成功证明一个数学或者物理问题搁在任何人身上都是了不起的成就。然而，证明首先要有值得证明的东西。找出庞加莱猜想、费马大定理之类问题的证明者，论智慧已是人中龙凤，但是比较而言，提出值得证明的问题才更见能耐，比如黎曼之于黎曼猜想，庞加莱之于庞加莱猜想。得到猜想不是靠瞎猜，而是靠在艰苦探索过程中等到的灵光一现。思想来自实践，伟大的思想来自伟大的实践。
——曹则贤
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）
咬牙写完这30篇短文(《惊艳一击-数理史上的绝妙证明》)，长吁一口气的时候，笔者也为在此过程中了解到的那些人物、学问、文献与轶事而感到心满意足。40年前笔者第一次在平面几何的课堂上知道有证明这档子事，后来知道那个证明结尾的标志性缩写QED来自拉丁语Quod erat demonstrandum (thus it has been demonstrated )，今天我想静下心来想想关于证明我知道些什么。Quod erat demonstrandum 的缩写QED出现在证明的末尾 , 我觉得该后接感叹号才对，它传达的有如释重负的感觉，也该有一份证明者气吞山河的自信。在我的心目中，QED 和 约翰逊（Samuel Johnson）的“I refute it thus （我就这样反驳）”，尼采的“Also sprach Zarathustra”，都是一样气势磅礴的宣言。尼采的这本书，不管是英译的Thus spake Zarathustra，还是汉译的《查拉图斯特拉如是说》，都是对尼采精神与著作的阉割。尼采这本书的原题是Also sprach Zarathustra: ein Buch für Alle und Keinen，重点在于副标题 “一本写给所有人又不写给任何人的书！” 把这个副标题所传达的高傲，还有一丝绝顶之上的凉意，阉割了以后，这书的译文不过就是一块软踏踏的抹桌布。QED所达成的过程也应该有酒神降临的痕迹。当怀尔斯历经7年辛劳证明了费马大定理时，他一定会感到如释重负，而当佩雷尔曼证明了庞加莱猜想的时候，我希望他曾重重写下 QED! 咦，正是：“大道隐冥冥，却待天才出。一击磅礴神鬼泣，闻者安得不动容？”
证明大概是这个世界上最有需求有时候又特别难办的事情。一个煮好了粥的小和尚，发现粥锅上面有一团掉落的灰，他怕师傅骂又舍不得糟蹋粥, 于是把落灰的那些粥舀出来自己喝了。刚喝下去，师傅过来看到了，说小和尚煮粥时假公济私偷喝。小和尚如何能证明自己不是故意偷粥喝的呢？他无法自证清白，他师傅的怀疑也算合理，以今天的狭义相对论来理解，我们知道他喝粥的原因在他师傅的过去光锥之外。波利亚教授散步时尴尬地路遇年轻情侣好几次，他能证明自己不是偷窥是因为他有能力发展出随机行走的数学模型，而且还得靠他的年轻朋友能看得懂。人世间事的证明大体都是不能指望的，所以懂科学的人一般会放弃证明自己无辜的努力，所谓“清者自清、浊者自浊”不过是托辞或者无奈的自我安慰罢了。
数学证明的方式是多姿多彩的、多层面的。一般的数学证明，从一些自明的公理出发，证明就是个根据一套规则推理的过程，所以懂逻辑很有必要（逻辑是一套特殊的语言体系。Logic的字面意思就是言说、论证）。这证明就是为了把认知建立在一块普适的基石上，基石动摇了，结论就完了。或者，基石动摇了，就得换一块基石，又能导出一片新天地。平行公设被放弃后，非欧几何就诞生了。从公理出发直接逻辑地推导，或者用归纳法和反证法，这些常规的证明方法是数学人的基本功。然而问题哪有那么简单呃。对有些问题，不是如何证明的问题，而是什么是关于这个问题的证明都是要思考的事情。有些问题初看很难，但一旦掌握了理解它的语言，证明会非常简单，但理解那语言却又不是很容易，比如康托集合论里的那些证明。
