在上篇《放大，参量放大，约瑟夫森参量放大》中，我们了解了参量放大的基本原理和要素。利用系统参数的非线性，可以实现驱动能量向信号能量的转移，从而实现放大。但参量放大也有显著的短板——只能放大驱动频率（一半）附近很窄范围的信号，想象一下荡秋千的时候如果我们改变身体位置的节奏与秋千振荡频率不一致的情况就知道了。随着科技的进步，我们又找到了新的更为理想的非线性电路元件——约瑟夫森结，借助超导的零电阻特性，可以构造噪声接近甚至超越量子极限的参量放大器，参量放大器的“第二春”随之到来。之后更为极端的量子测量技术更是让参量放大器迎来了“第三春”，在量子计算领域大放异彩。
参量放大器的“第二春”是约瑟夫森结的发现与应用。约瑟夫森结是由两块超导体中间隔一个很薄的绝缘层构成的三明治结构*。这个绝缘层很薄，薄到只有几个纳米，此时超导波函数就有机会扩散到绝缘层的另一侧去，与另一侧的超导体发生干涉效应，这就是约瑟夫森效应。
*注释：广义上讲，这只是隧道结的形式，约瑟夫森结还可以是其他形式，为了便于解释，这里采用这种最经典的形式。
约瑟夫森效应是一个叫约瑟夫森的大学生发现的。当著名的超导微观理论——BCS理论建立起来之后，作为大学生的约瑟夫森直觉地认为，构成超导凝聚态的“基本粒子”——库伯对，也可以像电子一样发生隧穿（Tunneling）。基于这个假设，他很快就得出了隧穿电流与隧穿势垒两端超导体相位差之间的关系，以及相位差变化与电压之间的关系，分别称之为约瑟夫森电流关系和电压关系，或者叫直流约瑟夫森效应和交流约瑟夫森效应。这两个效应结合在一起，使得约瑟夫森结的电流-电压关系表现出复杂的非线性行为，同时在小电流情况下（即流过约瑟夫森结的电流小于其临界电流），它是无能量损耗的，这使得其在电路中大有“妙用”。
我刚入行的时候，做的是一种叫“超导量子干涉仪（SQUID）”的器件应用，这种器件是已知最灵敏的磁探测器，关于这种探测器及其应用，暂且按下不表，容后单回分解，我们只说它的核心元件，就是约瑟夫森结。现在Google、IBM热火朝天在做的超导量子计算机，其中的核心元件，是约瑟夫森结；美国牵头的“C3”计划，以及中国上海微系统所王镇教授牵头做的超导计算机，其核心元件也是约瑟夫森结。当然了，今天要讲的约瑟夫森参量放大器，其核心元件同样是约瑟夫森结。
a）一个约瑟夫森结，b）约瑟夫森结在电路中的表示，c）约瑟夫森结的等效电路图。约瑟夫森结等效于一个电感，但其等效电感值可随相位差变化，甚至可变为负值。
把约瑟夫森电流关系和电压关系结合起来，我们发现，一个约瑟夫森结在电路中可以等效为一个电感。这个电感值与结上的相位差有关，是一个非线性的电感，更有意思的是这个电感还可以是负的！这是导致约瑟夫森结丰富而复杂的动力学行为的主要原因。上篇已经讲到利用变容二极管来构造参量放大器的故事，也提到了LC-振荡电路中有两个参量L和C，那好了，现在我们有了可变电感的非线性器件了！我们可以用约瑟夫森结来替代，或部分替代LC-振荡电路中的电感，引入非线性，制造参量放大器！
约瑟夫森参量放大器
上世纪七八十年代，由于理论上只有很低的附加噪声，同时约瑟夫森振荡频率正好在1-100GHz范围——这是军用雷达最喜欢的频段，因此人们有很强的动机研发基于约瑟夫森效应的参量放大器，简称约瑟夫森参量放大器（Josephson Parametric Amplifier，JPA）。
不过研发过程并不顺利。受限于当时制冷技术的欠缺，以及约瑟夫森结制备和材料技术的不成熟*，尽管做出了JPA，看到了放大，但噪声表现不尽人意，而且还不稳定，容易出现莫名其妙的振荡。于是很快地，从事这个领域探索的研究者越来越少，加上制冷机的笨拙完全无法与半导体放大器的“皮实”相比拟，难被军方相中，这类研究逐渐沉寂。不过这段时期的研究奠定了JPA的理论基础，也积累了很多实验经验，产生出一批相关文献，为后面参量放大器的“第三春”做好了准备。（关于制冷技术的发展，可参看《接近绝对零度的死寂中，居然隐藏着量子计算这样的大杀器？》）
