维度最简单的理解就是自由度，在这个意义上而言，维度总是一个整数。假如不考虑相对论，说我们这个世界是三维的，指的就是这个世界中物体的活动有三个自由度。口语中我们可以称它为长、宽、高，直角坐标轴里我们可以称它x、y、z。这种三个自由度的选择并不是唯一的，比如高中立体几何里，我们既学过xyz这样的直角坐标系，也学过球坐标系，这两者都可以完整地表达三维空间中的任意一个点。
空间中一个点既可以用直角坐标系（x,y,z）表示，也可以用球坐标系表(r,q,j)表示。（图片来源：wiki, Spherical coordinate system）
假如我们所处的空间有N个自由度，这个空间就被称为N维空间。我们如果生活在一张地图里面，我们的方向就只剩下东南西北；而物理的坐标是允许负数的，所以东西是一个自由度，南北是另外一个自由度，地图是一个二维空间。
作为三维空间的生物，要想象四个空间自由度是困难的，如果你有编程经验，就可以想象四维数组。当然，这样的类比是非常不严格的。对于运动速度不远低于光速的物体，空间与时间是不可分离的，时间将作为一个新增的维度，所以我们其实也可以说生活在四维空间中，只是由于接触到的都是低速物体，所以感觉就像三维世界。
时间这个维度跟其他三个不同：宇宙我们暂且认为各个方向是等价的，但是时间是被认为有起点的，所以时间是单向的，时空旅行到过去目前只是幻想。至于时空旅行到未来嘛，你能活多久就可以“旅行”到多久。
在物理中，一个常见的空间定义方式可以是无限多维的，这个空间就是希尔伯特空间。希尔伯特空间是一个数学在物理中应用的例子，它的数学定义具体不在这里介绍。在量子力学中，对于一个系统的波函数可以有多个甚至无穷个可能的解，这些解可以构成一个坐标系中的“轴”，这时候多个解代表多个维度，而“空间”不再是由我们熟悉的位置平移所构建而成的了。
假如不考虑时间这个第四维，依然以我们熟悉的位置平移定义坐标轴，实验手段上人类能研究的对象就只能有三维、二维、一维和零维。几何上，三维是体，二维是面，一维是线，零维是点。
一个著名的二维体系就是二维电子气：通过现代的半导体工艺，电子可以被局域在空间中某一个高度，从而创造出近乎理想的二维体系。在这里观测到的量子霍尔效应和分数量子霍尔效应两次获得诺贝尔奖。
现在的小直径纳米线，当线直径小于一些物理特征长度时，往往也被当作一维体系对待。量子霍尔效应中的边界电流可以被当作一维电子处理。
假如在一维纳米线上放两个电极，可以局域单个电子，这样的系统就是零维系统，称为量子点。量子点虽然是零维，但是如果考虑上电子自旋的话，一个量子点可以有自旋向上和自旋向下两种状态，这样只需要一个电子就可以实现数字电路中的0和1。而普通的数字电路中，0和1的实现是通过电压不同区分，切换0和1时涉及多个电子。在器件日益小型化的趋势下，单电子实现0和1是传统电脑能走到的极致。
如果说零维系统中量子点这个例子对于三维系统优势不明显的话，那么二维系统对比三维系统有其额外的物理内涵。量子力学中，在一定空间中自由粒子能选择的能量是分立的，我们根据能量来定义粒子可能出现的状态数，单位能量间隔内可能的状态数称为态密度。在所有的维度空间内，可以非常简单地证明，从高维到零维，每个维度的态密度表达式都不一样，但是只有二维体系中，这个态密度是常数，这为构造一些有趣的物理问题提供了条件。
二维体系还会出现非常有意思的新统计。许多人可能听说过费米子和波色子，在三维体系（甚至高维体系）中，如果交换两个全同粒子两次，由这两个粒子组成的物理状态并没有改变，所以波函数可以因为交换而变换一个正负号，分别代表了费米统计和波色统计。
二维情况下不再有这么简单的答案，统计的概念将需要被考虑。我们将两个粒子的交换两次想象成一个粒子绕另外一个粒子一圈，如果一个粒子是无限高电线杆，一个粒子是人，那么假如视力无限好，人将能看见电线杆上360度贴着的小广告，这样对应的是二维情况。如果不是无限高的电线杆而是一个消防栓，你除了走一圈之外还可以抬腿从消防栓上绕一圈，这样对应的是三维和高维情况，这也是出现费米子和波色子这样简单解的条件。所以说，在这件事情上，二维体系有比三维体系丰富许多的物理内涵。
在一维体系上，两个粒子的交换原则上不能实现的，因为这就意味着一个粒子必须从另外一个粒子中穿过去。
作者：锁相；物理学教授；凝聚态物理学博士。