数学的证明可以是一段逻辑的论证，只为了消除别人的疑虑，或者让猜想得到证实。证明过程也可能对问题的理解提供新的洞见，甚至刺激新的数学思想，开拓出新的知识疆域。比如，高斯关于代数基本定理的证明，即代数方程必有复数解，就用到了复平面的拓扑性质。复数、复平面、拓扑学，都是代数方程范围之外的学问。你看，为此我们甚至要发展新的数学语言。科学的最终目标是人类思维的荣耀，有些证明的最伟大的价值就在于证明我们能够证明。证明除了有目标的不同，还有品味的差别。有些证明是令人信服的，但缺乏美感；有的证明却像是一首诗，给人带来心灵的愉悦。
物理的证明也是多姿多彩的。对于是否存在反粒子、地球是否是宇宙中心这类的问题，证明过程是一目了然的事情，结果比较容易让人信服。这类证明，如同姑娘回复求爱信，要回答的是yes or no 的问题。是就是是，没有就是没有。只要看到安德森的宇宙射线新生发的、相向偏转的一对粒子的径迹照片，或者透过伽利略的望远镜看到四颗绕着木星转悠的卫星，存在反粒子和地球不是宇宙中心的结论就由不得谁不信服。至于引力弯曲光线问题的证明，关键在于理解凭什么引力会弯曲光线，至于偏折多大的角度那倒在其次了。为了表明自己的观测结果证明了爱因斯坦的引力弯折光线计算，凭着那几张1919年拍摄的粗糙黑白照片就得出符合得很好的结果，人工的痕迹有点儿太明显。至于再后来，有人为了证明存在超光速，对着手指头数得过来的几个数据计算出 系统误差 偶然误差形式的结果，还附送个赌咒发誓用的置信度，那就透着一股打一开始就遮掩不住的心虚。至于再再后来有人凭借一个时序数列 反演出某种波之源头处的动力学过程，我觉得那是属于信仰领域的问题。
把反射定律、折射定律这种观测事实归于从费马原理出发可证明的结论，如同平面几何里从公理出发的证明，这公理化的图景让我们把问题上升到一个更高的层面，让光学与力学有了融合的契机。这样的证明，如同几何证明，透着一股清纯。然而在更多的物理证明过程中，人的角色带入是回避不了的现实，问题就复杂得很哲学。光子行为的探测就包含着自我设定的意象，一些光学实验是否构成光(子)性质的证明，确实难以令人信服。人谓光(子)的双缝干涉花样证明了光的波动性，却不知获得干涉条纹的过程是把光(子)当成粒子对待的。所谓的波粒二象性，是欧洲二分法哲学的简单头脑映射。光是粒子还是波，取决于有人想把它当成什么。X-射线谱有两种探测模式，波长色散(wavelength dispersive )模式和能量色散 (energy dispersive)模式，就是证据。想看到光的波动性就用能得到看似可用波动性诠释的设备去获得一个看似可用波动性诠释的结果，想看到光的粒子性就用能得到看似可用粒子性诠释的设备去获得一个看似可用粒子性诠释的结果，或者干脆只看到支持自己结论的结果。这是物理版的循环论证—这不是物理学的错，因为人本来就在人研究的物理体系中。愚以为，对各种数学、物理的证明保持审慎的或深深的怀疑，都不为过。
成功证明一个数学或者物理问题搁在任何人身上都是了不起的成就。然而，证明首先要有值得证明的东西。找出庞加莱猜想、费马大定理之类问题的证明者，论智慧已是人中龙凤，但是比较而言，提出值得证明的问题才更见能耐，比如黎曼之于黎曼猜想，庞加莱之于庞加莱猜想。得到猜想不是靠瞎猜，而是靠在艰苦探索过程中等到的灵光一现。思想来自实践，伟大的思想来自伟大的实践。
本书提供了关于30个证明问题的简短介绍，素材多来自第一手资料，就是希望将少年英才们引入神奇的数学、物理世界，激起他们学习数学和物理的兴趣。作为引玉之砖，我也期盼本书能为教育者所青睐。天若佑中华，当不使吾国天才失教。
感谢你肯阅读这本书。亲爱的读者，若你读到了这里，想必是读完这本书了。你读懂了很多内容，是吧？请证明！
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