在数学圣地哥廷根，与19世纪的其他人相比，希尔伯特或许更敏锐地嗅到了黎曼带来的一场数学巨变。黎曼意识到，探索及理解数学世界的法则和规律，比专注于公式和繁琐的计算收获更丰。黎曼在数学界发起了一场“文艺复兴运动”。到了希尔伯特那一代，这种思想成为了主旋律。1897年，希尔伯特写道：他希望奉行黎曼一贯遵循的原则，即证明的动力在于主动思考而非被动计算。在接力黎曼引领的数学革命中，希尔伯特以极具革命性的精神和洞见提出的问题对20世纪数学产生了深远影响。他就像一个数学魔笛手，笛声一起，众人往之。
本文选自《悠扬的素数》（人民邮电出版社，2019年9月）。该书以生动细腻的笔触，将素数的故事娓娓道来，读者无须具备数学专业背景也可领略数学之美，且能近距离体会数学家的心路历程，以及他们之间竞争与合作的复杂关系，从而对数学家这一群体有更深刻的了解。
撰文 | Marcus du Sautoy（牛津大学数学教授）
翻译 | 柏华元
普鲁士的首府柯尼斯堡镇，因“柯尼斯堡七桥问题”（欧拉在1735年解决了这个难题）而在18世纪闻名于数学界。到了19世纪后期，这个小镇在“数学地图”上重振声威，因为这里诞生了一位20世纪的数学大咖，他就是大卫·希尔伯特。
希尔伯特（1862-1943）
希尔伯特热爱自己的家乡，并看到在哥廷根城墙内，数学之火燃烧得最为剧烈。因为拥有高斯、狄利克雷、戴德金和黎曼这样的数学大师，所以哥廷根俨然成为数学界的朝圣之地。也许与当时的其他人相比，希尔伯特更敏锐地嗅到了黎曼带来的一场数学巨变。黎曼意识到，探索及理解数学世界的法则和规律，比专注于公式和繁琐的计算收获更丰。数学家们开始以一种新方式来聆听数学“管弦乐”。他们不再拘泥于单个音符，而是开始注意寻找隐藏在研究对象背后的音乐之声。黎曼在数学界发起一场“文艺复兴运动”。到了希尔伯特那一代，这种思想就成为了主旋律。1897年，希尔伯特写道，他希望奉行黎曼一贯遵循的原则，即证明的动力在于主动思考而非被动计算。
希尔伯特因此在德国学术圈占据了一席之地。孩提时他就了解到，古希腊人已经证明，要想尽可能生成所有数字，就需要无穷多个素数。上学时他就猜测，如果将数字换成方程的话，结果似乎就大不相同了。究竟如何证明，和素数相比，只有有限的方程才可用来生成某些有无穷多解的方程组？这成为19世纪末的数学家面临的一大挑战。和希尔伯特同时期的其他数学家，尝试通过构建方程这种费时费力的方法来攻克这个难题。希尔伯特却证明，这些有限的方程必然存在，即使他无法构建出这样一组方程。这一观点震惊了当时的数学界。当看到高斯轻而易举地算出1 ～ 100的所有数字之和时，高斯的老师脸上露出怀疑的神情，第一反应是“他作弊了”。同理，希尔伯特的导师也心生怀疑：这个方程理论是不是来得太容易了？
这对当时的正统派数学理论来说可是个不小的挑战。如果无法看到有限的列表，就很难接受它的存在，即使有确凿证据支持它的存在也是如此。对于那些仍固守法国数学传统——数学基于方程和显式公式——的数学家来说，是很难从心理上接受这样一种观点的：有些东西看不见，但确定无误就在那儿。保罗·戈尔丹是该研究领域的专家，他这样评价希尔伯特的发现：“这不是数学，这是神学。”希尔伯特依然坚守着自己的阵营，即使那时候他只有二十几岁。最后数学家们终于承认，希尔伯特是对的，就连戈尔丹也妥协让步了。戈尔丹如此说道：“我相信，就算神学也有可取之处。”在此之后，希尔伯特开始研究起数字来，他将那些数字形容为“一座难得集美与和谐于一身的建筑物”。
