学物理的人大概都知道著名的诺特定理，它解释了对称性和守恒定律之间的根本联系。这里的诺特就是被爱因斯坦形容为“女性受高等教育以来最杰出的学者”的数学家埃米·诺特（Emmy Noether）。在25岁以最优等取得博士学位后，她一直无薪无职地在大学教书，直到37岁那年，她第一次在数学圣地哥廷根大学获得了私讲师资格。终于，在整整一百年前的六月，这位德国历史上的第一位女性数学讲师面对着希尔伯特、克莱因、柯朗等大人物讲授了成为私讲师后的第一堂课。诺特一生简朴，她全然沉醉于数学世界的抽象概念中，或许对于她而言，这就是心中最完美的世界。
撰文 | 颜一清（辅仁大学数学系）
4哥廷根时期
1915年4月底，克莱因与希尔伯特邀请Emmy去哥廷根大学（公立大学）当私讲师（Privat dozent，由学生付学费，不领学校薪水的讲师职）的候补者。他们请Emmy去哥廷根除了因为她是同行Max Noether的女儿，想给她一个工作机会外，主要是要借重于她对不变量理论的知识。他们当时在研究一般相对论，很用得着这方面的知识，而Emmy也真帮上了忙。
Emmy去哥廷根整两星期后，她的母亲Ida Amalia突然去世了，她早先只是在治疗眼疾而已，这很出人意料之外。Ida Amalia生前操持家务非常节俭，有空她喜欢弹钢琴自娱。Emmy与Fritz是她喜悦的源泉，但是Alfred与Gustav Robert体弱多病，常使她忧伤。1915年，即第一次世界大战第二年，Emmy为了多少要照料家，就哥廷根与埃朗根两地来回跑。
1915年11月，为要得私讲师资格，Emmy在哥廷根数学学会演讲“On transcendental integers”（英译）。但是因哲学部与历史部的教授们的反对而申请没有成功。他们反对的理由是性别问题。他们说：“让女性当私讲师，往后她有资格当教授，这样她就可以成为学校评议会会员。评议会会员怎么可以有女性？”希尔伯特很气忿地回答他们：“诸位，大学评议会并不是澡堂，为什么女性就进不得？”希尔伯特等人向教育当局申诉过，但是没有用，被驳回。希尔伯特无奈，从1916年冬季学期开始一直到1919年夏天，在他的名下开一些课，但是让Emmy以助教的名义讲解课程，不收费。[1]
超越数（transcendental number）是指不是任何一个有理系数代数方程之根的实数或复数，比如最著名的超越数是e和π。所有实的超越数都是无理数，但反过来并不成立，例如黄金分割比虽是一个无理数，却不是一个超越数，因为它是多项式 x2?x? 1 = 0 的根。法国数学家刘维尔于1844年首先证明了超越数的存在性。| 图片来源：Wikipedia
在第一次大战世界期间（1914-1918），德国的海上运输长期遭到英军的封锁，德国境内物质非常缺乏。1918年末海军陆续有叛变，并继续扩大。到了11月7日，饥饿的人民发动革命，指摘德皇威廉二世领导国家无方。战事又节节败退的情况之下，德皇终于11月9日逊位，由刚成立的临时政府在11月11日11点与协约国签定停战协议，于是第一次世界大战宣告结束。直至1919年8月11日，德国国会在魏玛开会，德国才正式为魏玛共和国。
大战中参战双方死者逾九百万人，伤者约两千万人，他们大都是年轻男子。他们的死伤改变了各国的社会结构。妇女们须得出现在许多行业中，这使妇女们获得比战前更多的平等与自由，她们的社会地位随着也提高了。
社会形态的改变有利于Emmy申请私讲师资格了。Emmy在1917/18年间，专注于微分不变量的研究。1918年，她把结果写成“Invariant variational problems”（英译），发表在G?ttinger Nachrichten, 1918, pp.235-257上。它便是 Emmy申请私讲师资格的论文。1919年5月21日，哥廷根同仁通过Emmy的资格申请，5月28日有论文演讲。于是6月4日她在柯朗（Richard Courant，1888-1972）、德拜（Peter Debye，1884-1966）、希尔伯特、克莱因、兰道（Edmund Landau，1877-1938）、Prandtl（1875-1953）、Runge（1856-1927）与Voigt（1850-1919）等大人物面前做她申请私讲师后的第一堂试课。
