撰文 | 莫里斯·克莱因
翻译 | 李宏魁
然而，数学家们的得意——如果存在的话——将被接下来的进展击得粉碎。哥德尔的结果并没有排除这样一种可能性，选择公理或是连续统假设（或者两者都）能够基于其他策梅洛 - 弗伦克尔公理得出证明。选择公理不可能在此基础上证明的思想至少可以回溯到1922年，从这一年开始的几年中，包括弗伦克尔在内的几个人，证明了选择公理的独立性。但是他们每一个人都发现，为了得出证明，必须向策梅洛-弗伦克尔系统加入某个辅助公理，并且以后其他人的证明也存在同样的缺陷。哥德尔在1947年推测连续统假设同样独立于策梅洛-弗伦克尔公理以及选择公理。
就原理而言，科恩的称为“力迫法”（forcing method）的方法，与其他的独立性证明并没有什么不同。由此人们可能会联想到，为了表明平行公理确实独立于其他欧氏几何公理，人们必须要找出一个解释或者模型，它能满足除去存有疑问的平行公理之外的所有其他公理。这一模型必须相容，否则它也许会满足存有疑问的公理。相对于弗伦克尔、哥德尔等人早期的证明，科恩的改进在于他仅仅使用到了不包括任何辅助公理在内的策梅洛-弗伦克尔公理。此外，与选择公理的独立性存在早期证明（尽管不尽人意）相反，连续统假设的独立性在科恩的工作之前一直悬而未决。
有许多种数学和集合论（除去其他的数学基础）可以向许多方向发展。进而，人们可以只对集合的有限族使用选择公理，也可只对集合的不可数族使用选择公理。自然，还可以对任何集合族使用选择公理。这种种做法，均有人尝试过。
由于科恩的独立性证明，数学陷入了类似于非欧几何所造成的混乱 那样的窘境。众所周知，平行公理独立于其他欧氏几何公理的事实，使几种非欧几何的构造成为可能。科恩的结论提出了如下的问题：面对这两个公理，数学家们该做何种选择？即使只考察集合论公理化的方法，选择的多样性也同样令人不知所措。
这种选择之所以不能轻易做出，其原因是在每种情况下都会产生正面的和反面的效果。就像已经提及的，克制不用这两个公理，将会严格地限制能够被证明的定理，并且迫使人们排除许多在现存的数学中一直 被认为是基础的东西。即使是证明任何无限集合 S 具有可数无穷子集，也需要选择公理。需要选择公理才能证明的许多定理在现代分析、拓扑学、抽象代数、超限数理论以及其他一些领域中都是基础性的定理。因此，不接受选择公理会使数学家们举步维艰。
与之相反，如果承认选择公理，那么某些得到证明的定理至少是违 反直觉的。著名的“巴纳赫-塔斯基悖论”（Banach-Tarski paradox）即是其中之一，其可以描述如下：两个实心球体，一个大小与篮球相仿，另一个大小与地球一样，它们能够分别被分割成互不重叠的有限份，而且使得大球体的每一份与小球体的每一份对应全等。或者也可这样描述：可以把整个地球分成有限份，然而重新拼装成一个篮球大小的球体。在1914年发现的这个悖论的一个特例表明，一个球面可以分割成两部分并重新组合成两个完整的球面，每个新球面的半径都与原球面相同。与19世纪集合论碰到的悖论不同，这些新发现的悖论并不存在矛盾，它们只不过是集合论公理与选择公理的逻辑推论。
否定一般化的选择公理也导致了新奇的结论。一个技术结果或许对专家们更有意义，即每个线性集合都是可测的。换言之，既然选择公理蕴涵着不可测集合的存在，那么通过假定每个线性集合都可测就能否定选择公理。此外还有关于超限基数的新奇结论。至于连续统假设，无论承认它还是否认它，人们都冒着进入未知领域的风险。可是，有意义的结论迄今没有得到。然而，一旦假定
，那么每个实数集合就都是可测的了。当然，还可以推导出其他的新结论，可是它们都不甚重要。
就像对平行公理的研究将几何学领到了一个十字路口那样，科恩对这两个有关集合的公理所做的工作将以集合论为基础的数学也领到了错综复杂的交叉路口。这开创了数学的几个发展方向，但却没能给出任何 明显的理由来说明哪个更为优越。事实上，自从科恩1963 年的工作以来，人们在策梅洛 - 弗伦克尔集合论中发现了众多不可判定的命题，使得人们对选择（使用基本的策梅洛-弗伦克尔公理再加入一条或多条不可判定命题）的多样性无所适从。选择公理和连续统假设的独立性证明就好比告诉一个建筑师，只要稍稍改动他的图纸，就可以用一个城堡取代他原来要建造的办公楼。