1893年，德国数学学会邀请希尔伯特写一份关于数论在19世纪末发展情况的报告。这对一个刚刚三十出头的年轻人来说是一项艰巨的任务。一百多年前，这门学科甚至都没形成一套完整的体系。高斯于1801年出版的《算术研究》一书开辟了数论这片沃土，因此到了19世纪末，“数论之花”才绽放得如此热烈，甚至已有生长过剩之势。为了使这个学科的发展步入正轨，希尔伯特的旧识赫尔曼·闵可夫斯基加入到他的阵营。他们在柯尼斯堡读书时就认识了。闵可夫斯基在数论上成绩斐然，18岁时就斩获了数学科学大奖。他十分乐意从事数论研究工作，因为他相信，这会使他聆听到这种“强大音乐的主旋律”。闵可夫斯基的加入，点燃了希尔伯特对素数的研究热情。闵可夫斯基宣称，在他们的聚光灯下，素数会一下子就摇曳生姿起来。
闵可夫斯基（1864-1909）
希尔伯特的“神学”为他在欧洲数学界赢得了一席之地。1895年，菲利克斯·克莱因教授向他抛来了橄榄枝，来信希望他在哥廷根大学任教。希尔伯特二话不说，欣然接受了邀请。在讨论聘用希尔伯特一事的大会上，其他教职工都对克莱因的力挺表示质疑，都纷纷猜测他是不是招来了一个毫无立场的跟班儿。克莱因向他们保证，希尔伯特绝不是那类人。他说道：“我已经问过最难相处的人的意见了。” 就在那年秋天，希尔伯特只身前往那座小镇，他的灵魂导师黎曼就曾在那里任教。他希望自己能进一步推动那场数学革命。
不久，教职工们就意识到，希尔伯特并不满足于挑战数学正统。这个新同事的行为做派令那些数学家的妻子们大开眼界，震惊不已。其中一个人这样写道：“他简直就是来搅局的。我听说，有一天晚上，有人看见他在餐厅的后厨和学生们打台球。”日子一天天过去，希尔伯特在哥廷根赢得了一些女士的芳心，其大众情人的名声也因此流传在外。在他举办的50岁生日宴会上，学生用字母表的每个字母代表一位被他征服的女士，以此为歌词，为他演唱了一首歌曲。
这位潇洒不羁的教授还买了一辆自行车，这让他更红了。经常有人看到他骑车穿过哥廷根的街道，为他的情人带上一束自己从花园里采摘的鲜花。他讲课时，衣着随便，只穿衬衫，不穿外套，这在当时是闻所未闻的。在寒冷的食堂里，他会向前来就餐的女士借用毛围巾来保暖。希尔伯特是故意引来争议，还是仅仅为了获得解决所有问题最直接的答案，就不得而知了。不过，有一点可以肯定，那就是他花在数学问题上的心思比在社交上多得多。
希尔伯特在院子里架了一块20英尺长的黑板。除了照顾花圃和自行车炫技之外，其余的时间他就在黑板上演算数学问题。他特别喜欢聚会，经常将留声机的最大唱针放到唱片上，大声播放音乐。在终于听到恩里科·卡鲁索[译者注]的现场演唱后，他相当失望，说：“卡鲁索演唱用的唱针太小了。”不过，与希尔伯特在数学上取得的成就相比，这些小怪癖无足轻重。1898年，他将研究方向从数论转到了几何学上。他对一些数学家在19世纪提出的新几何学大感兴趣，这些数学家宣称其违背了古希腊人提出的一条基本几何公理。他坚信抽象数学有种看不见的强大力量。因此，一个物体有何物质实体，是无关紧要的；而物体间有何关系，才是至关重要的。他开始研究起隐藏在那些新几何问题背后的抽象结构和关系来。希尔伯特曾经宣布，如果用桌、椅、啤酒杯来分别代替点、线、面的话，这些几何理论依然行得通。这使他一时声名大振。
