七、哥廷根时代的开始
他们一家人在1807年11月21日到达哥廷根。住进旧天文台边的一座老旧房舍。 那时候汉诺威旧政体已经瓦解，威斯特伐利亚新政府尚未组成，所以高斯避免了正式向政府作就任宣誓的尴尬场面。
高斯当哥廷根天文台长兼哥廷根大学教授都还没有领到薪水，法国就已经向新政府发令征收战争金，而高斯的份是2000法郎。这在当时是一大笔钱。有一天 Olbers 寄来 2000法郎给他。不久拉普拉斯来信，告诉高斯他已经在巴黎替高斯付清了这一笔钱。高斯退还了Olbers的钱，至于拉普拉斯，高斯后来加上利息还清了这笔钱。高斯还收到了一笔从美因河畔法兰克福（Frankfurt am Main）寄来的1000 frolin（德国境的一种旧币）匿名捐款，这回他收下了。 过后他获悉那是法兰克福大公为敬佩高斯的功绩，从公款挪出的钱。
科学家兼探险家洪堡（Alexander von Humbolt，1769-1859） 在1804年从南美航海之旅回到巴黎时听到法国科学界对高斯的一片赞赏声， 使他对高斯印象深刻。 后来他在1807年与高斯认识，并多年致力于罗致高斯到柏林大学，但最终没有成功。他与政治家哥哥威廉（Wilhelm von Humbolt，1767-1835） 比高斯更早在哥廷根大学学过。 三个人后来成为终生莫逆之交。
1808年2月29日高斯通知他的双亲当天 Johanna 生了一个女娃， 并以发现 Pallas 的 Olbers 的名字命名为 Wilhelmine。 大家称她 Minma。高斯惋惜Minma要在四年中才有一个生日。 同年4月14日高斯的父亲去世。
1808到1809年间，舒马赫（H. C. Schumacher，1780-1850）来哥廷根跟高斯学天文学。 他记下他与高斯的对话成书，叫做《Gaussiana》。 这本书对后世研究他们两人很有帮助。他们的交往持续到舒马赫去世。 两人的书简集共六册。
1809年9月10日高斯的次子 Louis 诞生。 他的名字是为纪念 Juno 的发现者A. L. Harding，而以 Harding 的名字命名的。Harding从1807年起成为高斯在哥廷根天文台的副手。
生 Minna 时 Johanna 夫人已经是难产，这回生完 Louis 三十一天，在10月11日她便去世了。高斯悲恸已极，写信给Olbers ：“昨夜八点我盖上了我的天使的双眼，在那里，五年来我寻觅到我的天国……” 的确他们的婚姻生活非常美满。高斯给 Bolyai 的信中就有过描述：“我快乐地过着家居生活。当小女儿长出一颗牙齿或是小儿子学到一个新词儿，这在家里就像发现了一颗新星或是新的真理那般重要。”
Johanna的葬礼后高斯出发到不莱梅找 Olbers， 回程去 Altona 找舒马赫， 又去 Brünswick 找故旧寻求慰藉。1927年高斯的孙子Carl在祖父的书堆中找出高斯哀悼亡妻泪痕斑斑的信，信有两部份， 第二部份是在不莱梅写的，日期是10月25日。第一部份他诉说，本来以为亡妻是他永远的伴侣，没想到她一下子就走了。 她一直只以他的快乐为念， 并原谅他的错失。但望她的灵魂能永久伴随他，给他力量，让他不消沉，好好照料三个小孩子。第二部份的信中高斯写他很寂寞。 围绕他的人们让他暂时忘却痛若，但过后悲哀却变成双倍来袭击他。她最后的叮咛是教他不要被悲伤打垮。但望她的爱与善良能活生生地永留他的心中，能助他有勇气奋斗下去。
高斯口中“可爱的小 Louis”却在1810年3月1日猝死，追随妈妈，走了。
高斯的第二部巨著《在太阳周围回转成圆锥曲线的天体之运动论》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus onicis Solem ambientium）在1809年成书，由当时最著名的出版商 F. C. Pertes 印刷。本来他用德文写，后来听从 Pertes 的意见，为普及起见写成拉丁文。 内容是高斯依据开普勒的法则，作出圆锥曲线（椭圆与双曲线；物线不适用） 运动之下的天体轨道计算方法的完全体系。并从观测天体的三个点决定恒星或彗星轨道的一般方法。书的内容终于最小二乘法的解说。
