虚岁22了)！克莱因在21岁上成为哥廷恩大学数学系的讲师，1872年23岁时被Erlangen大学聘为教授。
说到Erlangen 大学，有必要多啰嗦几句。Erlangen 大学聘请23岁的克莱因为其教授，这非常有眼光，克莱因的入职演说后来演变成了“爱尔兰恩纲领”回馈了这所大学。爱尔兰恩纲领是数学史上的独特风景，后来可与其相提并论的有希尔伯特1900年的巴黎演说以及朗兰兹纲领。爱尔兰恩纲领，德语写法为Erlanger Programm, 英文写法为Erlangen program，有汉译爱尔朗根纲领。我再说一遍，这里，以及哥廷恩 (G?ttingen) 那里，从来没有‘根’这个音 (读书先识字。我怀疑连字都不肯认真地认的人会认真地理解数学公式里那些不可见的内容。在国人中有少年能熟读法文、德文、俄文数学著作之前，不要指望出现大数学家。不信，问问我们的邻居日本人！)。这所大学自1888年起还聘用了一位Max Noether (1844-1921) 教授，Max Noether 教授的女儿艾米 (Emmy Noether, 1888-1935) 在21岁上决定开始学数学，后来成了近世代数之父！艾米还成了克莱因晚年的合作者，这是后话。一所好的研究机构与其聘用的学者是互相成就的。好研究机构的特征是评价学者时眼不瞎、心不歪！
以一个毛头小伙子的身份开始做数学教授，克莱因其后的人生一路开挂，充满传奇。1875年，克莱因结婚，妻子是哲学家黑格尔 (Georg Hegel，1770-1831. 不熟？辩证法了解一下) 的孙女Anne Hegel。同年，克莱因挪到慕尼黑工业学校(Munich’s Technische Hochschule) 任教，在那里上他的课的学生中后来成为大学问创造者的有Adolf Hurwitz(可除代数)，Carl Runge (计算方法)，Max Planck (量子力学) ，意大利人Luigi Bianchi和 Gregorio Ricci-Curbastro (见于微分几何中的比安奇恒等式和里奇张量。这是广义相对论的关键概念)。1880-1886年间克莱因任教于莱比锡大学，其同事包括无产阶级的伟大导师恩格斯(Friedrich Engels，1820-1895。不熟? 共产党宣言了解一下)。从1886年起一直到1913年退休，克莱因都在哥廷恩大学数学系工作，重新把哥廷恩打造成了世界数学中心。在哥廷恩期间，他教的都是横跨数学和物理的课，比如力学和势理论 (potential theory，学过力学和电磁学的回顾一下。想不起来？补课吧)。克莱因在哥廷恩期间干的一件漂亮事儿，是他1895年把希尔伯特 (David Hilbert, 1862-1943) 从国王堡大学挖了过去，使得哥廷恩大学到希尔伯特去世的1943年都一直是世界数学中心。
说到国王堡，K?nigsberg, 我又得啰嗦一句。K?nigsberg, 汉译柯尼斯堡，是很糟糕的翻译。K?nig，柯尼希，国王；Berg, 山。那个s只具有语法功能，相当于汉语的助词“的”。汉译柯尼斯堡算怎么回事儿？国王堡，如今属于俄罗斯，叫加里宁格勒，是一个学数学、物理的人应该知道的一个小地方 (面积约223平方公里，恰好是北京市海淀区的一半) 。我们熟悉的康德、希尔伯特、闵可夫斯基、基尔霍夫、索末菲、哥德巴赫、雅可比、克莱布什等数学物理大神，家都是国王堡的或者是那儿毕业的。康德葬在那里，墓碑上刻着那段有“头顶的星空和内心的道德律令”的名句，至今国王堡，应该叫加里宁格勒，的青年结婚时还要到康德墓上献花。
克莱因是数学物理学家，做数学似乎不分专业，在几何、拓扑、复分析和群论方面都是高手 (图2)。克莱因是从李 (Sophus Lie, 1842-1899) 和约当 (Camille Jordan, 1838-1922) 那儿学到的群论。作为一个学物理的人，他肯定一眼就能看出群论的物理意义，而群论也成了他后期工作的主题。克莱因用对称群来划分几何，他1872年的爱尔兰恩纲领乃是对时代数学之集大成，是历史上不多的大手笔。爱尔兰恩纲领把几何学综合到一起成为关于空间之在变换群下不变性的研究，即几何的根本性质是由保其度规的变换群所表示的。一个人若不是把学问做到了泰山顶上的高度，是不可能有这种众山都小的眼界的。爱尔兰恩纲领，其原文为Vergleichende Betrachtungen ber neuere geometriesche Forschungen, Math. Ann.43, 63-100 (1893) ，可译为“关于新几何之研究的比较考察”，读者有空的时候可以扫一眼。爱尔兰恩纲领深刻地影响了此后数学的演化，被誉为是一项无法评价其创新性的成就 (It is difficult to appreciate the novelty。啥事儿也得论层次、分量。新未必有什么价值)。就入职报告成为划时代科学文献的角度来说，先前黎曼(Bernhardt Riemann, 1826-1866) 当讲师时的入职演说应该说远高于克莱因的，而薛定谔 (Erwin Schr?dinger，1887-1961) 当教授的入职报告就差多了。一个国家，如果有教授入职报告制度，那估计是拿做学问当真的。
