顾险峰，美国纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授，哈佛大学数学科学与应用中心兼职教授。曾获美国国家自然科学基金CAREER奖，有华人菲尔茨奖之称的晨兴应用数学金奖等。他是国际著名微分几何大师菲尔茨奖得主丘成桐先生的得意门生，在丘先生的指导下，将抽象的现代几何与拓扑理论转化成实用的计算方法。创立了横跨数学与计算机科学的学科计算共形几何，并广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助设计、物联网、医学影像，和人工智能等领域。
医学图像领域中数学几何的应用
在医学图像领域，共形几何用得也非常广泛，比如说共形脑图。人的大脑，形状非常地复杂，有很多沟回，这些沟回，随着岁月的增长是会发生变化的。比较两个大脑本身来讲非常困难。通过刚才大一统定理，我们知道存在一个共形变换。把大脑映到单位球面上，并且这个映射，基本是唯一的。得到这个映射之后，我们为大脑的每一点，确定唯一的经纬坐标。这样可以在大脑上精确地定位，进行比较。
老年痴呆症是一个非常普遍的一个疾病。人的大脑根据功能有很多种分区。比如最中间的这个山谷，是胚胎期最先形成的一个皱褶，人的感情，基本存在这个皱褶两边。
下图中，不同颜色代表不同的功能区域。有的区域主管语言，有的区域主管着运动，有的区域主管感情，有的区域主管推理。老年痴呆，是对应的某些功能区域会发生萎缩。
如果我们通过共形脑图，来进行精确的比较，发现老人的语言中枢开始萎缩，可以让他学一门新的外语，这样就可以延缓他老年痴呆症状。如果他的感情中枢开始萎缩，让他多参加社交，如果他的运动中枢开始萎缩，让他去跳广场舞，这样可以加强对这个区域刺激。
在医学图像中的，另外的应用，是关于癌症检测。直肠癌，是男子的第四号杀手，普通男子过了中年之后，肠子里面会长出一些息肉。如果息肉的位置长得不对，经常地摩擦溃疡，摩擦溃疡之后复合，复合之后又反复摩擦溃疡，它的DNA复制次数就会非常多，这样就非常容易出错，出错之后就会形成癌变。
从一个息肉变到癌变，一般需要5到8年，如果在这期间，进行了肠镜检查，就可以非常有效地预防和防止。但是传统的肠镜检查非常痛苦，病人需要全身被麻醉，同时肠镜检查的方式具有非常强的侵犯性。并且老年人的肠壁肌肉非常薄弱，很容易产生非常强烈的并发症。
还有一个很大的问题，直肠有很多皱褶，如果我们的息肉长在皱褶里面的话，传统的光学方法是看不到的，所以用传统的检测方式来进行检查会有大概30%的漏检率。
于是我们就发明了虚拟肠镜的方法，核心的想法就是--把肠子的皱褶打开摊平到整个平面上。如果以传统方式来检查，在活人身上是不可能实现的，但是用数字模型可以做到这一点。虚拟肠镜可以把所有肠壁的皱褶给摊开，把所有的息肉暴露出来，然后我们用CT来扫描人的直肠得到数字模型。于是，医生就可以戴上VR眼镜，来观察肠道的内壁。
我们来看一个简单的例子。用伪彩色表达肠道内壁，那核心的话我们是要寻找一些肿瘤，或者一些比较大的息肉，那么在这个肠道中探索这个和真实的光学肠镜这个体验是非常相近的。通过这种方法我们就能看到一些比较可疑的息肉。
虚拟肠镜有非常多好处。第一，病人不需要全身麻醉。第二，医生和病人没有肢体接触，第三，我们能暴露所有潜在的息肉，提高诊断的准确率。
这个技术现在北美和日本用得非常普遍，在中国大陆，所有的医院几乎都有这套算法但是很可惜没有被真正用起来。那么它后边基于的是什么？就是我们讲到大一统定理欧式的情况。非常艰深的几何用于医疗，的确挽救了非常多的生命。
智慧制造与智慧材料
智慧制造，是现在发展方兴未艾的一个方向。如果需要我们用碳素纤维编织一个复杂的曲面，那么如何把曲面变成编织的模式，这就需要计算叶状结构。
