三角形内角和为180°，这其实是平面几何的必然结果，也是《几何原本》中第五公设的推论；如果离开了平面几何，比如在一些曲面上，三角形的内角和是可以不等于180°的。
我们有很多方法，来证明平面内三角形内角和为180°，也就是一个平角的角度，但是无论我们用到什么方法，本质上都用到了欧几里得第五公设或者是第五公设的等价原理。
这其中隐含的原理，数学家们探索了两千多年，如果你不使用第五公设（或者等价原理），你是不可能证明三角形内角和为180°的。
公元前300年前后，著名古希腊数学家欧几里得创作了《几何原本》，书中以23条定义、五个公理和五个公设为基础，以严密的数学逻辑推导出467个定理，奠定了平面几何的基础。
公理是指人类根据现实经验得出，无需自证的基本事实，《几何原本》中的五个公理包括：
1.等于同量的量彼此相等。
2.等量加等量，和相等。
3.等量减等量，差相等。
4.彼此重合的图形是全等的。
5.整体大于部分。
公设也是指无需自证的基本事实，但是相比于公理来说，公设更有深度一些，近代数学中公设等价于公理，《几何原本》中的五个公设包括：
1.过两点能作且只能作一条直线。
2.线段可以无限延长。
3.以任一点为圆心，任意长为半径可作一圆。
4.直角都相等。
5.平面内一条直线和两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线无限延长后在这一侧一定相交。
五个公设中的前四个很容易理解，基本上也不会有争议，但是大名鼎鼎的第五公设可折腾了数学家两千多年，因为第五公设看起来怎么也不像不证自明，虽然欧几里得极尽减少第五公设的语言描述，但是第五公设比前面四个公设加起来还长。
由于第五公设本质上与“平行线不相交”等价，所以第五公设也叫做平行公设，历史上有很多人试图用前面四个公设来证明第五公设，但都失败了。虽然有一些人宣称完成了证明，但是在证明过程中，都不经意地引入了第五公设的等价命题，比如平行线不相交、三角形内角和为两个直角等等。
欧几里得在著作《几何原本》时，肯定也注意到了这个问题，相信他也做过类似的尝试，以至于第五公设在《几何原本》中直到命题29才首先被使用，而且这个命题必须得使用第五公设才能完成证明。
命题29：一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角之和等于180°。
在1795年，英国数学家普莱费尔提出了一条和第五公设等价的描述，既“过直线外一点，能且只能做一条平行线”，该描述比《几何原本》中的描述简单很多，被称作普莱费尔公理。
直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米，才首先证明第五公设独立于前面四条公设，而且第五公设的否定描述也是自洽的，也就是说欧氏几何与非欧几何是两个不同的几何系统。
其实早在贝尔特拉米之前，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基就已经发现了第五公设不可证，现在我们把非欧几何中的双曲几何，也称作罗巴切夫斯基几何。
在同一时期，德国数学家黎曼从第五公设的另外一个反面出发，创立了椭圆几何，也称作黎曼几何，于是黎曼几何与罗巴切夫斯基几何共同称作非欧几何，它们的区别在于：
1、欧氏几何，也称作平面几何，第五公设成立，平面内三角形内角和等于180°，过直线外一点可以做一条平行线。
2、黎曼几何，也称作椭圆几何，第五公设不成立，平面内三角形内角和大于180°，过直线外一点找不到任何一条与之平行的直线。
3、罗巴切夫斯基几何，也称作双曲几何，第五公设不成立，平面内三角形内角和小于180°，过直线外一点至少可以做两条平行线。
现在我们知道，数学家争论了上千年的第五公设，本来就是一个独立的公理，而这个独立公理的反面也是一个公理，从不同的公理出发可以得到不同的数学系统，这也是第五公设不可证的本质原因，从第五公设反面建立起来的非欧几何，也是广义相对论的数学基础。
这其中隐含的数学思想是非常深刻的，数学中还存在很多类似的原理，比如在1900年，德国数学家希尔伯特提出了23个数学问题，排第一的是连续统假设，直到几十年后，数学家才证明连续统假设也是独立的，而连续统假设的反面，则是另外一个自洽的数学系统。