早在一个世纪前，高斯就想到了这些新几何学带来的挑战，但是他并没有将这些非正统的想法公之于众。想必古希腊人是不可能出错的吧。但是，他已经开始质疑欧几里得提出的一条基本几何公理，即关于平行线的存在问题。欧几里得曾经考虑过这样一个问题：给出一条直线和线外一点，通过该点可以画出多少条直线与原有直线平行？对欧几里得来说，答案似乎是显而易见的，就是有且只有一条直线。
16岁的高斯开始推测，可能有这样一种几何学，其中不存在平行线这样的几何图形。除了欧几里得的几何学，以及这样一种不存在平行线的新几何学外，还可能有第三类几何学，其中可能存在不止一条平行线。如果真是那样的话，那么对于这种几何学来说，三角形内角和就不再是180°，这是希腊人不敢想象的。如果真的存在这样的新几何学，那么高斯想知道的是，到底哪种才能最完美地描绘现实世界。古希腊人坚信，他们创建的模型以一种数学方法描述了现实世界。但是高斯根本不能确定古希腊人的这种观点是对还是错。
在之后的岁月里，当对汉诺威王国进行地形勘测时，高斯利用对哥廷根采用的测量方法来验证由三处山顶投射下来的光束构成的三角形，其内角和是否不等于180°。高斯认为光线在传播路径中会发生偏折。或许，在三维空间发生的弯曲和地球表面的二维图一样。他想到了所谓的大圆，例如经度线，是地球表面两点之间最短的路径。对这样的二维几何而言，不存在平行经度线，因为所有的经度线都会相交于极点。之前没人想到过在三维空间中会发生弯曲的情况。
现在我们意识到，高斯观察到的任一重大的空间弯曲，在欧几里得开辟的几何世界面前只不过是“蚍蜉撼大树”，仅触及其一点皮毛罢了。阿瑟·爱丁顿在1919年日食期间，通过实验观察到星光会发生弯曲，这极大地支持了高斯的直觉。高斯从来没有将其观点公之于众，或许因为他提出的新几何学似乎不符合数学的一贯使命，即表现物质实体。即使向他的朋友透露过此事，高斯也要他们承诺会对其守口如瓶。
到了19世纪30年代，高斯提出的新几何学终于出现在公众视野里，这得益于俄罗斯数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基和匈牙利数学家亚诺什·鲍耶。高斯发现的这种非欧几何，并没有像高斯担心的那样在数学界掀起轩然大波，只是因为其太过抽象而被弃之如敝履。
这种学说就这样沉寂了多年。然而，到了希尔伯特时期，这种学说开始登上数学舞台，以一种更加抽象的方法完美地描绘数学世界。
一些数学家声称，任何不满足欧几里得平行线假设的几何学，必定存在某些内在矛盾，而这种内在矛盾会导致该几何学的体系瓦解。希尔伯特在探究这种可能性的过程中，发现非欧几何和欧氏几何之间存在强逻辑关系。他发现，当非欧几何存在矛盾之处时，欧氏几何也存在这种矛盾。这也算取得了一定进步吧！当时的数学家们认为，欧氏几何是逻辑自洽的。希尔伯特的发现表明，非欧几何也一样。两种几何学，一损俱损。但是之后，希尔伯特发现了一个令人不安的事实：没有人可以真正证明欧氏几何没有内在矛盾。
希尔伯特开始研究，如何来证明欧氏几何是逻辑自洽的。尽管两千多年来没人发现欧氏几何有什么内在矛盾，但也不能说不存在矛盾之处。希尔伯特要做的第一件事就是从公式和方程上重新解释几何学。笛卡儿创立了解析几何，为18世纪的法国数学家广泛接受。利用公式来描述点线关系，可以将几何简化成算术，因为几个数字就可以表示坐标系里的一个点。数学家们相信数论不存在矛盾之处。因此，希尔伯特希望借助将几何替换成数字的方法，解决欧氏几何是否存在矛盾这一问题。