*注释：那个年代最流行的是铅结，即以铅作为超导体的约瑟夫森结。这种结最大的缺点是不稳定。
在进入下一部分内容（也是最难理解的部分）之前，我先解释一下为什么JPA的附加噪声可以很低，达到甚至能超越量子极限。
JPA本质上是一个非线性谐振器，在其中振荡的是超导相位。超导现象是一种典型的宏观量子现象，大量的传导电子通过一定的机制*结合成库伯对并凝聚到一起，形成集体模式的量子态。超导凝聚在能带中打开了一个小小的能隙，将所有低于这个能量尺度的相互作用拒之门外，对系统起到了绝佳的保护，成就了对于很多应用而言求之不得的效应：零电阻和完全抗磁性。超导现象作为一种宏观量子效应，尽管参与的粒子数在宏观量级，但表现出来的自由度只有一个——相位。前面讲噪声的时候提到噪声来源于不可控的自由度，在JPA中，参与的自由度只有这一个，其他大量相关的自由度都因为超导能隙的保护而冻结了，自然噪声就极低了！
*注释：在传统超导体中，我们已经清楚这种机制来源于电子-声子相互作用，但现在研究很多的非常规超导体，其机制尚无定论。
至于超越量子极限，则源于参量放大的非线性行为。非线性的存在使得放大器的振荡频率与振幅大小相关，对于JPA而言，振幅越大，共振频率越低。当振幅趋近于一个临界值时，极微弱的扰动也将导致系统响应特性出现显著变化。JPA需要先用一个较大功率的泵浦信号将系统驱动到接近这个临界状态，然后输入信号进来就相当于这个扰动，响应特性的变化造成输出变化。
在这个过程中，扰动（信号）与泵浦之间有一定的相位关系，当信号与泵浦频率一致时，只有当二者同相位时，才能造成显著的放大，而当相位相差90度时，输出反而是缩小的，理论上这正好满足了前述“超越量子极限”的条件。超越量子极限是有严格条件的，只有当信号频率与泵浦频率一致的时候才能发生。如果二者有偏差，根据三角函数关系，信号光总能分解成一半与泵浦光同相、一半相差90度的两个分量，因此总体增益就与初相无关了，此时回到了Caves理论，即附加噪声最少是半个光子。
量子测量技术
参量放大器的第三春的到来，与量子测量技术的需求有很大关系。量子测量，顾名思义，我们测量的对象是量子的，它可以是一个光子，也可以是一个电子自旋，也可以是一个宏观量子态。与经典测量相比，量子测量存在很多新的挑战。一方面，我们要求测量的能量分辨率能够达到单量子水平，而另一方面，根据量子力学基本原理，测量是一个不可逆过程，它会导致量子态“塌缩”，由于塌缩是一个随机过程，因此原则上测量后的状态与测量之前没有任何相关性。
对于能量分辨率这个要求，其难度取决于量子态的能量尺度。比如说我们最常见的量子态——可见光光子，它的波长范围是400nm-760nm，对应的能量为1.6-3个电子伏。这个能量有多大呢？当春日的阳光照射下来，每秒钟将有超过百亿亿个光子打在我们脸上，此时我们的皮肤仅仅只是感觉到“舒服”。然而，它却能够将一些金属中的电子打出来，让那些束缚在金属原子外层的电子变成游离态！这就是爱因斯坦获诺奖的工作——光电效应。正是这种光电效应，很快人们就发明了探测可见光光量子的办法——光电倍增管和雪崩二极管。有了这样的探测器，人们就可以研究可见光相关的各种量子效应了。
但是，如果我们想测量微波光子的量子态呢？比如一个10GHz的光子，它的光量子能量是多少呢？只有约40个微电子伏，比可见光小了5个数量级！这样低的能量，无论如何是打不出电子来的，只能激发分子中的一些振动或转动能级——这就是微波炉加热的原理。想测这样的光量子态，难度就大得多了，直到今天，人们仍然在探寻有效的长波段单光子探测器，因为它们在天文观测中有非常重要的作用。