当前集合论的研究者希望他们能按照某种可靠的方式修改集合论公理，借此能确定是否可以从一组为数学家们广泛接受的公理出发推导出选择公理以及连续统假设。按照哥德尔的观点，这些可能性应该是可以实现的，为此人们已付出了巨大的努力，但迄今为止没有成功。或许在未来的某一天，对于使用什么样的公理最终会取得一致的意见。
困扰数学家们的并不仅仅是哥德尔、丘奇以及科恩的工作带来的问题，数学家们的麻烦与日俱增。由勒文海姆1915年开始的通过在1920年到1933年之间斯科伦发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷，这就是为人们熟知的“勒文海姆-斯科伦定理”（ L?wenheim-Skolem Theory）。设想人们为数学的某个分支，或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论建立了合乎逻辑的数学公理。对此，最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特性，并且仅仅是这些特性。然而奇怪的是，人们发现可以找出截然不同的解释或模型都能满足这些公理。因此，鉴于整数集是可数的，或者按照康托尔的记法，存在
个整数，则存在着与整个实数集合（甚至在超限的含义上更大的集合）同样多元素的集合的解释。同理，相反的现象也可能出现，也就是说，假设人们承认了关于集合论的某个公理系统，进而还希望这些公理可以容纳并且的确能描述不可数集族的全部特性。然而，人们却发现了满足这个公理系统的可数集族以及其他一些与人们的常识非常不同的超限解释。实际上，每一个相容的系统都存在着相应的可数模型。
这意味着什么呢？假定人们打算开列一张特征表，并认为它是且仅仅是刻画了美国人，令人吃惊的是，某人发现了一种动物，它具有表上所列的全部特征，但完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。就像哥德尔不完备性定理告诉人们的，一组公理对于证明属于它们所覆盖的数学分支的全部定理是不充分的那样，勒文海姆-斯科伦定理告诉人们，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。公理没有限制住解释或是模型。因此，数学的真理性不可能严格地与公理化一致。
非预期的解释之所以可能，原因之一在于每个公理化系统内部都有无定义的概念。先前人们认为这些概念是被公理隐含地加以定义的，可事实上公理并没能做到这一点。因此，无定义概念的概念必须以某种非预期的方式加以更改。
勒文海姆-斯科伦定理与哥德尔不完备性定理同样惊世骇俗。对于 发端于20世纪初的公理化方法而言，它无疑是另一次沉重打击。直到不久前，公理化仍被认为是唯一可靠的方法，而且仍被逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者使用着。
从总体上来看，勒文海姆-斯科伦定理并不出人意料。哥德尔不完备性定理表明每个公理化系统都是不完备的，即存在着不可判定的命题。假定P就是一个这样的命题，那么不管是P还是非P都不能从这些公理中推导出来。因而，人们可以接受一个更大的公理系统：原来的公理集合加上命题P或是命题非P。由于解释不会是同构的，所以这两个公理系统也不是无条件的，也就是说，不完备性是有条件的。但勒文海姆-斯科伦定理是以一种更强硬也更根本的方式否定了无条件性。它证实了对于一个给定的公理系统，可以存在完全不同的解释或模型，而这无须加入任何新的公理。当然不完备性是必须的，否则的话，完全不同的解释是不可能的。此外，为了不被所有的解释所共同包容，关于某个解释的一些有意义的陈述也必定会是不可判定的。
经过对自己的结论再三考虑之后，斯科伦在1923年的一篇论文中表示，对于把公理化方法当作集合论的基础他是持反对意见的。即便是冯·诺依曼也在1925年表示赞同他的公理以及其他关于集合论的公理系统全都注明“不真实的标记……集合论不可能无条件地公理化……既然算术、几何等不存在公理体系，而对集合论却没有这样假定，那么也就必定不存在无条件的公理化无穷系统”。这一情况，他继续写道，“对我而言，是有利于直觉主义的又一论据。”