然而，还没等他找到以上问题的答案，希尔伯特就发现了一个令人更加不安的事实：没有人能真正证明数论本身不存在矛盾之处。对希尔伯特来说，这真是当头一棒。数个世纪以来，无论从理论上还是从实践上，数学家们在运用数论的过程中，都没有发现什么内在矛盾，因此逐渐将其视为金科玉律。“勇敢向前，信念与你同在。”这是18世纪的法国数学家让·勒朗·达朗伯对那些质疑“数学的基础”的人们给出的有力回答。数字之于数学家，好比有机体之于生物学家，都是真实存在的。数学家乐此不疲地借助这些假设（而他们都认为这是不证自明的数字真理）进行推理。从没有人想过，这些假设可能存在矛盾之处。
希尔伯特的研究时进时退，现在他不得不对“数学的基础是什么”提出质疑。这么重要的问题，一旦提出就不可能置之不理了。希尔伯特本人相信其中还没发现任何矛盾之处，而数学家们也能证明该学科根基深厚、坚不可摧，从而驱散怀疑的阴云。希尔伯特发出的质疑之声，标志着一个数学新时代的来临。19世纪见证了数学的发展历程，它不再充当其他科学的工具，而是成为一门探索理论、追求真理（这类似于出生于普鲁士王国柯尼斯堡的伊曼努尔·康德秉承的哲学思想）的独立学科。希尔伯特对“数学的基础”这一问题的思考，给了他一个机会来从事抽象数学这项新实践。他提出的新方法将使他在20世纪声名鹊起。
在1899年即将接近尾声时，一个绝好的机会摆在希尔伯特面前，他终于可以向世人描述这样一幅画面：他提出的新思想将会给几何学、数论和数理逻辑带来怎样翻天覆地的变化。他收到一份来自国际数学家大会的邀请，希望他明年能去巴黎参会，并在会上发表重要演讲。对于一个不满40岁的数学家来说，这是无上的荣誉。
如此重大的场合，演讲稿要涉及什么内容呢？希尔伯特一下子犯了难。一篇好的演讲稿既要做到令人耳目一新，又要合乎时宜。这是毋庸置疑的。一个想法突然浮现在希尔伯特的脑海里：能否在演讲中畅想、展望数学的未来呢？他开始就这一想法征求朋友们的意见。要知道，这在当时是相当不同寻常的做法，且违背了那条不成文的规定：只有完整的、系统化的思想，才能公开发表。摒弃由那些公认定理构筑的安全屏障，而去畅想不确定的未来，这是需要极大勇气的。但是，希尔伯特从来不惧争议。最后，他决定带着那些尚未得到证明的问题，去挑战数学界的传统观念。
然而他心里也未免打起了鼓：在这样的场合，发表这样一种前卫的演讲，是明智之举吗？或许他也应该随波逐流，讲讲他取得的研究成果，而不是那些他还没有完全解决的问题。由于拖延，他错过了提交演讲报告题目的最后期限。因此，他的名字并没有出现在第二届国际数学家大会的演讲者名单上。到了1900年夏天，朋友们都担心他就要与这个展现自己想法的绝佳机会失之交臂了。但是有一天，他们都在办公桌上发现了希尔伯特的演讲稿。“数学问题”这几个大字，赫然出现在他们面前。
希尔伯特相信，问题是数学的命脉，而问题的选择更要慎之又慎。他写道：“一个数学问题要够难，才能引起我们的关注；但是又不能太难，难到完全高不可攀，反过来嘲笑那些徒劳无功的人们。它要能指引着我们穿过一条条迷宫般的路径，寻找隐藏其中的真理，并能让我们在最终得到答案后品味成功的喜悦。”他所提出的23道难题，都是按照这一严苛标准精挑细选出来的。8月的巴黎大学酷暑难耐。希尔伯特在演讲中向数学探索者们提出了新世纪即将到来的挑战。
