许多人都以为数学知识是确定无疑的，数学大厦是坚不可摧的。其实，与其他任何一门学科一样，数学的发展也充满了波折。25个世纪以来，数学史上发生了多次危机：非欧几何对欧氏几何的冲击、无理数的发现及数的扩张、微积分带来的分析困境、集合论悖论和其他逻辑悖论出现……数学大厦一次次面临倒塌的危险。
美国数学史大家、数学哲学家莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908—1992）在《数学简史：确定性的消失》一书中，探讨了数千年来数学在直觉、逻辑、应用之间穿梭往复的炫目旅程，再现了真实数学的发展过程，阐述了数学的起源、数学的繁荣和科学的数学化，直到当代数学的现状：数学与确定性（逻辑，严密性，完备性）渐行渐远。透过数学史上的大事件，克莱因一步一步剥开数学思想与数学思维变迁的脉络。在不牺牲准确性的情况下，克莱因几乎没用公式，就用最短的篇幅讲述了数学2500年惊心动魄的历史。
撰文 | 莫里斯·克莱因
翻译 | 李宏魁
回顾以往，1930年时数学基础的状况可说是差强人意。已知的悖论已经被解决，但是几个学派为此使用了特定的方法。诚然，对于什么是正确的数学这一问题已不再有一致的观点，然而每一位数学家都能采用他所喜欢的方法，进而依据该方法的原理发挥他的创造力。
但是，两个问题继续困扰着数学界。第一是建立数学的相容性，这恰恰是希尔伯特在1900年的巴黎讲演中提出的。虽然已知的悖论已经解决，可再次发现新悖论的危险依然存在。第二个问题被称为完备性 （completeness），一般而言，完备性意味着任何数学分支的公理对于判别涉及该分支的概念的所有有意义的断言的真伪性是充分的。
完备性问题就是一个合理的欧氏几何的命题，例如“三角形的三条高线交于一点”这个命题能否根据欧氏公理证明或证伪。更进一步，在超限数域中，连续统假设又是一个例子。完备性要求根据构成超限数理论基础的公理证明或证伪该假设。类似的，完备性要求根据数论中的公理证明或证伪哥德巴赫猜想（Goldbach's hypothesis）：任一偶数都是两个质数之和。事实上完备性问题包括了许多其他的命题，对它们的求证向数学家们所发起的挑战已逾几十年甚至上百年。
对于相容性问题和完备性问题，几个学派采取了稍有不同的态度。罗素实际上放弃了他的逻辑方法中使用的逻辑公理是真理的信念，并且还承认了他的约化公理的人为属性。他的类型论避免了已知的悖论，而且罗素确信它能避免所有可能的悖论。然而，信心不能代替证明，罗素没能解决完备性问题。
尽管集合论公理化主义者自信他们的方法不会引起新的矛盾，但这一信念缺乏证据。同样，人们关注的主要不是完备性，直觉主义者对相容性问题漠不关心。他们认为被人类思维所承认的直觉具有自然而然的相容性，形式论的证明是不必要的，也与他们的哲学不相干。至于完备性，他们的看法是，人类的直觉是如此的强有力，以至于能判断绝大多数有意义的命题的真伪，即便有个别例外。
与之相反，由希尔伯特领导的形式主义学派并没有自鸣得意。在20世纪的最初几年，希尔伯特为解决相容性问题做了一些初步的工作。此后，在1920年，他的研究工作又一次回到了相容性和完备性问题。
在他的元数学中，希尔伯特找到了相容性的证明方法。对于完备性， 在1925年的论文“论无限”中，他再次从根本上对1900年巴黎演讲所表明的观点进行了阐述：“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决。” 在1925年的文章中，他进一步强调了这一观点：
作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子，我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点。我们都相信这一点，吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是：在我们中间，常常听到这样的呼声，这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有什么不可知！