在Emmy名下的第一个课程是1919年9月22日至12月20日特别为退伍军人开的《解析几何学》。1919的冬季学期开始，Emmy有机会开她研究的专长科目了，如高等代数、有穷论、体论、数论、代数数论等。这些课程每星期都有四堂课。
学生们上Emmy的课所产生的反应走两极端。有些学生后来成为有名的数学教授。其中有一个人说他觉得Emmy没有充分准备课程内容。而且学生如果没有好好预习过，很难跟上她天马行空式的教法。有一回，上一点钟要结束的课时他在笔记边缘涂写：“好极，已经到十二点五十分了！”可是有些Emmy最出色的学生却说，上她的课是“很好的经验”，受益良多。这是因为Emmy上课时常以思考与推论方式渐进，以期能达到某一结果。她未必全部说完，以便听者有发挥的余地。她不会有头绪地把概论、定理等从头到尾清清楚楚地说出来。所以她授课的方式未必能迎合众人的胃口。
B.L. van der Waerden（1903-1996）在1923/24来哥廷根前已经是成形的数学家了。他来受教于Emmy，很快地吸收了Emmy的方法，加上他自己的观念，使抽象代数学得以发扬光大。他写的《近世代数》是脍炙人口、影响深远的代数学书。它的内容多少采用了埃米尔·阿廷（Emil Artin，1898-1962）与Emmy的授课内容。Van der Waerden就形容过Emmy上课的一个情景：Emmy要证明Maschke（1853-1908）的一个定理。她想以公理与概念的方式渐进，应该写很少，也用不着运算就可以导出结果来。她事先想过，没有完全做出来，她以为在课堂上可以推演得出来。但是眼看下课前没法子完成它，她生气了，扔掉粉笔，用脚去踩碎它，还叫出：“讨厌，我只能用我不喜欢的方式导出这个定理了！”就以传统的方式无误地证出Maschke定理来。[1]
埃米尔·阿廷（Emil Artin）的主要贡献在代数数论领域，他对环、群和域等基本概念的整理亦有所建树。
Emmy上课时常把手帕塞在她的胸口。要用时她会不经心地抽出手帕来，使用完了她又塞回原处。她的头发可能早先是夹得好好的，但是上课后一下子这里一束、那里一绺地垂掉下来。她又长得胖，穿好的上衣经过上课时手的比画而变了样，那一副狼狈相成为上她课的学生们的看头。而上课时“正常班”的学生都占据前座。坐后面的旁听生半个小时后往往听不下去了，便退席。这时候前座的人会回过头来叫道：“敌人已被击败，退却了！”
Emmy对不苟同她的想法的人态度相当不友善。她会用她的大嗓门粗鲁地、还带嘲弄的语气把她的想法直接地说出来而得罪人。但是对需要她帮忙的人，她是慈爱而无私的。她会竭她所能去帮助人。她也时常与人分享她的创意。[1]
Emmy是一位忠实的朋友，兼而是一位严苛的批判者。因此她很适合当数学杂志编辑。她的确也从事Mathematische Annalen的编辑工作多年，但是她这份工作也是不挂名的，这颇使她伤感。[3]
Emmy在1915年赴埃朗根奔母丧后又几次回去奔丧：1918年是她大弟Alfred， 1921年是父亲，而1928年是她的幼弟Gustav Robert。因而她养成一种习惯，把她的哀伤、心思都默默地压在她的心底。可是一看到别人遇到同样的遭遇，她会表达出十分的同情心来。每当非犹太朋友帮助她时，她也由衷地表示感激。几次家人故去后，她的亲人只剩下二弟Fritz。他在弗罗茨瓦夫当数学教授。 Emmy跟他的家庭很亲近，也会跟他们一起渡假。Fritz生有两男，Emmy尤其宠爱有数学天份的小侄儿Gottfried（1915-1991）。他后来成为数理统计学家，1939年移居美国。Fritz一家人在1934年因纳粹的追逐移民到苏俄后，Fritz在西伯利亚Tomsk的“数学力学研究所”当教授。
