本文是冯克勤教授在 21 世纪来临之际关于求学的回忆，从小学、中学再到大学、研究生回忆了自己是如何走上学习代数数论之路的，文中讲述了和华罗庚先生、王元先生、丁石孙先生等一同研究的经历，甚至还有 60 年代末在太钢做工人的故事。
撰文 | 冯克勤
我们已经进入 21 世纪，我们的新中国在 50 多年的风风雨雨中，经历了诸多的发展和变化。我想以个人的一些经历来反映这种发展和变化的一个小小的侧面，并藉以对指引我热爱数学，学习代数数论的老师们表达我的一片感激之情。特别对已去世的我最祟敬的老师华罗庚和我的学长 (钟家庆、曾宪立) 表示深切的怀念。
我出生在河北省一个有 300 户人家的农村，距天津市 50 华里，现已划为天津远郊区。村里有一所小学，1951 年我上初小的时候，学校只有一位教师，是过去教过私塾的老先生。我们学写毛笔字，讲得是“百家姓”、“三字经”和“千字文”。“百家姓”不但要竖着背，而且还要横着背：“赵冯朱孔齐……”，背不下来是要打手心的。上高小时学校开始分配来几位受过短期师范训练的年轻老师，有了正规的语文、算术、历史、地理等课程。我还记得当时教我们分数加法运算法则是：分子加分子，分母加分母。这些教员白天教我们，晚上自修一些读物。农村里的师生关系是非常亲密的。有一天，一位老师对我说：“晚上你也跟我们一起学习吧！”于是我也加入进修的行列，和老师们一起做习题，从高小就培养了喜欢做数学题的习惯。当时小学没有图书，只能从老师和乡亲们家里借一些《水浒传》《封神榜》《彭公案》来读。有一年，在天津二中读书的一位表姐来我家玩，带来一本《赵树理选集》，那是我在小学里读过的惟一一本现代小说。恰好于 1953 年我去天津三十中学考试时，语文试卷中有一个问题：“你看过赵树理的小说吗？”我很高兴地写上“看过赵树理选集”，至今也不知这样的答案是否算正确。还记得算术试卷有一道计算题，是两个相当复杂的式子乘起来。第一个式子算出为 0。于是我把这个式子验算了一遍，然后写上最后答案为 0。考完之后，听别人说另一个更为复杂的式子算出为 566，而且有人最后答案为 566。
来到天津市三十中学上初中，第一次走进大城市，使一个农村孩子大开眼界。我第一次看了电影 (《牧鹅少年马季》)，甚至还看了苏联大马戏团的表演。有轨电车伴随着清脆悦耳的铃声在街道上来回驶过，胡同里不时传出收音机播放的曲艺和评剧，周末在北宁公园和地道外还能欣赏到民间摔跤表演。学校图书馆里有看不完的书，崇拜有很多书的老师，也崇拜高年级的篮球和体操运动员。我住在与学校只隔一条街的亲戚家里，晚上在学校上自习。喜欢语文、数学、俄语和物理。不喜欢地理，因为死记硬背的东西太多。喜欢音乐课，但在美术课上，只有一次讲达?芬奇透视学引起我的兴趣，画了一张学校主楼被选中拿去展览，其余美术作业均不入流。有许多课外活动小组 (足球队，文学课外阅读，数学讲座等)。按着身高的次序我坐在第一排正中，上课时很容易看到老师的教案，上面写着这堂课被提问同学的姓名。班里事先约好，由我用两只手作手势，分别代表被提问同学的横坐标和纵坐标。这样，除了被提问同学一个人倒霉之外，其余人都可以较早地松一口气。这个办法受到全班同学的拥护，而且居然一直未被老师发现。初中一年级我因母亲去世未能参加期末数学考试。但我平时成绩已是 60 分，按学校规定成绩及格者不予补考，所以我有一个学期的数学成绩是 60 分，而且居然在初中毕业时于 1956 年被保送到天津一中上高中。