在1928年意大利博洛尼亚国际数学家大会的发言中，希尔伯特批评了以前的完备性证明，因为它们使用了元数学所不允许的逻辑原理。但他对自己系统的完备性则充满了信心：“我们的推理并不具有任何秘密的技术，它只不过按照确切、清楚的规则进行而已，正是这样的规则保证了判断的绝对客观性。”他还说，每个数学家都相信，任何明确的数学问 题必是可解的。在1930年的论文“自然知识和逻辑”中，他又这样说：“我认为，孔德没有能找到一个不可解的问题的真正原因是，本来就不存在不可解的问题。”
在1927年完成，1930年发表的《数学的基础》中，希尔伯特详细论述了他在1905年的观点：使用他的元数学方法（证明论）可以来建立相容性和完备性。他断言：
我力求用这种建立数学基础的新方法达到一个有意义的目标，这种方法可以恰当地被称为证明论。我想把数学基础中所有的问题按照其现在提出的形式一劳永逸地解决，换言之，把每一个数学命题都变成一个可以具体表达和严密推导的公式。经过这样的处理，数学所推导出来的结果就会无懈可击，同时又能为整个科学描绘一幅合适的景象。我相信我能用证明论达到这一目标，尽管为此还要做大量工作。
显然，希尔伯特对于用证明论解决相容性和完备性问题是非常乐观的。
截至1930年，人们已取得了若干完备性的相关成果。希尔伯特自己构造了一个只包括算术且具有一定人为色彩的系统，进而建立了它的相容性和完备性。不久其他人也得到了类似的局部结果，从而相对平凡的公理系统（例如命题演算）被证明是相容的，甚至是完备的。这些证明中的一部分是由希尔伯特的学生完成的。1930年，后来成为普林斯顿高等研究院教授的哥德尔证明了包括了命题和命题函数在内的一阶谓词演算的完备性。所有这些成果使形式主义者备受鼓舞。希尔伯特本人也确信，他的元数学和证明论将会成功地确立全部数学的相容性和完备性。
但就在第二年，哥德尔发表的另一篇论文却打开了潘多拉的盒子。这篇题为“论《数学原理》中的形式不可判定命题及有关系统”（1931年）的论文包含了两个惊世骇俗的结论。其中对数学界尤具毁灭性的断言是：任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不可能通过几个基础学派（逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。这一结果特别适用于形式主义学派，原因是希尔伯特已经仔细地限定了元数学的逻辑原理，能使用的逻辑工具之少甚至连直觉主义者都认为可以接受。难怪外尔对此评论说：上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。
上述哥德尔的结果，是他的更为惊人的结果的一个推论，被称为 “哥德尔不完备性定理”（G?del incompleteness theorem）。这一定理表明， 如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。这意味着，有这样一个数论的有意义的语句S，使S和非S用这个理论都证明不了。因为S或非S总会有一个是真的，于是就有一个数论的语句 S，它是真的，又是不可证明的，故其是不可判定的。尽管哥德尔并不十分清楚其所涉及的公理系统的分类，但事实上他的定理不仅适用于罗素 - 怀特海系统、策梅洛 - 弗伦克尔系统、希尔伯特的数论公理化，而且事实上是一个被广泛接受的公理系统。很明显，相容性是以不完备性为代价的。我们可以通过那些超越前面所提到的形式系统的逻辑的证明，也就是推理的规则，来说明某些不可确定的语句。