这本书以形式上简洁，文笔优雅、有完美性及独创性著称。当时常有新星出现，天文学家们不得不借它来计算星座的轨道， 因此出版后有四十年之久它成为天文学家们必须精通的教科书。所以学者们对《运动论》的评价很高，世界各地的学会也就争聘高斯为他们的会员了。 法国科学院更在1810年赠送他 Lalande 奖 [为纪念法国数学家及天文学家 J. J. Le Franc ?ais de Lalande（1732-1807） 所设立的奖] ， 高斯拒受。 后来科学院秘书与 Sophie Germain（1776-1831） 动用奖金的一部分买一座天文摆钟送他，他这才接受，还终生摆设那一座钟在他的房间里。
Sophie Germain是法国女数学家，她生在巴黎富裕人家，自修数学。她为免受岐视， 以 Le Blanc 的男性化名寄出论文，受到拉格朗日（ Lagrange，1736-1813）赏识而出名。 她也以Le Blanc 为名在1804年底与高斯通信讨论《Disquisitiones Arithmeticae》，给高斯深刻的印象。当1807年3月法军入侵 Brünswick 时，她怕高斯受到伤害，请法国军官去问候高斯。到此， 她才掀开她的女子身份。 她的主要贡献在于整数论。 她也因弹性表面的数学理论获得法国科学院的大奖（Grand Prix）。1837年哥廷根大学百年庆时高斯惋惜她已去世， 否则她的成就足够哥廷根大学赠与她荣誉博士学位。
高斯并不重视最小二乘法（Least squares）， 他认为许多从事数值计算的人自然会使用到它。 他在1794年就知道它。1798年在机率计算中用上它，1802年天文学的运算中也用到它。但是勒让德在1806年正式发表了最小二乘法的理论（名称是勒让德命名的）。勒让德抗议高斯在1809年的《运动论》中提及最小二乘法，不过事实上高斯早在1795年（应该是1794年）就发明了它。 后来拉普拉斯当他们两人的仲裁人， 裁定勒让德在发表上有优先权，但两人都分别发明了最小二乘法。勒让德注定在其他他辛苦钻研出来的成果上又跟高斯的发明重复， 如数论中平方剩余的相互法则、超越函数以及几何学的基础理论等。
高斯的研究情绪也有低落的时候。 在1807到1810年间，他写的有关椭圆函数的笔记中突然出现一句用细铅笔写的字：“过这样的日子不如死掉的好。”
八、再婚
为了要获得心灵上的宁静以从事研究工作， 并让孩子们能得到妥善的照顾，高斯很快就想到再婚。他选择的对象是 Johanna 夫人在哥廷根的好朋友 Minna Waldeck（1788.4.15-1831.9.12）。她是高斯在哥廷根大学的同事，法学教授 Johann Peter Waldeck 的小女儿。 她当时刚刚解除与别人的婚约，正意气消沉的时候。高斯先得 Minna 双亲的首肯后写信给Minna。 他坦陈在太太去世不到半年就向她求婚一定不会给人好印象。的确，亡妻的影子一直无法从他心中消失，如今他也只能献出半颗心来。不过向来亡妻很敬爱 Minna，深信 Minna 很乐意替代亡妻照料高斯和孩子们。但望 Minna 能为她自己熟虑后再做决定。Minna答应了婚事。他们在1810年8月10日结婚。高斯这么快便再婚着实让亲朋好友大吃一惊。这回高斯邀请他母亲从Brünswick过来同住。但是 Minna 是贵族出身，他的母亲犹疑到1817年才答应下来。
Minna料理家庭，也很爱护前人留下来的两个孩子。这使高斯对 Minna 满怀感激与谢意。这一次的婚姻也算美满。Minna并给高斯生了两男一女：Eugene（1811年7月11日生，三男）， Wilmhelm（1813年10月23日生， 四男） 与 Therese（1816年6月9日生，次女）。
哥廷根天文台的建筑一直拖延下来。 直到1810年威斯特伐利亚政府为天文台的建造工作做了五年计划， 打算投入20万法郎来完成它。
