芝诺的乌龟
如果一个苹果切两半，然后一直对半切，那能不能切到头呢？
这其实这和数学界的一个著名的悖论芝诺的乌龟很类似，这个芝诺的乌龟也被称为科学史上的四大神兽之一。所谓芝诺的乌龟是说，阿喀琉斯是古希腊善于奔跑的英雄，他追击乌龟，假设他的速度是乌龟的2倍。乌龟在阿喀琉斯前面200米，但 阿喀琉斯追到200米的时候，其实乌龟已经往前100米了。这时候阿喀琉斯再追100米，乌龟已经向前50米。阿喀琉斯再追50米，乌龟已经向前25米。阿喀琉斯再追25米，乌龟已经再向前12.5米.....如此下去，阿喀琉斯就永远追不上乌龟。这是因为按照数学来看，这是可以一直二分一，二分之一切分下去的。
但实际上我们知道在现实生活中阿喀琉斯是可以追得上乌龟的，所以这并不是一个简单的数学问题。今天，我们就从数学和物理的两个角度来聊一聊这个问题。
万物的本源
我们先从物理学的角度来看这个问题，如今主流的科学界认为现代科学是起源于古希腊的。而古希腊的先哲们实际上很早就在思考两个问题：
万物的最小组成是什么？
宇宙到底是什么样？
仔细分析就会发现，这就是在研究最小的尺度和最大的尺度。古希腊哲学的开端就是泰勒斯的依据“万物的组成是水”开始的。
后来，有人认为是火、也有认为认为是土和气。还有像毕达哥拉斯这样的，搞了点创新，他认为万物的组成是“数”，也是从这个时候开始，抽象思维进入到了古希腊哲学当中。而在这个领域做到极致的是德谟克利特，他认为万物的组成是原子和虚空。这里多说一句，德谟克利特的原子指的是万物的最小组成部分，也就是无法再切的，不是我们如今所说的原子。如今的原子还可以继续往下再切成原子核和电子，即便是原子核还可以继续再分成质子和中子，质子和中子也可以继续再分成夸克。
从现代意义上的原子的发展，再到认识到夸克的存在是上个世纪物理学的一大进步。那夸克之后还能继续再分吗？
实际上，我们目前是不知道的。由于夸克禁闭的存在，科学家还没有办法获取到自由的夸克。而不要说验证夸克内部是不是还存在结构。
因此，从目前物理学理论来看，夸克无疑是物质的最小组成的单位。也就是说，如果你有一把神砍刀，你最狠也就只能把苹果砍成一堆夸克。这其实是从物质层面来看的。从量子力学的角度来看，这个世界也是不连续的。这里我们就需要解释一下量子的概念。所谓量子就是一个物理量如果存在最小的不可分割的基本单位。就拿辐射来说，很多人觉得能量应该是连续的，但是科学家发现，能量是存在最小的一份一份的基本单位。不仅仅能量有最小的基本单位，距离和时间也有，我们也把这个称为普朗克长度和普朗克时间。
意思就是说，你如果坐电梯上楼，你并不是连续上升的，时间上是以1.6*10-35m的整数倍在上升，整个变化过程不是连续的，只是因为这个间隔太小了，所以你感觉是连续的。
如果这个世界的物理量都不是连续的，而是不连续的，那么我们切苹果无论如何切，只要有能继续切下去的工具，那就总能切到不能再切的时候，这个不能再切的想“小块“就是最基本的单位。因此，从如今物理学的角度来看，苹果是不可能永远切下去的。
从数学的角度来理解
上文我们提到了芝诺的乌龟，其实我们只需要了解一下芝诺为什么要提出这个悖论，就大致能明白个中的奥妙。
在古希腊，毕达哥拉斯学派对数学极为痴迷，他们曾提出“1-0.9999……（无限循环）>0”的观念。芝诺提出芝诺的乌龟就是为了嘲讽毕达哥拉斯学派的这个看法。试想一下，其实芝诺的乌龟就是“1-0.9999……（无限循环）>0”的现实版倒推的结果。
那问题其实就转移成了，“1-0.9999……（无限循环）>0”到底对不对？
这个问题毕达哥拉斯的时代看起来很复杂，如今来它属于无穷小的问题，这个问题最终经过柯西和康托等人的努力，已经在数学上严格地完成证明。
如今我们已经可以证明：0.9999……（无限循环）=1，而且证明的方法还有很多，我们举两个例子。
首先是分数的方法。
还可以用位数操作的方法。
因此，从数学的角度来看，苹果也是不能无限再分的。