就像人们猜测的，哥德尔并非很轻易地就得到了他那令人惊异的结果。他的方案是将数与逻辑主义者和形式主义者在数学方法中所用的符号及符号的顺序相联系。进而对于任何构成证明的命题或者命题集合， 他同样确定一个哥德尔配数（G?del number）与之对应。
对考察的系统中每一个公式，哥德尔都指定了一个数，而且对构成证明的整个公式序列，他同样指定了一个数，该数的各个指数正是每个公式的数值，尽管它们本身并不是质数，可与它们相对应的底数都取质数。例如 2^900· 3^90，就是一个证明的哥德尔配数，此证明由公式900和公式90构成。于是，从一个证明的哥德尔配数出发，我们可以重新构造出构成这一证明的公式。
在此基础上，哥德尔进一步指出，他所考察的形式系统的元数学概念同样可以用数值表示出来。因此，元数学的任何断言都有指派给它的哥德尔配数，一个元数学语句的数同时还是某个算术语句的数值。这样，元数学也就被“映射”为算术了。
使用这些算术术语，哥德尔证明了如何构造一个算术论断G，用元数学语言来说就是，具有哥德尔配数m的陈述不可证明。但是G作为一串符号，具有哥德尔配数m，于是G对自己说：“我是不可证明的。”但如果纯粹的算术论断G是可证明的，它就断言了自己不可证明；反之， 如果G是不可证明的，那么正如它所断言的，G就是不可证明的。然而，既然算术断言要么可证明，要么不可证明，那么算术论断所从属的形式系统如果无矛盾，必定不完备。即使这样，算术论断G确实是真的，因为它是一个关于整数的论断，可以通过较形式系统所允许的更直观的推理而建立。
人们还可以从下面的例子中把握和领会哥德尔的方案的精髓所在。考察“这句话是假的”这样的陈述，我们遇上了矛盾。若这句话为真，它断言自己是假的；如果该句话为假，那么它为真。对此，哥德尔用“不可证明”取代“假”，这时句子变为：“这句话是不可证明的。”于是，如果这句话不可证明，那么它讲的是真的；相反，如果这句话可以证明，那么它为假，或是按照标准逻辑，如果它为真，则不可证明。因此，当且仅当这个陈述不可证明时，它为真。这个结果没有矛盾，但却出现了一个不可判定的真陈述。
在展示了他的不可判定陈述之后，哥德尔将“算术是相容的”这一元数学陈述表述为一个算术陈述A，而且他证明了A蕴涵G。因而如果A是可证明的，那么G也是可证明的；如果G是不可判定的，那么A就是不可证明的，也就是不可判定的。这一结果表明，能被转换为算术系统的任何方法或逻辑原理，对于证明相容性都是无能为力的
看上去似乎可以通过向形式系统加入逻辑原理或数学公理来避免不完备性。但哥德尔的方法表明：如果新加入的语句可以按他的方案，即对符号和公式指派一个哥德尔配数，用算术术语表示，那么不可判定的命题仍能被构造出来。唯一可行的方法是，使用不能被“映射”为算术的推理原理来避免不可判定的命题，并证明一致性。下面是一个不很严密的类比：如果推理原理和数学公理是日语，哥德尔的算术化是英语，那么只要日语可以翻译成英语，哥德尔的结果就能得到。
哥德尔不完备性定理断言，不仅仅是数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。存在着有意义的陈述从属于这些系统，却不能在系统内部得出证明。然而非形式的论证可以证明其正确性。这个结论——公理化的能力具有局限性——与19世纪末的观点形成了尖锐的对比。那时人们认为数学与公理化了的各分支的总和具有相同的广度，所以哥德尔的结果是对内涵公理化一个致命的打击。公理化方法的这个缺陷本身并不是一个矛盾，但却是惊人的。因为数学家，尤其是形式主义者，原本期望任何一个真命题一定会在某个公理系统的框架内确立起来。因此，当布劳威尔弄清楚了直觉上明确的东西不及经典数学上证明的东西多时，哥德尔却证明了直觉的可靠超出了数学的证明。正像伯奈斯所说的，过分推崇公理体系是不明智的。当然，上述论点并没有排除这样的可能性，新的证明方法可能优于几个基础学派接受的逻辑原理所允许的方法。