数学家们试图通过回想非欧几何的历史使他们自己平静下来。在关于平行公理争论了几个世纪之后，罗巴切夫斯基和鲍耶创立了他们的非欧几何，黎曼也给出了另一个几何学。数学家们起初倾向于抛弃这些新生的几何学，这有若干理由，其中之一是它们必定是不相容的，可后来的解释表明它们是相容的。例如黎曼的双椭圆几何学，与人们开始的意愿（应用于普通平面的图形）完全不同地按照球面上的图形得到了解释。然而，这个解释或模型的发现是受欢迎的，它证实了相容性。而且黎曼最初的期望与后来的解释在研究对象的数目上并没有什么不同，无非是点、线、面、三角形等等而已。用数学的语言来讲，这两个解释是同构的。然而，勒文海姆 - 斯科伦定理所适用的公理系统的不同解释并不同构，它们是完全不同的。
关于数学的抽象性，庞加莱曾经说过，数学是一门为不同事物起相同名字的艺术。例如，群的概念就可以表示整数、矩阵以及几何变换的全部特性。勒文海姆-斯科伦定理支持了庞加莱的观点，然而却改变了它的含义。人们并不期望群公理能表明所有解释具有相同的适用范围和特性（群公理不是无条件的，如果忽略平行公理，欧氏几何也不是无条件的）。与此相反，数学家们原以为适用于勒文海姆-斯科伦定理的那些公理系统只指向一个特定的解释，于是，当它们适用于完全不同的解释时，则令数学家们茫然不知所措。
上帝打算毁灭某些人，首先是使他们发疯。也许是上帝仍不相信哥德尔和科恩的工作，或者是勒文海姆和斯科伦还打算施展什么诡计，他们又开始了进一步的发展，似乎要使数学家们陷入绝境。在探讨微积分时，莱布尼茨引入了无穷小量。他认为无穷小量比1，0.1， 0.01…以及其他任何正数都小，但不是0。他进而认为，人们可以像使用其他普通数一样使用无穷小量。虽然无穷小量只是一种理想的元素，或者说是一种虚构的东西，但确实是有用的。事实上，对莱布尼茨而言，微积分学的基本概念——导数，就是两个无穷小量的比值。莱布尼茨还像对普通数值那样，也使用了无穷大量。
在整个18世纪，数学家们一直为无穷小量的概念争论不已。一方面，他们任意地，甚至是不合乎逻辑法则地使用它们；另一方面，他们最终又把无穷小量作为没有意义的东西而扔掉。柯西不仅拒绝无穷小量而且想努力消除它们。然而，无穷小量是否合理的问题依旧存在。米塔格-莱弗勒有一次问康托尔，在有理数与实数之间是否存在另外一类数，后者坚决予以否认。1887年，康托尔又证明了无穷小量在逻辑上是 不可行的。这个证明从根本上依赖阿基米德公理，即对于任意实数a， 总存在一个整数n，使得na大于另一给定的实数b。皮亚诺也证明了无穷小量不存在。罗素在他的《数学原理》（1903 年）中对此表示赞同。
然而，即便是伟人的号召，也不会得到非常迅速的响应。从亚里士多德时代起以及之后很长的一段时间里，地球是球体的观念被众多思想家认为荒诞不经而遭到摒弃。因为如果是那样，生活在地球另一面的人就会在空中倒垂着他们的头颅。可事实上，球体才是正确的观念。同样地，尽管莱布尼茨关于无穷小量的证明必须被摒弃，依然有许多人试图为它建立一个合乎逻辑的推论。
杜·布瓦-雷蒙、施托尔茨和克莱因的确认为基于无穷小的相容理论是可能的。事实上，克莱因指出，为了得到一个这样的理论，就必须 放弃阿基米德公理这一关于实数的最基本的公理。斯科伦也在1934年引入了不同于普通实数的一种新数——超整数，而且给出了它们的一些性质。若干数学家的一系列论文最终导致了一种使无穷小合理化的新理论的产生，而其中最重要的贡献则是由罗宾逊做出的。
称为非标准分析的新系统引入了“超实数”（hyperreal number），它包括原有的实数以及无穷小。正像莱布尼茨所做的那样，一个正无穷小被定义为小于一切普通的正数而大于 0 的数值；类似地，一个负无穷小 则大于一切负实数而小于 0。这些无穷量都是固定的数值，从而它们既 不是莱布尼茨意义上的变量，也非可以逼近 0 的变量，而是柯西有时使用这个术语时所表示的含义。更进一步地，非标准分析又引入了新的无穷大数，它们是无穷小量的倒数但不是康托尔的超限数。每一个有限的超实数 r 可表述成 x+a 的形式，其中 x 是一个普通的实数而a是一个无穷小量。
有了无穷小的概念，人们就可以说两个超实数无限接近了，这意味着它们的差是一个无穷小量。于是每个超实数都无限地接近于一个普通的实数，因为差恰好是无穷小。人们可以随心所欲地使用超实数，就像使用普通的实数那样。
使用新的超实数系统，人们可以引入其值既可以是普通实数又可以是超实数的函数。根据这些数，人们还可以定义函数的连续性：如果 x-a 是无穷小量，那么f(x) -f(a) 也是无穷小量，此时称f(x) 在 x=a 处连续。我们还可以用超实数定义导数和其他微积分的概念，进而证明分析的全部结论。最主要的一点是：超实数系统使人们能以一种精确的方式取得微积分学的成果，而先前人们正是因为不清晰甚至无意义而拒不接受微积分。
