几何一统天下
早在2000多年前的古希腊米诺斯文明时期，数学就已经开始慢慢发展，那个时候诞生了一个叫毕达哥拉斯的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。
这个学派最为我们所熟知的就是发现了勾股定理，而这个时候，毕达哥拉斯学派的一位成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
这个发现直接违背了毕达哥拉斯学派“一切数均可表成整数或整数之比”的信仰，所以他们称呼无理数为“阿洛贡”，这个词的含义是“不可说”。上帝创造的和谐的宇宙竟然出现了无法解释的破绽，此事应绝对保密，以免他因事情暴露而把愤怒发泄到人类身上，由此，希帕索斯被丢进了大海。
后来，毕达哥拉斯学派尝试对此进行补救，毕达哥拉斯学派的欧多克索斯尝试通过给比例下新定义的方法来进行补救。
他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来．用现代的术语来说，他的“量”指的是“连续量”，如长度、面积、重量等，而“数”是“离散的”，仅限于有理数。其次改变“比”的定义：“比”是同类量之间的大小关系．如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”．这个定义含蓄地把零排除在可比量之外。
欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理．尽管如此，欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础．为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展．从他之后，几何学成了希腊数学的主流。
相比于毕达哥拉斯学派的自我催眠，欧几里得直接从数学角度证明了的确存在这样的一类数字，向人们揭示了有理数系的缺陷，于是，古希腊人不得不接受除了整数和分数外还存在另外的数，由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了难听的名字—无理数。
自此之后，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统（指连续不断的数集）的设想彻底地破灭了。
在欧几里得以几何为基础的主张中，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识。
拉斐尔重现古希腊数学与艺术的辉煌
而欧几里得、阿基米德等人不仅总结了以前全部几何学知识，还建立起第一个几何公理系统（欧几里得-希尔伯特几何公理系统）。撰写了《几何原本》一书。这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次危机的产物。
此后，几何在2000多年的数学史上一直占据统治地位。而数学家也一直刻意回避无理数的出现，牛顿创立微积分也是通过几何来求证，而实数体系的重建工作被长期搁置，也影响了数学的发展。
牛顿微积分引发危机
1665 年 5 月 20 日,这是数学史极具意义的一天，伟大的物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微分法），而到了 1666 年 5 月又提出了“反流数术”(积分法),这标志着微积分的创立。而后来莱布尼茨也独立地创立了微积分理论，牛顿、莱布尼茨的微积分理论在数学史上具有重大的意义。
然而牛顿的微积分却出现了严重的缺陷，牛顿对导数的定义并不太严密，比如说 x2 的导数,先将 x 取一个不为0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,后再被 Δx 除,得到 2x + Δx ,最后突然令 Δx = 0 ,求得导数为 2x 。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设Δx是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么到底是不是0呢？牛顿后来也未能自圆其说。
牛顿受笛卡尔解析几何影响很大
这就引发了一个问题，无穷小量究竟是否为0，无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾。因为牛顿在对导数定义的时候，并没有对这个做出合理的解释，尽管它的结果是对的。
基督教主教贝克莱发现了微积分的漏洞之后，出自对科学的厌恶和对宗教的维护，他以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题特别特别长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达,或更明显的推理》，对牛顿的微积分进行攻击，引起数学界一片哗然。
克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。不仅差点推翻了微积分理论，甚至要颠覆整个现有的数学体系。
牛顿、欧拉等尽管都想尝试对这个缺陷做出补救，但是因为实数体系的不完善，最终还是没有从根本上解决问题。
1821 年，卓越的法国数学家A.L.柯西出版了著作《分析教程》中认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分。成功的用现代极限理论来说明导数的本质。他将导数明确定义如下：
“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯又用了“ε-δ”语言一举克服了“lim困难”，他将极限定义如下：设函数f（x）在x0的某个“去心领域”内有定义，则任意给定一个ε大于0，存在一个δ大于0，使得当
时，不等式
成立；则称A是函数f（x）当x趋近于x0时的极限，记成
维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上。
这个时候，就急需一个完备的实数体系框架作为支撑。
种种危机之下，“分析算数化”运动在酝酿爆发
除了几何占据统治地位，代数无法独立，以及牛顿微积分所呈现的极限问题之外，虚数如何解决也是当时一个头疼的问题。
塔塔利亚曾提出了著名的缺项三次方程求根公式。
缺项三次方程就是缺少 2 次项的方程，我们现在也叫一元三次方程，所以它也就是关于一次三次方程的解法公式。当时塔塔利亚只给出了一个解。但其实有三个解。