哥德尔的两个结果都是毁灭性的。相容性的不能证明给予希尔伯特形式主义哲学以沉重打击，因为希尔伯特计划了以元数学为工具的这样一种证明，而且相信它能成功。然而，灾难大大超出了希尔伯特的方案所能解决的范围，哥德尔关于相容性的结论表明，我们使用任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理来证明相容性，现已提出的各种方法概莫能外。这可能是20世纪某些人声称的数学的一大特征，即其结果的绝对确定性和有效性已经丧失。更为糟糕的是，由于相容性的不可证明，数学家们正冒着传播谬误的风险，因为不定什么时候就会冒出一个悖论。如果真的发生了这种情况，而且悖论又不能消除，那么全部数学都会变得毫无意义。因为对于两个相互矛盾的命题，必定有一个是假的，而且被所有的数理逻辑学家采用的蕴涵的逻辑概念（称为实质蕴涵）都允许一个假命题推出任何命题，因而数学家们正工作在厄运即将来临的威胁之下。不完备定理则是另一场沉重打击，这里又一次直接牵涉希尔伯特，即便这个定理适合于所有关于数学的形式化方法。
虽然数学家们一般并没有像希尔伯特那样自信，可他们确实希望解决一切明确的问题。例如证明费马大定理（其断言没有大于 2 的整数满足x^n+y^n=z^n）的努力，到1930年为止，已经产生了数百篇冗长而深奥的相关论文。这些努力有可能完全是徒劳的，因其很可能是不可判定的。
在某种程度上，哥德尔不完备性定理是对排中律的否定。我们相信一个命题非真即假，从现代数学基础的观点看，这意味着依据该命题归属的特定学科的逻辑规律和公理，它或者可以证明，或者可以证伪。但是哥德尔表明，有些命题既不能被证明，也不能被证伪。这是有利于直觉主义者的又一论据，只不过他们是从其他角度出发反对排中律的。
然而，证明相容性的可能依然存在，只要人们能够用不同于哥德尔的方法给出一个包含了不可判定命题的系统。这是因为——根据前面提及的理由——实质蕴涵表明如果存在一个矛盾，任何命题都是可以证明的，但是迄今为止并没有得到上面的结果。
希尔伯特不相信他的失败，他是一个乐观主义者，对人类推理和理解的能力具有无限的信心。这种乐观主义给他以勇气和力量，但却阻止了他去了解可能存在的不可判定的数学命题。对希尔伯特来说，在数学领域中研究者除了自身的能力之外，没有任何其他的限制。
在哥德尔1931年的发表成果的时候，希尔伯特正在和伯奈斯合作写一部关于数学基础的著作（第一卷，1934年；第二卷，1939年）。因此，在第二卷的前言中作者们提出下面的观点：人们必须扩充元数学中的推理方法，包括超限归纳法。希尔伯特觉得，这些新原理仍然在直观上是可靠的，并且会被普遍接受。他坚持了这一方向，却没能取得新的成果。
在经历了严酷的1931年之后，进一步的进展使情况更加复杂，进而挫败了任何定义数学及何为正确结果的企图。但其中的一项工作还是值得一提。根岑，希尔伯特学派的一员，他放宽了在希尔伯特元数学中对证明方法的限制，例如使用超限归纳法，在1936年设法确立了数论和分析中一些受限制部分的相容性。
根岑的相容性证明为一些希尔伯特主义者支持和接受，他们认为根岑的工作并没有超出人们乐于接受的逻辑的限制。于是为了捍卫形式主义，人们必须从有限的布劳威尔逻辑发展到超限的根岑逻辑。根岑方法的反对派争辩说：“可接受”的逻辑是如此深奥莫测，而且我们对算术相容性的怀疑竟然可以用同样值得怀疑的元数学原理来消除，这太不可思议了。事实上，早在根岑之前，对于超限归纳法的使用就有过争论，并且一些数学家尽量在任何可能的场合从证明中消除它。这不是一个直觉上使人信服的原理，正如外尔评论的那样：这样的原理降低了有效推理的标准，并且把原本可靠的东西变得模糊了。
哥德尔不完备性定理引发的附属问题同样应当提及。既然无论多么错综复杂的数学分支都有不可判定的断言存在，那么我们对某一特定断言能否判定呢？这就是著名的判定问题（decision problem）。它要求一个有效的程序如同计算机一样，能在有限次步骤之内判定一个陈述或一类陈述的可证性。