使用新的数系将会增长数学的力量吗？迄今为止，通过这种方法仍没能得到任何有重大意义的新结论，可重要的是它又开创了一条新的道路，而这正是一些数学家所渴望的。事实上，关于非标准分析的论著已经在不断涌现出来，而另外一些人则因为这样或那样的原因而责难这种新型的分析。但是物理学家们确实得救了，因为即便在知道了柯西已摒弃无穷小之后，为了方便起见，他们仍然在使用着这一有益的工具。
1900年以来数学基础的进展是令人迷惑的，即使在目前，数学的状况仍旧杂乱无章，前进的道路上不再有真理的光芒。曾被普遍赞赏和普遍接受的数学，其证明尽管有时需要校正，但毕竟曾被认为是可靠推理的极致。而到现在，这种看法改变了。对待数学可以采取相互矛盾的态度，在逻辑主义、直觉主义和形式主义的基础之外，集合论的方法又独立地给出了更多的选择。一些有歧义的甚至是矛盾的观点在其他学派内也是可能的。正由于此，在直觉主义哲学的内部，构造化运动又分成了许多小派别。对形式主义而言，什么样的数学原理可以使用存在着众多有待取舍的选择。而对非标准分析而言，虽然并不属于任何一个学派，却允许采取在分析中会引起歧义甚至是矛盾的观点的态度。无论如何，以前曾被当作不合乎逻辑的和应该被摒弃的，现在却被一些学派认为是逻辑上可靠的而予以接受。
至此，旨在消除可能存在的矛盾与建立数学结构相容性的努力宣告失败。是接受公理化方法，还是接受非公理化的直觉主义方法？如果接受公理化方法，又应该接受哪些公理？对这些问题再也不会存在一致的看法了。数学是建立在各自的公理集合之上的一组结构，这一流行的观点不足以包含数学所应该包含的东西，另一方面又包含了比它应该包含的更多的东西。看法上的不一致甚至殃及推理。排中律不再是毫无疑义的逻辑原理，争论的焦点是存在性证明中不允许计算其存在性正被确立的量及是否可用排中律。为此，必须放弃完美推理的观念。显然，不同的数学将导致选择的多样性。因此，近期数学基础研究所谓取得突破性的进展不过是邂逅了又一片荒野。
我们上面描述的自1931年以来取得的这些成果，使得逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者彻底绝望，而唯有直觉主义者对此保持了某种程度的镇定和乐观。使用逻辑符号和原理所做的全部工作，即使对最睿智的伟人的思想也构成了责难，对直觉主义者却是风马牛不相及。数学的相容性是显然的，因为直觉的意义保证了这一点。至于选择 公理和连续统假设，直觉主义者们并不承认。此外，布劳威尔在1907年已对此讲得相当多了，不完备性和不可判定命题的存在不仅没有使他们感到困扰，而且他们还理直气壮地说：我早就这样跟你讲过了。然而， 即使是直觉主义者们，其实也不希望抛弃在1900年之前建立的那部分不合乎他们标准的数学。他们已经断言，通过使用排中律确立数学的存在性是不能被接受的，只有允许人们按照期望的精确度对其存在性已被证实的量进行运算的那些构造，才是令人满意的。因此，他们仍在争论着构造性的存在性证明。
总之，没有哪个学派有权力宣称它就代表了数学，而更加不幸的是， 正如海廷在1960年评论的，从1930年开始，无休止的论战取代了友好合作的精神。
在1901年，罗素说道，“现代数学最主要的成就就在于发现了什么是真正的数学。”这些话至今仍能自然而然地打动我们。除了几个学派在作为今天的数学什么是可以接受的问题上存在分歧之外，人们可以对将来给予更多的期望。现存的学派一直在忙于证明当前的数学是正确的， 但如果注意到希腊数学在17世纪和19世纪的遭遇，人们就会发现戏剧性的巨变。这几个现代学派试图证明20世纪数学的合理性，可它们能够 符合21世纪数学的要求吗？直觉主义者确实在思索着数学的成长与发展，可是他们的“直觉”有能力给出或产生历史上没有过的东西吗？当 然，即便在1930年，回答也是否定的。因此，对数学基础的修正看上去总是必需的。
一则寓言恰如其分地概括了20世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。
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