光电倍增管示意图。光子进入倍增管之后由于光电效应会激发出光电子，经过加速，光电子会飞向阳极并激发更多的二次电子，如此反复之后，就能得到一个显著放大的电流。
对于量子态一碰就塌缩的问题，我们只能准备好一堆完全相同的状态，然后用完全相同的测量方法去读它，最终得到一个统计结果。这还没完，因为这样只能得到波函数的幅值，得不到相位。要想进一步获得相位信息，还需要对量子态做一定的操作，将密度矩阵非对角元信息投影到对角元上再测，这就复杂得多了，大家可以忽略这段文字，只要知道了解一个量子态的全部信息有多困难就行了，科学家能够对一个量子态进行“全息照相”，也只是最近十来年的事情。
理想情况下，我们希望测量是“指针”式的，比如一个光子飞过来，仪器接收到了就指向“1”，没有就指向“0”，这就是所谓的“单发测量（single shot measurement）”。实际的情况是，在绝大多数情况下，我们的仪表盘就像蒙了一层水雾，指针只是隐约可见。要想清楚知道指针指向了哪里，还需要测很多次，以降低测量结果的方差，提高准确性。另一方面，我们还希望测量对象在测量过程中是保持不动的，就好比在黑暗中拍照，我们保持拍照对象不动，相机不动，经过足够长时间曝光，总能得到一张明亮的照片。可悲的是，量子态基本上不太可能那么乖，我们拿相机的手也没那么稳，于是拍出来的“照片”总是糊，好多的科研成果，就是在这些模糊的照片中找亮点，也真是难为这些科学家们了。
在极弱的光线下，我们必须通过长时间曝光来获得美妙的照片，这其中蕴含了重要的测量原理：增加测量时间或者次数可以从背景中更清晰地分辨出信号。
如果只为探寻某些量子效应的“踪影”，我们也许可以说，照片糊点也没关系，多点耐心，加上“理论指引”，还是能看出蛛丝马迹滴！但是，如果我们的目的是要让这些量子态按照我们设想的方式行动，就容不得半点模糊了！这实际上就是量子计算面临的情况。
为了让一个个量子态能够进行“计算”，我们就必须设法让他们实现某些“逻辑”。何谓逻辑呢？浅显点说就是因果上下文关系，举例来说，我说如果我吃了午饭，我现在就不会饿；如果我没吃午饭，那我现在就会饿。这句话的逻辑，就是吃没吃饭会直接影响我三小时后会不会饿。吃没吃午饭是“因”，或者叫“输入”，饿不饿是果，或者叫“输出”。量子的逻辑就是量子门——经过一个量子门之后，输入的量子态会转变到一定的输出量子态。假如有一个量子系统，它包含一堆量子比特，我们先要将它们“初始化（置零）”，然后制备到“输入态”，接着经过一系列的量子门（算法），得到“输出态”，最后测量这些输出态，就得到了计算结果。看，量子计算多简单！
简单归简单，但里面有两个关键，首先量子门要足够准确，其次测量要足够准确。量子态可不是乖孩子，你给它拍第一张照片时，它会瞪大眼睛，拍第二张的时候却吐着舌头，再想拍一张，影子都没了！想让它们乖乖的，就得使用“定身术”。这个“量子定身术”的魔法，就是所谓的“量子非破坏测量”了。
量子非破坏测量
量子非破坏测量（Quantum Non-demolition measurement，简称QND测量）带有较强的误解性，因为它并不是“非破坏”的——量子力学基本原理不能违背，该塌缩还是得塌缩的。那它的妙处在哪呢？QND测量的妙用在于，第一次测量之后量子态会随机投影到某一个测量算符的本征态上去，但随后量子态会一直保持在这个态（除了一个平庸的相位演化以外），如此一来，第二次、第三次以及之后的测量，还能给出与第一次相同的结果。这给了测量者很大的空间，有了这种“定身术”，测量者就能通过增加测量次数或累加测量时间来获得更高的信噪比，如果不考虑退相干的话，我们甚至能无穷精确地知道塌缩后的量子态！
QND测量最早是由Braginsky等人在上世纪80年代提出的，研究的动机就是要解决引力波测量问题。前面已经提到，引力波测量要求的精度达到了原子核直径的尺度，此时量子效应必须考虑，而我们必须通过大量的反复测量才能累积到足够精确的数据，如果每次测量之间存在量子涨落，测量精度就无法通过累积来提升。