1922年，哥廷根大学的自然科学与数学部门向教育当局申请Emmy的升等。 文件中说“埃米·诺特无疑是一位很出色的数学家，不适合当私讲师教大班学生的一般课程。她有能力影响一批优秀学生，其中有人甚至于有教授资格。”终于在当年4月6日，Emmy收到普鲁士（地方）科学部长发给她“非文官副教授”（nichtbeamteter Ausserordenticher Professor）的证书，也就是说，她虽然升任副教授，但是像私讲师一样不支薪。
不过Emmy还是满开心的。她写信给1920年代开始跟她合作，并研究非可换代数的Helmut Hasse（1898-1979）：“这个冬天我终于可以讲授有关超复数，这对于我和学生们都有趣多了。”[1]直到1923年柯朗（他除了数学外组织与管理能力也广被称许）当哥廷根大学的主任时替Emmy力争，她才得到“委任教学”（Lehrauftrag）的名义，也才领到少许薪水，一个月在200至400马克之间，而且这个“委任教学”每年还得复审。[4]
1930年外尔（Hermann Weyl，1885-1955）继任希尔伯特的教授席。这在当时的德国是最崇高的地位。他认为Emmy在数学上各方面都比他强许多，他的职位却比Emmy高高在上，这使他不安。因此他向教育当局争取过她的名位，也争取Emmy成为哥廷根大学科学会会员，但是都没有成功。[5]
外尔（Hermann Weyl）以及部分以他的名字命名的物理和数学对象。| 图片来源：Wikipedia
Emmy的生活一向很简朴。她起先无薪，即使在1923年后从国家获得的薪水也很少。她虽然稍有遗产，但是在她多病的幼弟生前，她几乎都把钱用在他身上。1933年她被普鲁士（地方）政府赶出职位时就靠这份遗产过日子。1934年她受聘美国的布林莫尔（Bryn Mawr）学院，她那些在普林斯顿的哥廷根老同事问她：“现在日子可以过得好些了吧！”她说：“哪里，我只花一半，一半要留给侄儿呢。”
有一次下着雨，Emmy虽然撑着伞，但不怎么管用，一个学生看不过去说“伞该修了”，她答：“是的，但是单知道没有用，不下雨时我不会想到它，下雨时我又用得着它。”
Emmy经常在一间简陋的餐厅里同一时间、同一座位上吃她同样的简单晚餐。 在礼拜天她也会在阁楼的房间里煮食，不过这时候差不多都有她的学生们在一起。在哥廷根，大家称Emmy为“Der Noether”（Der，男性冠词）表示尊敬，而她的学生们被称为“Noether boys”，她跟学生们被合称为“Noether family”。学生们往往从下午就跟她边散步边“谈数学”，最后落脚在她的住处吃晚餐，再继续谈数学。
外尔说：“Emmy这个人就像刚烘培出炉的面包，暖烘烘的。”[5]她照顾她的学生无微不至，就像母鸡呵护小鸡般。她的学生遇到攻击，她是会很凶猛地反击的。可是她受到委屈，她可以一笑置之。就如，有一次她被“请出”学校的公寓，因为有一批学生提出抗议说：“不愿意跟亲马克思主义的犹太婆共屋顶”，而事实上她在1918年左右较亲社会民主党外对政治一向是不干不预的。
5指导的学生们
在埃朗根时Emmy就指导过两次博士论文。第一次是指导Hans Falckenberg （1885-1946）。他是Emmy父执辈的孩子，也是弟弟Fritz的朋友。他在1911年拿到学位。后来当了吉森（Giessen）大学的数学教授。
Emmy在埃朗根与哥廷根来回跑的1915年间，兰道介绍给她 Dedekind（1831-1916）提出的问题：“任何置换群是否可为某一方程的伽罗瓦群？”她开始想这个问题。刚好那时候Fritz Seidelmann在埃朗根一所学校当讲师。早先他在慕尼黑大学跟Friedrich Hartogs（1874-1943）学过。当时他做出：“给定一群，可求得一四次方程”的特殊情形。他问Max Noether是否可以用它写成博士论文，Max Noether认为他的题目与Emmy研究的课题相近，就将他介绍给Emmy。