19世纪末期，一位杰出的生理学家埃米尔·杜布瓦- 雷蒙发起了一项哲学运动：我们对自然的认识具有局限性。这在许多研究领域都产生了巨大影响。哲学圈里的一个流行语就是，“我们现在不知道，将来也不会知道”。但是希尔伯特在新世纪的愿望就是将这类悲观论调一扫而空。他在介绍完23道数学难题后，发出一声令人热血沸腾的呐喊：“要相信，每个数学问题都是可以解决的。这种信念，对数学工作者来说，是一种莫大的动力。我们听到，有一种声音在不停呼唤：问题就在那儿，等着人们去追寻答案。你一定能找到答案，这是因为，对于数学来说，没有什么是不可知的。”
希尔伯特为新世纪数学家设置的难题，体现了黎曼的数学革命精神。希尔伯特列出的前两个问题，就涉及那些一直困扰着他的基本问题，而其他问题则覆盖数学图景的方方面面。有些是开放式的，而不是理应有明确答案的问题。其中一个问题还涉及黎曼的梦想，那就是物理学的基本问题最终只能用数学来解决。
第五问题源于黎曼秉承的信念：数学的不同分支，不论是代数、分析还是几何，都是紧密相连的，不能将它们分离开来，只去理解某一分支。黎曼展示了方程的几何性质可以用这些方程定义的几何图形推断出来。数学上有这么个说法：代数和分析必须对几何敬而远之，因为几何会使人误入歧途。要想打破这个教条的禁锢，是需要一些勇气的。这也是诸如欧拉和柯西之类的数学家为什么会如此反对利用图形来描述虚数的原因。对他们而言，虚数就是诸如x^2= - 1 之类方程的解，无须再增加令人迷惑的图形了。但是对黎曼来说，这些学科之间显然是有联系的。
在宣布23道难题之前，希尔伯特提到了费马大定理。尽管那时的公众普遍认为，这个问题是数学史上一个伟大的未解之谜，可奇怪的是，在希尔伯特列出的问题中，这个问题却未占一席之地。在希尔伯特看来，这样一个极为特别而又明显无足轻重的问题，对科学可能会有种激励效应。费马大定理就是这样一个鲜明例子。高斯也持相同的观点。他宣称，人们可以选择一系列其他方程，并询问这些方程是否有解。费马选择的方程则并没有什么特别之处。
希尔伯特从高斯对费马大定理的批评中获得灵感，提出了第十问题：是否存在一种算法（类似于计算机软件那样的数学程序），可以在有限的时间内判断出一个方程是否有解？希尔伯特希望这个问题能将数学家的注意力从具体问题转向抽象问题。高斯和黎曼是他的榜样。他们为素数研究开辟了一个新视角。从此，数学家们不再拘泥于研究一个特定数字是否为素数，而是专心去聆听流过所有素数的音乐。希尔伯特希望他提出的这道方程问题也能产生这样的影响。
在希尔伯特结束演讲后，尽管一位与会记者用“凌乱”来形容当时的场面，不过这更多指的是8月当地糟糕的天气，而不是指希尔伯特的演讲在数学界反响平平。正如希尔伯特的好友闵可夫斯基评价的那样：“毫无例外，世界上所有的数学家都会阅读你的演讲稿。到时候，你对年轻数学家的吸引力就更大了。”希尔伯特敢于打破常规，发表这样一篇演讲稿，这使其成为20世纪新数学思想的奠基人。闵可夫斯基相信，这23个问题的提出，将会对国际数学界产生巨大影响。他对希尔伯特说：“你真的触及了20世纪所有的数学问题。” 他的话果然成真了。
在希尔伯特列出的众多开放式问题中，有一个与众不同，它就是第八问题：证明黎曼假设。一次采访中希尔伯特谈到，他相信黎曼假设绝对会成为数学史上最重要的问题。在此期间，曾有人向他请教：未来最伟大的科技成就是什么？他幽默地答道：“是到月球上去抓苍蝇啊。因为要实现这一目标，必须解决一系列连带的技术难题。这意味着要克服人类面临的几乎所有物质困难。”这种分析极富见地，展望了20世纪的发展路线。