假如我们有一个测量装置，它对量子系统的作用可以用一个算符来表示，测量过程会导致系统向测量算符的某一个本征态塌缩。这里存在一个特殊情况：测量算符与系统哈密顿量及相互作用哈密顿量均对易。由于对易的算符具有相同的本征态，因此这种情况下我们可以确定，系统塌缩之后的状态（测量算符的本征态）将会是某一个“能量本征态”（系统哈密顿量的本征态）。而能量本征态又被称为“定态”——它只有平庸的相位演化，此时系统将保持在这个状态（除非受到其他干扰，这里先假定没有），再次测量时，系统将以“1”的概率投影到自身，因此会给出与第一次测量相同的结果，以此类推，后续的N次测量都将给出相同结果，搞定！
接下来的问题是：如何构造这样一种（QND）测量呢？找不到现实存在的QND测量手段的话，理论就只是空架子了。据说早年在笔记中，朗道就思考过这样的问题，最后他在笔记中写道：“遗憾的是，这样的哈密顿量是不存在的... ...”白高兴一场！朗道毕竟是一个纯粹的理论物理学家，从严格意义上来讲，这种测量确实是不存在的。但物理学的精髓在于，我们可以近似！下面就讲一个这样的经典例子。
假如有一个原子，我们只关注它其中的某两个特定能级*，然后将这个原子放入一个谐振腔（一个理想的简谐振子）中。谐振腔中的电磁场与原子会发生极为微弱的相互作用，因此整个系统的哈密顿量将包含三部分：原子的、谐振腔的和相互作用项。由于相互作用很弱，我们可以把它当作一个微扰并做一系列近似，包括：
只考虑偶极相互作用，不考虑四极或更高阶的相互作用；
旋波近似，即只考虑慢过程；
最后，再考虑原子频率和谐振腔频率相差很远的情况，即大失谐近似。
这样一来，我们就可以大刀阔斧地丢掉一大堆的项，最后保留下来的，就是经典的J-C哈密顿量。
*注释：原子中能级极为复杂，且如果考虑完全的系统的话，能级数量是无穷多的，为了简化问题，现在我们只考虑其中两个特定能级，也就是哈密顿量的一个小小的子空间。这样做不会带来什么问题，因为其他能级基本都是冻结的。
原子-谐振腔耦合组成的腔量子电动力学系统示意图，及J-C哈密顿量形式（大失谐情况下）。
这个哈密顿量已经包含很多信息：
首先由于相互作用的存在，即便谐振腔中没有光子（真空态），原子的能级也将发生微小的位移，这就是“兰姆位移”。
其次，谐振腔中有光子的话，原子能级的位移量会随着光子数增加而线性增加，这就是“AC-Stark效应”；反过来，原子上有没有激发，对谐振腔频率也会发生不同的影响，导致谐振腔频率发生位移。
最后，相互作用项与原子哈密顿量、谐振腔哈密顿量均对易。
看到吗？这不就是QND测量所要求的哈密顿量吗？如果把谐振腔当成是原子能态的探测器，我们就能够通过观察谐振腔频率的位移来判断原子处于哪个能量本征态了。我们将这样的一个系统称为“腔量子电动力学（Cavity QED）系统”，2012年的诺贝尔奖就颁发给了在这方面有突出贡献的两位物理学家，Serge Haroche（法国） 和 David J. Wineland（美国）。
从理论到实验发现
好了，哈密顿量也找到了，接下来就看物理学家如何去实现了。最早在自然原子和谐振腔上做这个实验是极为困难的，因为第一，原子并不老实，要想让原子呆在谐振腔中间不动简直比结界兽关哪吒还难；第二，自然原子与光场的相互作用实在太弱，只有通过谐振腔将光子约束起来，让光子在其中来回反射无数次，才有可能发生可观测的相互作用，这就要求有极高品质因数的谐振腔。到这里我们就了解为什么这项工作能拿诺奖了，挑战性实在是大。
不过，如果我们换成别的体系，情况就大不相同了，比如超导量子比特。超导量子比特往往也被称之为“人工原子”，因为它也具有像原子那样的非线性能级系统，不同的是它所处的频率范围要低得多，大约在微波到毫米波范围。