Emmy建议Seidelmann用参数表示法试一试。结果他成功地做出三次和四次方程的一般情形。写成的博士论文是：“The set of cubic and biquadratic equations with affect over an arbitrary field”（英译）。1916年付印，他还写着：“献给埃米·诺特博士”。他以最优成绩通过口试，Emmy跟他一样，好高兴！Emmy也完成了一篇“Equations with preassigned group”（英译）,Mathematische Annalen, vol.78 (1917/18)。它是这类问题在当时的最佳文献。
在哥廷根大学Emmy指导博士论文的第一人是Grete Hermann（1901-1984），她在1925年2月25得到学位。过后Grete一直很感戴Emmy的指导。Emmy指导的其他哥廷根大学的博士学位的学生都是男生。跟Grete Hermann差不多时候有Rudolf H?fzer（1903 -1926）与Heinrich Grell（1903-1974）。Rudolf H?lzer完成论文但未得学位前因肺病在23岁病亡。Grell在1926年得学位，后来当洪堡大学教授。Emmy对Grell的评价很高。Grell对Emmy也很感恩。因他，Emmy的“Ideal differentiation and the difference”（英译）,Journal für die reine und angewandte Mathematik188, 1950, pp.1-21才得以付梓。这是 Emmy遗留下、生前未及出版的著述。
Grete Hermann因为关于量子力学基础的哲学工作而著名，1935年，她针对冯·诺伊曼提出的量子力学的隐变量理论是不可能的发表评论，但这个评论被长期忽视，湮没无闻数十载。
Emmy的另一个学生Werner Weber（1906-1975）在1929年得博士学位。他在 《Dedekind 全集》的编纂及van der Waeden的《近世代数》第一版上帮了些忙。
Jakob Levitzki（1904-1956）在乌克兰出生，之后全家移民到巴勒斯坦。他从特拉维夫来哥廷根念书，经济情况很差。Emmy尽力替他申请助教奖学金。后来他拿Sterling奖学金在耶鲁大学学习。1931年起在希伯来大学教书。在美国与巴勒斯坦他的表现俱佳。
1930年经Emmy指导拿到学位的有Max Deuring（1907-1984）。Emmy对他的期许很高。他写的《非可换代数》很符合Emmy的意思。后来他在马尔堡与汉堡教书。1950年后在哥廷根教书当到永久教授。台湾清华大学的徐道宁教授是Deuring的学生。（博士学位口试：1961年12月20日）。
1931年由Emmy指导而获得博士学位的有Hans Fitting（1906-1 938）。他后来在柯尼斯堡大学当讲师，但因骨癌在1938年32岁去世。至今在代数构造中留有 Fitting’s lemma、Fitting’s radical这些名词。1933年Emmy指导的学生还有 Ernst Witt（1911-1991）。他因1933年6月的考试与入营卡在一起，Emmy又已被停职，由G. Herglotz（1881-1953）当审稿者。[1]
中国学生曾炯之（1898-1940）的论文题目是“Algebras over function fields”（英译）。他由Emmy指导论文，但是他的论文口试在1933年12月6日Emmy赴美之后。曾炯之后来回中国大陆，1935至1937年间在浙江大学当教授，1937年后在天津北海大学教书，中日战争时他随校辗转迁移到四川，在 1940年病逝[6]。他在代数学上留有Tsen’s Theorem。