天津一中当时是天津著名的男生中学，有一位杰出的校长韦力和一批优秀的老师。学生中间多数为穿着朴素的穷孩子。市外学生全部住校，18 个人的宿舍是由昔日马棚改建的，学校以体育著称，高年级有许多一级运动员，我现在还记得他们的百米，八百米和撑竿跳高成绩和一些体育明星的名字 (白金申，穆祥雄……)。每年运动会都和天津大学、南开大学和天津师范在一起，尽管每次总成绩都是第四名，但也不屑于和其他中学在一起比赛。我们的体育课是在最后时刻由老师带我们跑出校门，在校外就地解散，由于下一节还有课，我们不得不再跑回学校。每年的运动会对我们是盛大的节日，不但为自己运动员加油和为他们看管衣物，送水送饭，而且还能目睹大学生们的风采。代数老师陈和为班上数学爱好者举办了课外小组活动。给我影响最深的是华罗庚《从杨辉三角谈起》，段学复《对称》和姜伯驹的《一笔画问题》。我还看过严济慈的《数学证题法》(1988 年中国科大校庆三十周年时，我在合肥向参加校庆的严老说起我在中学读过此书，严老看了我一眼回答：“连华罗庚也念过这本书！”，吓得我不敢再说话。)。我们有一段时期热衷于做《数学通报》上的征解问题。看到通报的解答者名单中有我们的名字时都兴奋不已，(1996 年北京师范大学请我为学生做一次通俗性演讲，讲演之后我曾向刘绍学和严士健等先生建议现在的《数学通报》继续刊登中学生解答者的姓名，他们说目前有诸多困难。) 高二的一个学期，我曾经每个星期日去天津市图书馆看华罗庚《数论导引》，常常不能吃中饭。高三时，中国科技大学有人来天津一中招生，我从介绍材料中看到华罗庚为学生上课的照片，便毫不犹豫地决定报考科大。1959 年，我成为科大应用数学与电子计算机系的第二届学生。
当时的科大以及我们国家的教育形势和气氛，可以从校长郭沫若作词吕骥作曲的科大校歌中体现出来：“迎接着永恒的东风，把红旗高举起来，插上科学的高峰……”在喜迎国庆十周年的日子里，我来到天安门前，见到开阔的天安门广场和宏伟的人民大会堂。进入校门便受到老生的热情接待，把行李放到宿舍之后便在楼下集合，由指定的班长带队去正在施工的教学楼清理地板和擦玻璃。同学来自四面八方，对上海话和福建话感到非常新奇。看到不少同学的穿着比我还要朴素，有些南方同学甚至还打者赤脚走路。我觉得这个学校与天津一中的风格很相近，从第一天起便喜欢上了科大。
当然，使我尤为兴奋的，是有如此众多的著名数学家为我们的老师。华罗庚是系主任，系里执政人龚升，是我在 1956 年“向科学进军”时代，从《中国青年》中就得知的杰出年轻数学家。数学系教学方针的制定和执行，有曾肯成、史济怀、常庚哲、陈希孺等一批骨干教员。当时科大数学系有三条龙：华龙 (华罗庚)、关龙 (关肇直) 和吴龙 (吴文俊)。我们第二届学生属于关龙。关肇直的课大有高屋建瓴之势：微积分课从“巴拿赫空间”讲下来，实数理论则是戴德金分割。在他这种“美声唱法”之后，辅导老师常庚哲再教我们“通俗唱法”。课下念菲赫金哥尔茨和斯米尔诺夫的书，并且彼此竞赛着做吉米多维奇的习题。
我们的下一届学生是由吴文俊先生主持的几何专业。我只旁听过吴先生的代数几何课，采用 Van der Waerden 的书。他的讲课条理清晰，很吸引人。每两节课都精心组织，像是一篇短篇小说。现在看来，我在大学时几何学得太少，这对我后来从事研究工作 (尤其是近年来学习算术代数几何) 造成相当大的困难。有几次下决心补习李群和微分几何，但都再也找不到学生时代那种赤诚和执著的心绪。
