一年一度的购物节、光棍节又要到了，这个日子有几个特点：第一个特点是它的相关数字是“11”；第二个特点是它的数字是“11”的“重复”；第三个特点是这一天的商店都在“打折”，甚至打“对折”。
因此，我们从“11”、“重复”、以及数字的“打折”出发，来说一点趣味数学。数字“1”的多次重复构成的数（例如111111），都可以算是“光棍数”，因此下面我们也会谈到这些数字。
如上所述，这篇短文的一个关键词是“重复”，我们将考虑三种“重复”： “自乘”（平方）是第一种“重复”；“11”的若干倍数是另一种“重复”；而“某种特殊的重复运算”则是第三种“重复”。
所谓的“打折”我们考虑两种。一种是“对折”，“对折”后“重合”就是“对称”，所以我们关注数字的“对称”。另一种是把数字“打折（she）”成两截：后两位数是一截，其余是另一截。
（1）基本的趣味
“11”第一种“重复”，是自乘：11x11=121。
这个结果“121”“对折”起来恰好“重合”，是一个“对称”的数字。
这个数“打折（she）”然后相加：01+21=22，正好是“11”的两倍，是“11”的另一种“重复”。
“22”自己相乘，得：22x22=484。
结果又是一个“对折”后“重合”的，即“对称”的数字。
这个结果“打折（she）”然后相加：04+84=88，是“11”的八倍，是“11”的另一种“重复”。
“88”自乘，得：88x88=7744。
这个结果前两位相同，其数是“11”的七倍；后两位也相同，是“11”的四倍——当然又是“11”的一种“重复”。
把这个结果“打折（she）”然后相加：77+44=121，到头来又等于“11”自乘的结果。
（2）其他“光棍”
11x11=121
111x111=12321
1111x1111=1234321
……
11x11=121
11x11x11=1331
11x11x11x11=14641
很显然，对于光棍“11”及许多其他光棍数，“重复”与“对称”一直都是形影不离的。
（3）有趣的对称
“11”与“22”都是“对称”的，它们的自乘分别是“121”和“484”，也都是对称的。
有趣的是，我们发现：
12x12=144，21x21=441
13x13=169，31x31=961
两对数字相互“对称”，其自乘结果也相互“对称”。
“33”与“99”是“11”的两种特别的“重复”，它们的自乘的结果形成“对称”的一对数字：
33x33=1089，99x99=9801
（4）光棍数“11”的其他倍数
“11”的其他“重复”，即“44”、“55”、“66”、“77”等数字也有有趣的性质，它们的一种“重复”——“自乘”——的结果，经过“打折（she）”又会“重复”为“11”的倍数：
44x44=1936，19+36=55
55x55=3025，30+25=55
33x33=1089，10+89=99
66x66=4356，43+56=99
22x22=484，04+84=88
77x77=5929，59+29=88
11x11=121
88x88=7744，77+44=121
我们注意到，以上每一组的两个数字的和都是99，这一点在我们看来也是很有趣的。
（5）光棍数与“黑洞”
有一位俄罗斯人发明了一种“运算”：把一个数的各位数字的立方加在一起。用这个“运算”对任意数字不断进行重复运算，则其结果只有两类。第一类是最终结果会固定在某一个数上，例如153→13+53+33=153。这种在该运算下结果不变的数称为“数字黑洞”。“数字黑洞”共有0，1，153，370，371，407六个，大多数自然数在这种重复运算下最终会陷入某个“数字黑洞”。
但是，还有第二类结果，这类运算的结果最终陷入某个循环，这种循环可以看作是广义的“黑洞”，称为（在该“运算”重复运算下的）“数字循环圈”。“数字循环圈”有两个，而其中一个的“起始点”与光棍数“11”密切相关，它是“11”的5倍，即55：
55→53+53+=250→23+53+03=133→13+33+33=55
有趣的是，从“11”到由10个“1”组成的光棍数“1111111111”中，除了“1111”这个“光棍节”的数字外，其他八个光棍数在多次重复上述运算之后，都会陷入某个“数字黑洞”。而“1111”非常特别，它在多次重复上述运算之后，最终陷入上面介绍的以55为起始点的“数字循环圈”：
1111→13+13+13+13=4→43=64→63+43=280→23+83+03=520→53+23+03=133→13+33+33=55→53+53=250→23+53+03=133→13+33+33=55
（6）另一种“运算”与“黑洞”
我们引入一种针对三位数的运算：考虑一个三位数。把这个数的三个数字从大到小重排成为一个新的三位数，再从小到大排列成又一个三位数。然后，把这两个新的三位数相减。（例：571→751，157→751-157=594）
对任何个、十、百位置上的数字互不相等的三位数，重复进行以上运算，则最多进行五次，结果一定会得到495。因此，上述这种运算以“495”为其唯一的“黑洞”。而495这个数字恰巧是光棍数“11”的45倍。
在上一小节中，我们看到诸多光棍数在一种运算的重复中陷入“黑洞”。在这一小节中我们则发现：几乎所有的三位数在另一种运算的重复中将会陷入一个与光棍数“11”有关的“黑洞”。挺有趣，是不是？
（7）光棍数趣味拼盘
如果三个自然数恰好是某个直角三角形三条边的长度，则我们称它们为一组“勾股数”。众所周知，最小而且最著名的一组勾股数是3，4，5，而这组勾股数的乘积是60。凑巧的是，11与60是一组勾股数中的两个。容易算得，这组勾股数的第三个数字是61。因此说，光棍数与直角三角形是很有些牵扯的。
光棍数11不仅与直角三角形相关，它与“三角”也颇有关系。例如，我们可以证明：
在上面这个恒等式里，光棍数“11”与“正切”的关系可以说是难分难解，对不对？
在上文第二小节，我们列出等式：
11x11=121
11x11x11=1331
11x11x11x11=14641
观察这些等式右边的数字，我们会发现：它们恰好是平方、立方、以及四次方的“二项式系数”！也就是说，光棍数与代数也是能扯上关系的。
数字“111”是三根“光棍”，数字“1001”是两根“光棍”分开的对称数字。这两个数的乘积是六根“光棍”组成的“111111”。数字“111111”的9/7倍等于“142857”，是一个在乘积运算下具有很有趣的“重复”性质的数：
142857x1=142857
142857x2=285714
142857x3=428571
142857x4=571428
142857x5=714285
142857x6=857142
（8）结束
关于“光棍数”还有许多有趣的话题，但是，太多的数学显然是令人厌烦的。因此，我们要结束这篇短文了。最后，我觉得有趣的是：
我认为，从形象看，“11-11”象两双筷子，
因此，11月11日应该被定为“美食节”，而不是“光棍节”！
作者：惊鹤闻风