Emmy在哥廷根最后指导的学生是Ottosschiling（1911-1993）。他同时也研究Hasse的专长。Emmy赴美后一年（1934），他在Hasse所在的马尔堡大学得到博士学位，一年后他也移居美国。他最出色的著作是“The Theory of Valuations”（1950）。[1]
6 埃米·诺特与学者们
哥廷根大学在十九世纪有高斯、黎曼，二十世纪有克莱因与希尔伯特等数学大师，蔚然成为“数学界的麦加”；许多国家的数学家都想赴哥廷根大学“朝圣”一番。第一次大战后哥廷根的数学阵容有希尔伯特、诺特、兰道、C.Caratheodory（1873-1950）、柯朗（接克莱因的教授席）、Herglotz、 外尔等人。来哥廷根浸洷在诺特圈的法国数学家有A. Ch?telet（1883-1960）、C. Chevalley（1909-1984）、A. Weil（1906-1998）、Jacques Herbrand（1908-1931）。后者很优秀，但因登法属阿尔卑斯山失事而早亡。朋友们为纪念他出了一本刊物，其中有Emmy生前最后一篇文章“Splitting crossed products and their maximal orders”（英译）,Actualités Scientifiques Industrielles, Paris, 148（1934）。Emmy悲叹：“我不能忘怀Herbrand的早逝。”
日本学人从东大来哥廷根跟Emmy学习的有高木贞治（1875-1960）的高足正田建次郎（1902-1977）与末纲恕一（1898-1970）。在Emmy的影响之下，正田建次郎在1932年写出《抽象代数学》。[6]末纲恕一在1950年出版《解析的整数论》等，这些书广被使用，成为日本代数学家走向国际舞台的诱因之一二。又，正田从1935年至1961年担任大阪大学校长。他是Osaka Journel of Mathematics与日本数学学会的成立的一位关键性人物。
美国学者中有Solomon Lefschetz（1884-1972）、Oswald Veblen（1880-1973）、Saunders Mac Lane等来哥廷根。Lefschetz的想法与Emmy相近，Veblen对以后德国数学家移居美国帮了大忙。[1]Mac Lane听过Emmy的课。他与G. Birkholf（1911-1996）合著的“A survey of Modern Algebra”出过好几版，是一本著名的代数书。
苏俄数学家亚历山德罗夫（P.S. Alexandrov，1896- 1982）是莫斯科大学教授。他英、德语都很流畅，从1923年起他经常来德国，尤其几次到哥廷根大学当客座。他跟Emmy不但是好朋友，他还很尊敬她。Heinz Hopf（1894-1971）与亚历山德罗夫的交谊很深，他们常彼此沟通想法。他们在拓扑学的代数化上的确受过Emmy的影响。又亚历山德罗夫在当时赤化的苏俄可以自由出入苏俄国境，对东西欧文化，尤其是数学的交流与推展功不可没。
亚历山德罗夫是前苏联著名数学家，对创立和发展集合论和拓扑理论作出了重大贡献。
Emmy跟苏俄数学家，如数学家兼北极探险家Otto Juljewitsch Schmidt（1891- 1956）、W.W. Stepanov（1889-1950）、N.G. Tschebotar?v（1894-1947）等人也经常有联系。
1928年冬天至1929年夏，Emmy应亚历山德罗夫的邀请去莫斯科大学当客座。她享受亚历山德罗夫与他的朋友们的友谊。回国后她还受到哥廷根同仁的羡慕，因为由于她的影响，I.A. Arnold（1900-1984）、L.S. Pontrjagin（1908-1988，1935当莫斯科大学教授）分别用德文发表了他们心得的文章。[1]