威斯特伐利亚政府并给高斯贵族封号 Ritter von Gauss， 来酬劳他学术上的贡献。这一年柏林大学邀约高斯去教学，但他与 Minna 结婚已加深了与哥廷根大学的关系，并没有答应这个邀请。
1811年8月，天空上突然出现一颗闪亮的大彗星。高斯在8月22日黄昏时分看到它。几天后他开始观测，这时 von Zach 八月初旬的观测结果已经到手了。 由这些高斯算出这颗大彗星的物线轨道。 它再现时果然在高斯算出的轨道上， 并印证他的预言，亮度增强了。 而欧洲的人们则视这颗大彗星为一代霸主拿破仑开始落败的预兆。
1812年1月30日高斯在哥廷根皇家科学学会上发表超几何级数1+
的论文。这个级数因a，b，c 取特别的数而可成为二项级数、对数、三角函数等解析学上很重要的级数。高斯是首位对无限级数的收敛性做出研究的数学家。
1812年6月底拿破仑率领近45万大军攻打俄罗斯而取道德国。之前拉普拉斯向拿破仑进言请他对哥廷根大学特别关照。 因为那儿住着当代最顶尖的数学家高斯。
这回的战争拿破仑吃了瘪。俄罗斯军既不迎战，也不讲和却一直退却，并使用坚壁清野战术。而俄罗斯冰冷的冬天也到了，法国军又冷又饿，终于在10月19日开始撤退。但一路上俄罗斯军与德国等同盟军联合起来追击，法国军落败得很惨， 回到法国的残兵只剩下9万余人。
由拿破仑撑腰的威斯特伐利亚王国随着拿破仑的退位（1814年4月6日）在1814 年瓦解。哥廷根又归属于汉诺威王国。
此后十年是高斯成果丰硕的时期。 他出了二十数篇范围广泛的论文， 其中有理论及观测天文学、曲面论、整数论及对数的问题等，还给代数基本定理另两种证明。
1816年9月17日哥廷根新天文台完成了。高斯一家人搬进天文台边西翼的宿舍。
九、从事地形测量的工作
早在1816年6月8日舒马赫给高斯一信，说丹麦王出资让他测量丹麦境内（当年的丹麦国土包括一部份现今德国领土）的经纬线。他问高斯有没有兴趣。高斯在7月5日的信中回答， 如果是在汉诺威境他很乐意参加测量工作，也愿意协助三角座（主要的三个地点） 的计算问题。于是舒马赫运用他的关系，终于在1818年9月由诺威首相正式委任高斯做 Luneburg 地方（过后又扩大范围）的测量工作。（汉诺威地区靠近荷兰边缘的在拿破仑时代已测量过）
高斯不但是名义上的测量队（也有军队参与）主持人，他还实地参加测量工作。这是费时又费精力的工作。高斯起先没有想到一投入这个工作竟持续了十年之久。 这期间夏天他几乎是在外地过的。他怕热，天气燠热的时候他很难受。1822年他那当炮兵预备军官的长子 Joseph 也参与测量工作，而且做得很好。
1826年后高斯虽然不参加实地测量工作。但是测量数据的整理耗费好多时间：得到野外的测量数据后高斯独自投入与测量有关的计算到1848年。这才作成汉诺威王国全域三角化测量3000个据点的坐标。这些成为描绘汉诺威王国地图的基本资料。
1823年贝瑟尔看不惯高斯为测量工作用掉他的精力和时间，写信给他 ：“这些工作次等的数学家就可以完成，用不着您去做。”高斯回他的信说，的确集世界上所有测量成果也不值一个学问前进的定律。但是有时候我们得以相对性来判断价值。他也不能够从这实际上有用的工程抽身。 一则他可以做得比别人好， 二则他不做，这个测量工作便流产了。 还有一件事请贝瑟尔保密：自从1810年威斯特伐利亚 Jêrome 王给他订薪后他的薪水一直没有调整过。为了维持他那一大家子的生活， 他乐意得到这一份工作所带给他的报酬。
1824年10月底回到家高斯才发现整个夏天家里乱七八糟。三个孩子得了麻疹，后来又传给已经病了两年的 Minna 夫人，使得她一时徘徊在生死之间。
亚历山大·冯·洪堡在当时德国的精密科学发展上扮演了很重要的角色。他在普鲁士宫廷上很有影响力，又很识才。他想把鲁普士所属柏林大学（1810年设立）变成像巴黎的工技学院（Ecole Polytechnique）那般出色的学校。 因此他一而再再而三地怂恿高斯去那儿当校长，不用教书，只管研究机构就得。汉诺威政府听到这个消息后赶紧通知在伦敦的英王。不久国王批示高斯的年薪调升为2400 thaler。这也跟政府赏识他的测量业绩有关。高斯于是打消了去柏林大学的意愿。