我在大学的前三年没有听过华罗庚的课，但看过他在科大讲授的《高等数学引论》讲义。他在科学院数学所提倡“练拳”，开辟“练拳园地”，这件事在数学所曾遭到非议。但数学系的领导把这些题目拿来让我们做。科大许多领导是部队转业干部，他们对我们的教育是要努力读书，“专”是“红”的具体体现，将来把他们打下的江山建设好。
在我大学五年期间，政治运动在科大对教育的冲击相对要小。这五年的学业是我后来工作的主要本钱，使我非常怀念那种不同风格的高手云集的学习和研究气氛。20 世纪 70 年代，当我成为科大一名教员时，曾肯成先生对当年科大的情景说过几句格言，我只记得其中的两句。一句是“科大是放羊而不是喂猪”，另一句是“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞”。所谓“打洞”就是把方阵相似变换成 Jordan 型 (对角线以外的元素大部分为 0)。30 年之后，常庚哲和史济怀教授仍在科大数学系教大学基础课，保持着当年的风格。
三年级快结束的时候，华罗庚在我们年级开设数论与代数专门化。这是我非常喜欢的专业，所以从第四年起转到“华龙”的行列。教我们数论的是王元和吴方，采用《数论导引》和 Titchmarch 的解析数论书。教近世代数的是万哲先和曾肯成，采用 Van der Waerden 的书。万哲先的讲课娓娓动听，板书工整而有条理，他使我第一次受到抽象代数学的熏陶。而曾肯成则是完全不同的风格。他用身体把写的字挡住，面对黑板自说自画，当他转过身来时，写得字已经被他涂掉了。他经常忘记上课时间，作为课代表我总要去宿舍找他。每次都看到他躺在床上，床头堆起很高的书，左手举着一本书，右手拿着一支烟，他对数学诸多领域 (还有数学之外的东西) 有精辟和惊人的见解，使我们十分惊讶。华罗庚和万哲先讲授他们的著作《典型群》，他们的讲课与他们的书有同样的风格，我们在这里学习到集合在线性群作用下不变量的 Klein 几何观点和矩阵技巧。大学最后一年是写论文时期，吴方老师指导我把陈景润当时得到的圆内整点余项估计推广到椭圆情形，并且带我去数学所向陈景润请教，整整一年在图书馆浏览数学期刊和杂志。毕业论文发表在中国科技大学校庆五周年论文集上，这是我的第一篇论文。
大学快毕业时，系领导动员裴定一、陈文德和我报考华罗庚的研究生，我们都服从组织决定。华罗庚 20 世纪 50 年代在数学所培养了一批人才，从事解析数论、代数学和多复变函数论的研究。在他的心目中，这些领域是一个整体。40 年代他在多变量自守函数方面作过世界上开创性的工作，就是把多变量复函数、线性群和数论相融起来，现在称之为 Siegel 模形式理论。到了 60 年代，他在中国科技大学兼任副校长，重新构思这一宏伟计划。1962 年在数学所招收了研究生钟家庆、孙继广、曾宪立和陆洪文，前三位学习多复变函数论，与数学所陈志华等人一起学习苏联学派盖里冯德的自守函数理论，陆洪文则研究四元数体上的数论，1963 年招收了林秀鼎作代数，1964 年招收了徐伟宣、贺祖琪、那吉生 (多复变函数论)、裴定一 (代数)、陈文德和我 (数论)。当时要我念的是德国数学家 Landau 的一本书，讲述代数数域上的解析理论。这时，我第一次知道什么是代数数论。华罗庚在 40 年代在代数数论作过许多经典性工作 (诸如代数数域上指数和的估计和实二次域基本单位的上界估计)，60 年代他和王元把数论用于高维积分的数值计算，采用二次域和分圆域单位构作插值点。在这样背景之下让陆洪文和我学习代数数论。