通过几何可以把复杂的曲面，分解成两组调和的叶状结构，黑色代表一组，白色代表另外一组，它们彼此编织起来可以构成任何复杂的形状。在现实生活中，只要有了计算出来的叶状结构，我们就能够用碳素纤维把它编织出来。
我们再看一个更复杂的模型，人手的模型，左侧的红色和蓝色代表两族叶状结构，右侧是用叶状结构得到的编织模型。真正编织出来的这个三维的形体，按照复杂曲面上的叶状结构而得。
这个结构在计算力学中是非常有用的。比如说我们设计了一个，汽车的发动机。制造一个发动机非常昂贵，在制造之前，我们需要对它进行模拟仿真。模拟仿真的意思就是说在这个发动机上要解一些偏微分方程来计算它的力学特性、热力学特性、电磁特性。为了保证计算的精度，我们需要在这个曲面上进行四边形网格剖分，使剖分尽量地均匀，奇异点尽量地少。
发动机设计，存在于工业界六七十年，但是一直介于艺术和科学之间。没有一种完全自动的方法，完全靠人的手工去调整。直到最近我们才发现，原来这种技术强烈地依赖于一条非常古老的定理，一条阿贝尔和雅可比几百年前发现的定理。但是找到这个定理和这个工程问题之间的联系，花了人们几十年的时间。
在智能制造中，人们用数控机床来加工各种各样的金属毛坯，用金属车刀来车这个金属的时候，要计算车刀的速度和加速度。这就需要毛坯的曲面，一定是光滑可导的。在动漫动画领域中，曲面不需要可导，只需要连续就可以。但是在机械加工领域，曲面一定要可导。这就需要把粗糙的点云信息，变成样条曲面。这一步也需要把曲面先映到平面上来，在平面上去架设比较光滑的样条，这项技术用到的是同样的这个几何原理。
智慧材料，现在发展非常神速，核心是因为3D打印技术的出现。比如说我们想设计一个防弹衣、防弹面罩，需要用到一种自然界并不存在的负泊松比材料。在自然界中所有的材料都是正的泊松比。一块长方形的橡皮，当你上下挤压它的时候，它的左右会突出。左右挤压的时候，它上下会突出。但是负泊松比，你上下挤压它的时候它左右会收缩，你左右挤压的时候，它上下会收缩。如果用负泊松比材料制作防弹衣或防弹面罩，当一个子弹打来的时候，它受力的地方密度会变得更加大，从而达到非常好的防弹效果。这种不存在于自然界的材料，可以通过设计这种材料的几何的微元用3D打印制造出来。
下图用红色圈出的蓝色结构，代表材料的微元。按照传统的方法，微元只能在平面上设计。我们想做一个三维的面罩的话，需要把人脸的面罩映到平面上，然后把负泊松比材料面元铺到平面区域再拉回到三维的曲面，最后通过3D打印实现出来。
另外一个例子，如果我们想设计超轻超硬材料，想让材料尽量的轻，但是尽量的硬。怎么做呢？在自然界中，金刚石它的晶体结构是最硬的，那我们就仿照金刚石的结构，做一个微元。然后把这个微元，平铺到超轻材料的兔子内表面，那么这个兔子的整个质量还是非常轻盈，但是硬度会超过所有的材料。
智慧材料的设计，需要我们把曲面平铺到平面上，然后把平面的设计推广到曲面上。这样的过程也离不开刚才讲到的大一统定理。
深度学习
闵科夫斯基问题和亚历山大问题是两个非常古老的定理，有上百年历史。这两个问题的描述是非常简单的。比如说在三维空间中，我给了你一个凸曲面，这个凸曲面每个面的法向量给定，每个面的面积也是给定的。那么闵科夫斯基问，你能不能把这个凸多面体给确定下来？他证明这个凸多面体是存在的并且是唯一的。亚历山大，是这个问题的推广。比如我们给了一个开放的凸多面体，每个面的法向量已知，投影面积已知。我们能不能把这个凸多面体求出来？
闵可夫斯基和亚历山大问题
为了表达这个两个问题，我们需要用到比较复杂的偏微分方程叫做蒙日-安培方程。这个方程有什么用呢？它实际上是奠定了，统计深度学习的基础。深度学习现在非常成功，但是处于谁也解释不清楚的一个地位。那么如何来打开，深度学习的黑箱是目前学术界最为关注的一个问题。