1821年在野外工作中高斯发明了回光仪（helitope）。它是配有一个能旋转的镜子的光学仪器，镜子可使光线朝向一个固定方向反射，而不受远方的玻璃或光亮物等反射的干扰。在三角化工作时回光仪可以当发光的目标物，也可以做为光的通讯。因为从四、五英里外看它有一二级星的亮度。
在三角化地面的实际工作中对曲面有了了解，高斯于是在1827年发表了有关曲面的论文。他把曲面以参数式表示，并讨论曲面本身具有的性质（intrinsic property），如高斯曲率 K 在保长变换下不变等性质。
后来高斯的学生黎曼（ Berhard Riemann，1826-1866）把高斯的曲面理论发扬光大， 成为黎曼几何学。爱因斯坦就使用黎曼几何学才发明了广义相对论。
注释
[注1] 当时的德国尚未统一，德国境内由三十九个有主权的小王国、小公国等所组成。
[注2]《Disquisitiones Arithmeticae》这一本书的七章内容从来没有被超越过，没有被补充过，也没有被发现有任何的错误。高斯去世后《Disquisitiones Arithmeticae》的第八章 （处理高次同余式）被找出来。 它是高斯早年因考虑出版经费太庞大而被割爱的。 在收录 《高斯全集》时它被放在第一册中， 成为《Disquisitiones Arithmeticae》的第八章，等于成全了高斯早年的意愿。
[注3] 英国在1688-1689年的光荣革命时英王 James II 及他信奉天主教的儿子被逐出国外。1701年英国国会决议王位继承人须为新教徒。英伦三岛（英格兰、苏格兰及爱尔兰）统一于1707年。当时的国王是 Anne 女王 （James II 次女，信奉新教。在位1702-1714）。她的独子在10岁时夭折。她逝世后由 James I 外曾孙，新教徒 Hanover 选侯 George I（在位1714-1727）继承英国王位。他是一位只会讲德语的英王，为英国 Hanover 王朝之始。他的王位由长子 George II（在位 1727-2760） 继任。再来是 George II 的长孙 George III（在位1760- 1820）继位。George III 有众多儿女。他的王位由长子 George IV（在位1820-1830）继承。他的独女早逝，王位便由 George III 三 子 William IV（在位1830-1837） 继位。这些英国 Hanover 王朝诸王兼而是 Hanover 选侯或王 （Hanover 在1814年才成为王国）。William IV 的独女早逝，英国王位便落在 George III 的第四子 Edward 的女儿 Vcctoria（在位 1837-1901） 身上。但是 Hanover 王国不承认女继承人，故由 George III 第五子继位，为George V。从此英王不再兼 Hanover 王了。又，Victoria 为英国 Hanover 王朝最后一人。
[注4] 英译为“George V，The King of Hanover，to the Prince of Mathematicians”。按“Prince”有小邦国之“王”的意思，当时的德国联邦由三十九个邦国所组成。
[注5] 德语国家人名中有“von”与法国人名中有“de”一般来说都是贵族姓氏。 这些字皆有“from”或“of”的意思 ，接着的姓往往是这个人的属地名称。
参考资料
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[10] Tord Hall “Carl Friedrich Gauss， a Biography”， Transleted into English by Albert Froderberg，The MIT Press，Boston，1970.
本文原载台湾中央研究院数学研究所发行的《数学传播》杂志，《返朴》经授权转载。
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