Emmy向来不跟人争夺著作优先发表权。她甚至由她的构思而诱导出学生的结论成为学生独有的作品。像在1914年，Kurt Hentzelt（?-1914）在埃朗根完成论文，但是论文还没有发表，他就被调去当兵，那年十月传出他出任务失踪的消息。在1921年的DMV年会中，Emmy简述Hentzelt论文的内容，并替他登载在Mathematishe Annalen上，题名为“On the theory of polynomial ideals”（英译）。1923年冬到1924年夏，Emmy根据 Hentzelt的概念得到很好的结果，便在课堂上讲起。1924年秋天van der Waerden来哥廷根，他也从Hentzelt的论文中得到启示，导至Emmy同样的结果。后来他由Emmy的学生H. Grell口中才知道有这一回事。Emmy没跟他争优先权。van der Waerden便把结果发表在Mathematishe Annalenvol. 96（1927）上，是为“Theory of zeros of polynomial ideals”（英译）。在代数几何学上它是一篇有份量的论文。Emmy只是在给 Hasse的信中慨叹过：“我的方法像蔓藤般，到处爬行。”[1]
7哥廷根时期的黄昏
1929年洛克菲勒基金会捐款在哥廷根大学盖成新大楼，里面有一些小办公室是给讲师和助教的。Emmy分得了特别的一间，蛮有校方酬庸她多年来优异的教导的意思。
哥廷根大学数学系大楼。| 图片来源：Daniel Schwen
1930-32年间，哥廷根大学出版《Dedekind全集》。Dedekind留下五十来本备忘录。要整理这些着实不容易。编纂者是Robert Fricke（1861-1930）、?ystein Ore（1899-1968）与诺特。Fricke只做了少许，其他都由Ore与 Emmy所完成。[1]由此Emmy对Dedekind的著作更加了解，对他的人品也就更加崇敬，她说：“Dedekind都没有犯过错误。”[6]
1932年，Emmy与阿廷因他们在数学上的贡献同时被颁授Alfred-Ackermann-Teubner纪念奖。同年，哥廷根大学的代数学家们庆贺Emmy的五十大寿。这一年九月在苏黎世有国际数学家会议。它像一个大家族的会合，与会者有420人。9月7日，Emmy演讲“Hypercomplex systems in their relations to commutative algebra and number theory”（英译）。开完会后不久，哥廷根的好日子便过去了，麻烦事开始发生。
早在1929年10月29日，纽约证券市场大暴跌引发世界性大萧条。第一次世界大战后德国的繁荣仰赖美国的信用贷款与活跃的国际贸易。这两项财源涸渴后德国人民穷困不堪，对魏玛政府的温和派作风也就失去了信心。于是希特勒 （1889-1945）领导的国家社会党（简称纳粹党）及共党的势力趁机而盛。到1932年，德国境内失业人口高达六百万人以上，人民对政府的失望更甚。同年11月，纳粹党在德国国会选举中大举得胜，获可观席位。1933年1月30日，当时的魏玛政府总统兴登堡（1847-1934，第一次世界大战时德国名将）无奈，任命希特勒为总理，组成联合内阁。同年2月27日，希特勒假借国会大厦被共党纵火，搜捕共党，除去异己，攫取独裁权。4月1日，纳粹党公然采取迫害犹太人政策：抵制犹太人经营的生意；在公职人员方面，凡是犹太人及有犹太血统（追溯到祖父或祖母是犹太人）的人都在被迫退职之列。[2]4月2日，教育局发令禁止诺特在哥廷根大学教书。理由是她是“危险人物”， 说她曾经借房间给左翼学生开会过。遭遇到同样禁令者有柯朗、玻恩（Max Born，1882-1970，1954年诺具尔物理学奖得主）与詹姆斯·弗兰克（James Franck，1882-1964，1925年诺具尔物理学奖及第一次大战铁十字架勋章得主）。Otto Neugebauer（1899-1990）、兰道与Paul Bernays（1888-1945）先被停止一切教学与行政工作。他们都是犹太人。外尔继任柯朗为数学部门主任。
（未完待续，请看<下>）
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