而在另外两个解中，两个两次根号下面却可能得到一个负值。因为它的三个解如下：
它得出的判别式是：
判别式的给定范围不同，得出的结果也就不同。其中当：
时，就会得到一个实根，而另外两个利用长除法得到的解则需要对负数开根号。然而在那个时候，对负数开根号对数学家来说是不可能的，所以他们就认为当它大于 0 的时候，其实就只有一个解。
后来，卡尔达诺在其著作《大术》中记录了塔塔利亚的缺项三次方程求根公式。并且提出了最早的虚数符号： 1545R15-15m ，但他认为这仅仅是个形式表示而已，并没有任何意义。
有史以来第一位把自己算死的数学家
卡尔达诺在书中还探讨是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成
尽管做出了这些尝试，但卡尔达诺仍然认为这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的。
笛卡尔手里，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。因为当时的观念认为这是真实不存在的数字，所以笛卡尔对提出这个名称。
不过，虽然笛卡尔提出虚数这一概念，一些数学家也开始接受虚数，但对于数学界来说还是新事物，加上当时没有成熟知识系统，因此也引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。
再加上的确没有什么地方可以使用到虚数，而且也没有什么实际用处，所以在很长时间，虚数都处于一个非常尴尬的位置。
莱布尼茨就曾说到：虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。后来，一向擅长创造符号的欧拉，他在《微分公式》一文中欧拉首创了用符号 i 作为虚数的单位，第一次用 i 来表示-1的平方根。
这个时候就需要给虚数一个明确的地位了，他在“数”的体系中应该怎么样去归类，在这种种因素情况下，数学大厦被几何所笼罩，正摇摇欲坠，“分析算数化”运动正在酝酿爆发。
分析算数化运动的到来
这个时候，不可微函数成为了“分析算数化”运动的导火索。
十九世纪下半叶，因为欧几里得的以几何为基础的主张，人们还把函数的概念和作为动点运动轨道的曲线的几何概念联系在一起。 由于动点必须经过它的轨道上任两点之间的每一个点, 因此曲线是连续的; 又因为动点在它的轨道上的每一点都有确定的运动方向,因此曲线在每一点处都有切线。
正是出于这种直观的考虑, 当时的数学家相信, 连续性是可微性的充分条件。当时几乎所有的数学家都相信“任何连续函数除个别点外都是可微的”, 甚至象高斯、 柯西和狄利克雷这样杰出的数学家, 也从未在其著作中提到他们对此持不同意见。
当德国数学家维尔斯特拉斯于 1861 年给出了一个处处不可微的函数时，震惊了整个数学界。这个函数如下：
维尔斯特拉斯的处处不可微函数使得人们进一步感觉到需要彻底摆脱几何直觉的依赖，重新考察分析基础，数学分析的进一步发展需要进一步有逻辑严谨的实数理论作为其基础，再加上当时微积分已经诞生，微积分计算必须根植于实数园地，而这个时候数学界还没有给实数下一个明确的定义，人们这个时候才不得不开始解决有理数这个一直被回避的存在。
所以魏尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动，想要解决由无理数引发的持续2000年的数学危机。魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数)。这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。这就是所谓“分析算术化”纲领。
在魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动的引领下，戴德金、康托尔包括魏尔斯特拉斯都提出了自己的实数理论。
1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，他将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一个元素小于集合A'中的每一个元素。集合A称为划分的下组，集合A'称为划分的上组，并将这种划分记成A|A'。戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割，在这里面，戴德金从有理数扩展到实数，建立起无理数理论及连续性的纯算术的定义。
戴德金分割定理推算过程
康托尔也通过有理数序列理论完成了同一目标，康托尔和戴德金都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”。戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法。这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具。
康托尔的有理数序列理论
维尔斯特拉斯发表了有界单调序列理论，有理数基本列是先假定实数的完备性，再根据有理数列的极限来定义有理数无理数。有很多有理数列，他们自己是基本列，但在有理数系内没有极限，所以有了定义：如果一基本列收敛到有理数时，则称它为有理基本列；如果一基本列不收敛到任何有理数或者收敛空了时，则称它为无理基本列。有理基本列定义的是有理数，无理基本列定义的是无理数。
有界单调序列理论求证过程
实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质，证明了实数系的完备性。实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除。 使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了。
而这也将一系列数学上的漏洞得到根本性的解决，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展。复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了，从而让代数、数学分析、函数等开始得到迅速发展。
可以说，“分析算数化”运动是数学史上最伟大的运动，它挽救了摇摇欲坠的数学大厦，为后来数学的发展奠定了基础。