他指导我们从已学过的解析数论出发，向代数数论蔓延过去，这种工作方法对包括我在内的许多人都有很大影响。他每一周或两周把我们叫过去谈话，首先检查上次布置的任务完成的情况，然后布置新的任务。每次谈话前我都认真准备并且小心谨慎。还值得一提的是他组织一个讨论班，念当时刚出版的 Bellman 关于不等式的一本书。各种专业的研究生和老师参加讨论，包括统计和概率论的殷湧泉先生。华罗庚在开场白中说：“我所以选此书是因为它写的不好，一些不等式 (特别是矩阵不等式) 可以改进”。在这种精神的感召下，我曾经在讨论班上对一个不等式作了改进，而且在某种意义上达到了最佳结果。后来听殷湧泉和华的秘书王柱说，华对这个结果相当满意。
华罗庚在讨论班和日常谈话中有许多观点是大家熟知的，例如他把“班门弄斧”反其道而行之，主张“弄斧一定到班门”，即研究工作一定要与大师交手，才会有所提高。他主张读书要“从薄变厚，再从厚变薄”，并举例说他花了两年的功夫念 Weyl 的群表示论书，终于懂了其中的精髓。我们在他的著作《典型域上的调和分析》中看到他是如何把群表示加以消化，用自己独特的矩阵技巧表达出来。他主张“早发表，晚评价”，这对于当前那种动不动便是国际先进水平的浮躁情绪，无疑是有现实意义的。
很可惜，我的研究生学习只持续有八个月。1965 年被派到乡下四清，而四清还未结束，史无前例的文化大革命便开始了。1968 年，我被分配到山西太原钢铁公司动力厂当外线电工。确切地说就是爬电线杆子和挖电缆沟，太钢当时是有五万人的大型企业。里面的设备从阎锡山时代的手工操作轧机，苏联的粗大装置，一直到西德进口的工业控制机进行转炉炼钢，应有尽有。对知识分子比较尊重，工人的职业教育做得相当出色。我们班组的组长是一位全国劳动模范。但当时山西两派工人武斗，不少工厂停工。我们这些分去的大学生和研究生们，上午按时报到，下午便和年青工人一起打球。不久，公司要我去工业控制机编程序，但我的动手能力太差，推辞不干。后来要我组织一批大学生为冶金部翻译国外炼钢的先进技术，并且负责太钢图书馆的购书工作。我们花两年编译了一套国外炼钢先进技术资料。我学习了外语，也顺便买了点数学书看，记得有一次军管会领导发现有一本《群论》，我说这是群众炼钢的理论。
具有不同专长的大学生们有时也聚在一起举办讲座，北京钢院和东北工学院的学生向我们这些外行普及冶金知识，中国人民大学文学系毕业的刘庆库讲红学 (他就是现在著名红学家刘梦溪先生)。我讲过“什么是几何”，听众中有一位曾是清华大学造反派的小头目，他听完我的讲演颇有收获：“几何就是运动中在一群人作用下各种对象的分类”。
1973 年 5 月，我调回当时已在合肥的中国科技大学，开始了教学生涯，为工农兵学员教微积分。那个时候，中国科学院数学所、北京大学、四川大学和中国科技大学一些从事数论和代数研究和教学的人员为我国通信和国防事业服务，华罗庚、段学复、柯召、万哲先、曾肯成等先后被有关部门聘为顾问。在 60 年代，随着数字通信和计算机产业的发展，通信工程有很大变化。数学工具也由传统的傅里叶分析和数理统计学转向离散傅里叶变换、组合数学、数论、置换群和有限域。1973 年下半年，曾肯成先生派林秀鼎和我到数学所向万哲先老师学习代数编码理论。在编码讨论班里，我们接触到：在研究有限域上某些三项多项式的分解特性时需要代数数论工具。万哲先建议再组织一个代数数论的讨论班。我至今还清楚地记得当时他十分动情地说：“你们可以看到漂亮的数学是什么样子！”