图2. 克莱因瓶， 一种闭合单侧曲面，可看作是三维的莫比乌斯带。右侧是莫比乌斯带。
对称性，群论，作为纲领性的存在，对物理学的意义更重要。克莱因1918年在哥廷恩大学学报上有论文 ?ber die Integralform der Erhaltungss?tze und die Theorie der r?umlich-geschlosssenen Welt (论守恒律的积分形式和闭合世界理论) 和 ?ber die Differentialgesetze für die Erhaltung von Impuls und Energie in der Einsteinschen Gravitationstheorie (爱因斯坦引力理论中动量和能量守恒的微分形式)，这两篇同诺特的不变变分问题一文一起，是守恒律同对称性联系的奠基性论文，不可不知。特别值得强调的是，克莱因1910年的?ber die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe (论洛伦兹群的几何基础) 一文，是学相对论者必学的一篇论文。客观地说，爱因斯坦可能不清楚这篇论文的存在，否则他不会不知道时空平移对相对论的意义。爱因斯坦的著作从未讨论时空平移，但是没有时空平移对称性，相对论是不完整的 (见拙作《相对论~少年版》)。
笔者多年前在研究球面上的铺排问题 (tessellation on spherical surface) 时就注意到了克莱因1884年撰写的Vorlesungen über das Ikosaeder und die Aufl?sung der Gleichungen vom 5ten Grade (二十面体与五次方程解教程) 一书。克莱因研究高于四阶的代数方程，尝试用超越方法去解五次方程，就注意到了二十面体具有五次转动对称性。他用二十面体群解决了五次方程的非根式解问题，相关研究让他发表了一系列关于椭圆模函数的论文。克莱因在这本书中讲述了自同构函数理论，以及如何将代数同几何联系起来。我把这本书的章节安排照录下来，供读者朋友找找感觉，看看人家看问题的多层次与多角度。《二十面体与五次方程解教程》一书章节安排如下：
第一部分
第一章 规则多面体与群论
第二章 x+iy简介
第三章 基于函数论对基本问题的讨论
第四章 基本问题的代数特征
第五章 一般性定理和对主题的探讨
第二部分
第一章 五次方程发展史
第二章 几何内容简介
第三章 五次方程的主方程
第四章 不变形式以及六次雅可比方程
第五章 一般五次方程
好像跟我能想象到的正二十面体和五次方程的可能内容出入很大哈。克莱因关于自同构函数和椭圆模函数的研究成果见于他同Fricke 一起撰写的《椭圆模函数理论教程》和《自同构函数理论教程》各两卷，前后耗时20年。
克莱因是学物理的出身，他对物理的理解和表达能做到系统完备，这是我们普通人做不到的 (读者请随便挑个小概念，看看能不能系统地表述一番)。克莱因和他的学生索末菲(Arnold Sommerfeld, 1868-1951) 曾撰写过四卷本的Theorie des Kreisels (陀螺理论) ，这简直是对人类智商的挑战。谁要是号称自己学会了经典力学里的刚体转动这个知识点，不妨读读这四本书找找感觉。当然了，这还是个具有重大应用价值的学问。哪国要是想造飞机和造卫星，就能认识到这本书的重要性。陀螺运动的描述，太难了(图3)。笔者当年学经典力学和数学时总学不懂，现在想来可能的一个原因是课本里的学问只是摘取了只鳞片爪，没有深度也没有全貌也没有关联。
图3. 陀螺与陀螺仪
克莱因想系统表述物理学的高涨热情，还体现在他于1894年发起了数学科学百科全书编纂工程，这套数学科学百科后来成了数理著作——尤其是从综述的角度来看——的典范。这套丛书的第五卷，我们学物理的一般都记得，是泡利撰写的《相对论》！泡利的《相对论》，是广义相对论出现后的第一本综述，出版那年，泡利21岁。