首先，深度学习究竟在学什么？什么是我们最终深度学习的目标？根据我们的观点，所谓深度学习的目标，是流形上的概率分布。怎么讲，比如说我们想学习所有的人脸图片，把每张人脸图片看成一个点，这个点的维数，等于它像素的数目，达到几十万维，非常高。但是在整个几十万维的图像空间里面，我们只考虑人脸的图片，它构成一个点云，这个点云构成了一个维数非常低的弯曲的空间，是一个非常低维的流行。人脸图片，在这个流行上分布也不是均匀的，有些地方会稠密一些，有些地方会稀疏一些。那么通过深度学习方法，我们把弯的流行打到隐空间，或者特征空间里面。然后，我们还要调整映射使得在隐空间中的概率分布和原来流形上分布比较一致。
比如我们这边画一个弥勒佛的曲面来代表这个流形，把它打到二维的隐空间上。摊平之后我们看，如果在流形上的分布是均匀分布，那么在二维平面上也是均匀分布。那么就是说这个映射，第一它降维，第二它保持分布不变。降维，有很多种方法，比如说Auto-Encoder（自动编码器）。但是降下来之后，它概率分布发生了变化。怎样保持分布不变呢？第一步，你需要找到一个变换，把标准的概率分布比如说高斯分布或者是均匀分布变成数据分布。第二步，需要解最优传输问题。最优传输问题的本质，就是刚才讲的亚历山大问题，是一个凸几何问题。表面上看蒙日-安培方程和科夫斯基的问题和深度学习是风马牛不相及的，但实际上这确实是用来解释深度学习黑箱的一个最关键的一个钥匙。当然这是特殊指的是统计深度学习。
人工智能有两大流派，一个是联结主义，一个是符号主义。符号主义代表作是吴文俊先生的吴方法，吴方法的本质是代数几何，是代数几何环的理想的生成理论，实际也是几何。联结主义对应统计学习，联结主义中必然要用到最优传输，也是凸几何理论。所以我们看人工智能，它的最后的理论根基还是归结于几何。
来看一个简单的例子显示计算效果。我们用很多人脸图片，学习了人脸图片的流形，在流形上均匀采样。采样的每一个采样点就是一张三维的人脸，一张人脸图片。流形中的任意一个曲线段就是一个变换过程，从一张脸渐变成另外一张脸。我们不知道这些人是不是存在过，也不知道他们未来是不是会存在，但是我们人眼分辨不出来这些人脸是真的还是假的。这个实验用的还是刚才讲的蒙日-安培方程和科夫斯基的问题。
非常古老的几何问题，用来解释了目前最为先进的计算机科学的领域和人工智能，并且为解决人工智能的黑箱奠定了很深的基础。所以总结一下，微分几何，还有共形几何在计算机科学中很多方面的应用。我们可以非常信服地告诉大家，几何的确是现代科技的一个非常深刻的基础。
如果大家仅仅只想发表论文或者泛泛做一些研究，不需要去追求非常深刻的几何。但是如果想做出具有原始的独创性的问题，一定需要学习比较深刻的几何。各位年轻人，希望大家为几何的发展贡献自己的精力，为祖国的科技发展贡献自己的青春。
致敬丘成桐先生
“在过去二十多年中，在丘成桐先生呕心沥血的指导下，竭尽全力的共同创作下，我们团队和众多的数学家、计算机科学家、医生和工程师们一同发展计算共形几何，将丘先生领导的几何分析学派发展的理论和方法应用于工程和医疗领域。这次科普中所有的理论和算法，都在丘先生的指导下完成，都饱浸着大家的心血。很多科技成果已经深入到社会实践之中，真正转化成了生产力。如视频中展示的纹理贴图技术，曲面参数化技术，被暴雪公司采纳，并在其游戏引擎中使用；虚拟肠镜技术，被西门子公司采用，并在全世界推广；虚拟演员技术，由Geometric Informatics（GI）公司开发应用，虚拟演员的视频由GI剑桥团队和好莱坞共同制作。”
——顾险峰
编辑|郑智心
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