他选定 Weiss 的一本代数数论书 (据他说 Weiss 已转入密码研究)，由万哲先讲书的第一章，刘木兰、戴宗铎、冯绪宁和我分别讲后面各章。参加人员还有王元，北大的聂灵沼、丁石孙、王萼芳等，王元甚至还讲述了书中的习题。后来，Lyanaga 的数论书到了国内，书中用群的上同调理论讲述代数数论。我们在北大又组织了讨论班，参加者扩大到华东师大朱福祖先生，江西大学戴执中先生，川大李德琅和科大陆洪文等人，由聂灵沼和丁石孙编写讲义，讲了八次群的上同调理论。这是我第一次听丁石孙先生讲课，他讲课语言简练，但击中问题的实质与核心。1977 年中国科技大学在黄山举办了一次代数编码会议。爬山时我们一路上听丁先生的高谈阔论，不知不觉便到达黄山顶峰。下山后在科大停留一天，科大数学系和物理系的二十多名北大毕业的教员看望丁石孙先生，陶懋颀一进门便大叫一声丁老师，然后是一个九十度的鞠躬。事后丁先生高兴地对我们说：“你们知道这是为什么吗？这就是多年教基础课的缘故！”
在 20 世纪 70 年代，华罗庚和王元继续进行高维积分数值计算和研究。他们考虑对高维情形用分圆域的分圆单位构作插值点，这需要寻找分圆单位的极大独立组。早在 19 世纪中期，库默尔在研究费马猜想时对特殊的分圆域给出了一个极大独立分圆单位组。但是在 19 世纪末，希尔伯特认为库默尔的分圆单位组对一般的分圆域可能不是独立的。华罗庚让裴定一研究这个问题，裴定一做了大量计算，发现对于“多数”分圆域，库默尔分圆单位组都不是独立的，而且决定出该单位组独立的全部分圆域，裴定一去东北迁户口的时侯 (他在文革时被分配到大庆油田作采油工)，华让我继续研究此问题，我给了裴定一结果的一个纯代数处理方式。华罗庚本人则构作了新的分圆单位组，它对于任意分圆域都是独立的。但不久，美国数学评论杂志的数论专集到了中国，裴定一从中查出早在 1965 年 Ramachandra 就构作出了华罗庚那个单位系。所以华就叫裴定一和我把我们研究的那部分发表在 1980 年的数学学报。这是我在华罗庚指导下发表的惟一的论文。我就是这样又重新走上学习代数数论之路。
1979 年至 1981 年，我们乘改革开放之风，去欧美作访问学者，学习西方代数数论。华罗庚老师为我写推荐信时严厉地嘱咐我：“在美国好好学习，不要到处宣扬是我的学生！”我在美国的两年一直记着这些话。这段经历不必细述，只想说一件事，就是我们这些不到四十岁的青年人，绝大多数都从未想过留在国外，希望尽快地回来报效祖国。近二十年来，中国的代数数论得到发展，但与国际水准仍有不小的差距。我已年近六十，把希望寄托在现在的年轻人身上。在这些年里，我也从代数界其他老前辈的身上学到不少东西，曹锡华先生曾邀我去华东师范大学为研究生讲类域论，他全程地坐在下面认真听讲，课后一起和学生打排球，还陪我骑自行车去虹口公园。周伯壎、曹锡华和刘绍学教授对学生的一片热心，鼓励和支持年青人向新的领域冲击，并且有效地学习外成果，都一直是我的楷模。
我很庆幸自己选择了代数数论领域和教师的职业，因为我是充满慈爱和温暖的集体中的一员。我愿意让现在的年青人分享我年青时代的美好回忆。我再次对教育过我的小学、中学和大学时代的所有老师表示深切的谢意。我也决心在今后的工作中努力尽我的本分。
本文原载于《新世纪代数学》(张继平主编，北京大学出版社，2002 年)，也可见《代数数论入门》(冯克勤著，哈尔滨工业大学出版社，2015 年) 附录 C。
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