超导量子比特中的量子态是“宏观量子态”，即大量微观粒子（这里是电子）的集体行为模式，这些微观粒子就像阅兵式上的方阵一样，数量庞大且行为整齐划一，这种集团军与外界电磁场发生相互作用的能力就比自然原子单兵作战或小队人马强得多了。人工原子还有一个优势，就是它们本身是通过微加工技术“刻”在芯片上的，所以天然就是固定不动的——想让它动才难呢！
这两个优势一下解决了自然原子腔量子电动力学系统中的两大难题，因此在人工原子中实现腔量子电动力学要容易得多。由于人工原子本质上是非线性的无损电路，因此这样的系统用另一个名称“电路量子电动力学（Circuit-QED）系统”加以区分。
一个电路量子电动力学系统示意图，蓝色部分是一个传输线谐振腔，绿色部分就是一个“人工原子”。
Circuit-QED系统的这些特性，使得它成为目前量子计算中最流行的读出方式。如果能进一步解决Circuit-QED测量的“单发性”，也就是只需要一次测量就能准确知道量子态投影到哪个本征态，这就是一个完美的量子测量方案。好啦，到这里我总算是拉回到了参量放大器，是的，这时候就需要参量放大器出场了。
前面讲到理想的约瑟夫森参量放大器（JPA）具有单光子水平的噪声性能，用它来做量子信号的第一级放大器，就能够将整个放大系统的总噪声压制到单光子水平，从而能够实现单发的QND测量。随着近十几年量子计算技术的飞速发展，参量放大技术甚至成为从物理比特向逻辑比特进步的关键技术。这就是JPA第三春到来的契机。
前面讲到上世纪80年代研究JPA的时候遇到莫名的噪声问题，实际上是因为约瑟夫森结参数不稳定造成的，经过三十来年的发展，目前在结制备材料和工艺上已经有了大幅进步，大量的实验总结出了什么材料最稳定，怎样做绝缘层最好，怎么控制结参数等等，做出来的JPA性能自然就优良得多。现在采用最多的超导材料是铝和铌，你没看错，铝，这种日常生活中最常见最普通的金属材料，也是做JPA乃至超导量子比特最优良的材料之一。
近十余年时间，JPA经历了快速的发展，同时还产生了类似原理的其他形态，比如行波参量放大器（Traveling Wave Parametric Amplifier）、约瑟夫森参量转换器（Josephson Parametric Converter，JPC）、阻抗匹配参量放大器（Impedance Transformed Parametric Amplifier，IMPA）等等。这些新型的参量放大器，在保持低噪声的情况下，进一步提升了带宽、动态范围等其他指标，以适应量子计算技术的发展需要。谷歌最近实现“量子霸权”，其中的测量技术依靠的就是IMPA。在下一步的量子纠错实验中，参量放大更是关键，我们仍需要进一步设法改进参量放大器的综合性能。
中科院物理所制备的参量放大器
有意思的是，暗物质探测，这个与量子计算八竿子打不着的研究项目，很快就盯上了参量放大器——当然是因为它太合适啦！在没有好用的JPA之前，暗物质探测项目要么在更低的频率采用超导量子干涉仪（SQUID）来测量，要么在更高的频率下利用对撞机来分析。然而，根据理论预言，当暗物质的一种候选粒子，也就是轴子的能量在10GHz左右时，其丰度与现有标准宇宙模型的观测数据吻合。对于这个频率的量子测量，JPA无疑是最佳的候选者，几乎没有之一。
JPA的工作条件非常苛刻，要求100mK以下的极低温，以及极为干净的电磁场环境，这限制了它的应用场景。有人提出利用JPA来构建“量子雷达”，目前来看还不靠谱。即便如此，仅量子计算这一个应用场景，就已经能够让JPA光芒四射了，我相信在未来朝更为极端的未知领域探索的过程中，JPA应该还能找到更多的应用场景。如果能够让大家记住这个不起眼却了不起的东西，此文的目的也就达到了，再见！
撰文 | 无邪（量子计算从业人员）
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