为了具体化一个判定程序的概念，让我们考察一个很普遍的例子。为判定一个整数是否能被另一个整数整除，可以进行除法，如果没有余数，回答就是能。这同样适用于对多项式的整除的判定。类似地，对于判定方程ax+by=c是否有整数解，同样存在一个明确的方法（这里a， b，c是整数）。
在1900年巴黎国际数学家大会的著名演讲中，希尔伯特提出了一个非常有趣的问题：人们能否通过有限步骤判定丢番图方程是否有整数解 （希尔伯特第十问题）。由于方程ax+by=c涉及两个未知数且解必须为整数，所以它属于丢番图方程，而希尔伯特第十问题则更加一般化。在任何情况下判定问题都大大复杂于希尔伯特第十问题，但人们往往喜欢称这一类判定问题为希尔伯特第十问题，因为在希尔伯特问题上取得成果这一事实本身就使得该成果引人注目。
何为有效的程序？普林斯顿大学的教授丘奇用递归函数，或者说可计算函数，给出了它的概念。让我们考察递归性的一个简单例子：
如果定义f(1) =1，
f(n+1) ＝f(n) +3。
那么，f(2) =f(1) +3 或 1＋3 或 4，
f(3) 即f(2) +3 或 4+3 或 7。
依次类推，我们能连续地计算f(n) 的值，函数f(x) 就称为是递归的。丘奇对递归性的定义更加一般，将其等价于可计算性。1936年，丘奇使用他新发展的递归函数的概念表明一般不存在判定程序。因此，对一个特定的断言，我们并非总能够找到一个算法判定它是否能证明。在所有特定的情况下人们都有可能发现一个证明，然而这样的证明能否被发现则在事先并没有检验标准。于是，数学家们尝试求证什么是不可以证明 的可能就是在浪费时间。至于希尔伯特第十问题，马季亚谢维奇于1970年证明：一般情况下没有算法能够判定相应的丢番图方程是否有整数解。这一问题也许并非不可判定，但不存在有效的程序，这意味着对今天大多数的数学家而言，没有一个递归的程序（不必是上面所描述的那一个）能预先告诉我们它是否可解。
不可判定的命题与不存在判定程序的问题之间存在着某种微妙而明确的区别。不可判定的命题在一个特定的公理系统内是不可判定的，它们存在于任何有意义的公理系统中。例如，欧几里得平行公理就不能依据其他平行公理判定，另一个例子是断言实数是满足通常实数公理性质的最小集合。
还未得到解决的问题也许可判定，但这不总是能预先决定的。尺规作图的三等分角问题至少有数百年被错误地看作是不可判定的问题，可它已被证明是不可能做到的。丘奇定理表明，不可能预先确定一个命题是否能被证明或证伪，或许二者都不能，即该命题不可判定，但这可不像已知的不可判定命题那么明显。哥德巴赫猜想目前仍没有得到证明，也许依据数论的公理它是不可判定的，但现在还没能明显地看出这一点，这与哥德尔的例子恰恰相反。因此，也许在某个时候，它能被证明或证伪。
尽管哥德尔对不完备性所做的工作及提出不可能证明相容性所带来的震撼已经过去10年了，但它们还没有从数学界完全消散，而新的震撼又一次来临。这次仍旧是哥德尔，他发表的一系列研究论文引起了更大的困惑：什么是正确的数学，它又正在向什么方向发展？我们再一次回想起起源于20世纪初的数学方法之一：在集合论的基础上构建数学大厦。正是基于这一理由，策梅洛公理系统获得了发展。
在一定程度上，选择公理和连续统假设的相容性是令人信服的，就像对待其他的策梅洛 - 弗伦克尔系统的公理那样，人们至少是在充满自信地使用着它们。
（未完待续，请看<下>）
版权声明：本文由《返朴》原创，欢迎个人转发，严禁任何形式的媒体未经授权转载和摘编。
《返朴》，致力好科普。国际著名物理学家文小刚与生物学家颜宁联袂担任总编，与几十位学者组成的编委会一起，与你共同求索。关注《返朴》参与更多讨论。二次转载或合作请联系fanpu2019@outlook.com。