他相信，证明黎曼假设之于数学，就好比到月球上抓苍蝇之于科技，都会造成翻天覆地的影响。当希尔伯特提出把黎曼假设作为第八问题后，他进一步向国际数学家大会解释，完全理解黎曼的素数公式，或许能带领我们进入一个新境界。在那儿，我们能揭开素数的许多其他秘密。他还提到哥德巴赫猜想和无穷多对孪生素数的存在问题。对黎曼假设的证明热潮具有双重意义：一方面，它预示着数学史上一个时代的谢幕；另一方面，它将为我们打开更多扇门。
希尔伯特相信，距离证明黎曼假设的那一天不会太久。在1919年的一次演讲中，他乐观地说道，自己能活着看到有人证明出黎曼假设，或许台下最年轻的观众还可以有幸见证费马大定理的证明。但是，他又大胆地预测，或许在场的所有人都不能活到亲眼见证第七问题——2的√2次幂是否为某个方程的解——的证明。也许希尔伯特在数学上天赋异禀，但是若论预测能力则稍显逊色。不到10年，他的第七问题就被攻克了。1919年听过希尔伯特演讲的年轻毕业生，也有可能活到1994年，见证怀尔斯对费马大定理的证明。在过去的几十年里，尽管在证明黎曼假设上已取得可喜进展，但是就算希尔伯特从坟墓中醒来，如同500年之后的巴巴罗萨（即腓特烈一世）会醒来一样，黎曼假设可能依然无解。
有一次，希尔伯特仿佛看到那一天离他不远了。一天，他收到一个学生寄来的一份论文，该学生声称自己证明了黎曼假设。没多久，希尔伯特就发现了证明中存在的一个漏洞。但是，他被其采用的证明方法深深吸引住了。不过可惜的是，这个学生一年之后就去世了。希尔伯特被邀请在学生墓前致词。他对这个年轻人提出的想法赞赏有加，并希望有一天可以促使这个伟大的假设得到证明。之后他说道：“如果你愿意的话，可以考虑在虚数上定义一个函数……”就这样，希尔伯特投入到错误的证明思路当中，使这个数学问题偏离了原有的正确轨道。不过，这完美地诠释了人们对数学家的刻板印象：数学家往往会与现实社会相脱节。不管这个故事是真是假，都是可信的。数学家有时候会有井蛙之见。
希尔伯特发表演讲后，黎曼假设很快就进入了公众视野。如今它被誉为数学史上最伟大的未解之谜之一。尽管希尔伯特一心想证明这个假设，最终却未能成功，但他提出的新研究课题对20世纪的数学产生了深远影响。就连他提出的物理学问题以及关于数学公理的基本问题，也在20世纪末华丽登场，在推动我们对素数问题的理解上扮演起重要角色。不过与此同时，希尔伯特也肩负着这一重任：为哥廷根数学界推选出“学术担当”，这个人能接过从高斯传到狄利克雷再到黎曼之手的接力棒。
译者注：
意大利著名男高音歌唱家，其代表作有《浮士德》。卡鲁索中等身高，肩膀宽阔，身材魁梧。在一米的距离内，他可以把音量加大到大部分歌唱家力所不能及的140分贝。他的强音使其他同台的艺术家不得不和他保持一定距离。在他之后的男高音中，只有莫纳何的音量多少可与其媲美。由此可见，希尔伯特平时播放音乐的音量之大。
作者简介
马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）
牛津大学数学教授、西蒙义讲座教授，英国工程暨物理研究委员会研究员，英国皇家学会研究员。他是BBC科普节目嘉宾、TED演讲嘉宾，《泰晤士报》和《卫报》专栏作家，曾获伦敦数学学会的贝维克奖、大英帝国官佐勋章。他的科普著作《神奇的数学：牛津教授给青少年的讲座》深受读者喜爱。
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