克莱因从23岁起做数学教授，带出来一大堆数学家来不提，他也殷切希望我们一般智商的人也能多少学点儿一般层次的数学。从1908年起，他为我们普通人编著了三卷本的Elementarmathematik vom h?heren Standpunkte aus，汉译本为《高观点下的初等数学》。笔者多年前见到这套书时 (图4) ，确实有些感动~数学家里竟然也有不拿鬼画符和循环定义吓唬人的。我觉得这套书还是译为《高观点下的基础数学》合适些，“初等”这个词用得有点猛。这套书共三卷：第一卷：算术、代数与分析；第二卷：几何；第三卷：精确与近似数学。克莱因这个水平的数学家，在他那个高观点上随便漏一点的知识也不会太初等。举例来说，第二卷第二章的题目为“Das Grassmannsche Determinantenprinzip für die Ebene”, Grassmann的Determinantprinzip (determinant principle)，估计一般大学的数学老师里知道这个概念的也不多, 何况把determinant汉译为“行列式”本身就不着调。咱们要看得起自己没问题，也得看得起人家的学问，对吧？看得起真正的学问才是看得起学习中的我们自己。
图4. 高观点下的基础数学
克莱因、阿诺德这些人用高级数学解决了一些我们也听说过的低层次问题，为我们演示了高射炮打蚊子的有效性，也藉此告诉我们惯于用高射炮打蚊子的人为什么还会有升级到用导弹打蚊子玩法的渴望。希望未来的中华少年，有人能早一点在头脑中勾勒出自己用导弹打蚊子的奢侈，会心一笑然后赶紧把心思转回他的数学题。我希望，在他解一元二次方程的时候，手边的参考书是拉格朗日的《关于代数方程解的思考》和克莱因的《二十面体与五次方程解教程》。
克莱因著作目录
1882: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale, McGraw-Hill.
1884: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Aufl?sung der Gleichungen vom 5ten Grade, Teubner.
1894: ?ber die hypergeometrische Funktion, Springer.
1894: ?ber lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung, VS Verlag.
1897: (with Arnold Sommerfeld) Theorie des Kreisels (later volumes: 1898, 1903, 1910), Birkh?user.
1890 and 1892: (with Robert Fricke) Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen (2 B?nde), Bull.Amer.Math.Soc.
1897, 1912：(with Robert Fricke) Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen, (2 B?nde), Teubner.
1895: Vortr?ge über ausgew?hlte Fragen der Elementargeometrie, Bull.Amer.Math.Soc.
1897: (with Arnold Sommerfeld) Theorie des Kreisels (later volumes: 1898, 1903,
1910), Teubner.
1908: Elementarmathematik vom h?heren Standpunkte aus，(3 B?nde), Springer.
1926& 1927: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (2 B?nde), Springer.
1928: Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie, Springer
1933: Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer.
参考文献
1. I. M.Yaglom, Felix Klein and Sophus Lie, Birkh?user (1988).
2. MacTutor history of mathematics archive, Felix Klein 条目。
