每一种新的进步，都必然表现为对某种神圣事物的亵渎。
——马克思
2011年3月14日，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是圆周率。
从数1、2、3……开始，人类学会了“抽象”，希腊人最先想搞明白“数”到底是什么，但却不断地遭遇到“逻辑困局”。经历了2000年，我们对“数”认识清楚了吗？从希帕索斯开始经历了2000多年到现在为了克服“第一次数学危机”，一代代数学家进行了艰苦卓绝的跋涉。
毕达哥拉斯学派
关于毕达哥拉斯（约公元前580——公元前497年）生平的记载，我们现在只能从后世著作中的雪泥鸿爪进行推测。据说毕达哥拉斯早期师从于希腊哲人泰勒斯，后来又到埃及和巴比伦游历求学，从古代文明中汲取营养，大约在公元前540年，他落脚于希腊的海外殖民地克罗托尼（今意大利南部）并建立了自己的学派。学派的核心成员还组成了一个带有宗教性质的秘密团体，这个团体信奉一些带有明显神秘主义色彩的教规和仪式。如，毕达哥拉斯告诫其成员不要穿毛皮衣服（因为他们相信灵魂的轮回）；有小路不要走大路（为了谦卑）；不用铁棍拨动火苗（火苗是真理的象征）；不要坐在一夸脱的容器上；不要抚摸公鸡；要独身（虽然毕达哥拉斯本人已婚）、素食和不食豆等等。这些神秘主义信条被后世希腊哲学思想所厌弃，但这个学派的数学研究硕果累累——证明了毕达哥拉斯定理、三角形内角和是180度等重要定理，提出从1起连续的奇数和必为平方数，归纳了奇数和偶数的概念，首先提出黄金分割和正多边形与正多面体等精彩的概念，对后来整个希腊哲学产生了重大影响，例如，集希腊数学成绩大成者《几何原本》（人民日报版P248）第七卷定义1：一个单位是一切事物存在的基础，被称为一；定义2：一个数是由许多单位合成的等等，无不是带有明显的“毕达哥拉斯学派”的烙印。
第一个数学物理记录“万物皆数”
据说毕达哥拉斯有一个关于数字的惊人发现：音程依赖于简单的数字之比。依此结论结合深入的思考和大量的细致的观察和经验归纳得出了“万物皆数”的理论，这是人类有记载以来第一个具有抽象性的理论，也是现代科学研究的开端。“万物皆数”就是自然现象以及人文美学等等可以归入“正整数或者正整数之比p/q”来进行阐释和研究。这条理论虽然与后来伽利略的“量化研究”（现代科学方法的开端）内涵有很大的不同，但其思想根源却是一脉相承。“万物皆数”也可以反过来理解为世界上只包含两种数：正整数和正整数之比。这样就使任意一个量具有了“可公度性”只要适当选取“单位1”那么任何数都可以表达成这个“单位1”的整数倍，这也正是希腊数学“比与比例”理论的开端。
毕达哥拉斯思想影响深远，渐渐地“万物皆数”变成了这个学派的不容置疑的信仰，变成了颠扑不灭的僵死的教条。
数字神秘主义
毕达哥拉斯学派最早对数进行了研究，例如他们定义了奇数和偶数，并且给某些数赋予了种种神秘含义使这些数显得具有了特殊的重要性。
1——数的起点，是最受尊重的数字，是理性之数。
2——第一个偶数，也是女性之数，代表思想的多样性。
3——第一个男性之数，具有统一与多样性的含义。
4——代表了正义与报应，因为它含有价值的平方之意。
5——第一个结合了男性和女性之数（2+3），代表婚姻。
6——是创生之数（1+2+3=123），这个倒是和中国的“八卦”理论有相似之处。
……
亲和数220和284代表友谊，因为220真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110的和等于284，而184真因子1、2、4、71、142的和等于220。
……
此外还有盈数、亏数、完全数等。“数字神秘主义”在魔法、巫术、占星和算命活动中这些数扮演了很重要的角色，这些看似比中国现下流行的“4、8”谐音论吉凶精致许多，但故作神秘态的本质却是一样。
抛开神秘性的一面，对正整数的研究来说毕达哥拉斯学派最先就数本身的抽象性质进行了探索；哲学家、数学家罗素曾说过这样一句意味深长的话：“很久很久以后，人们发现了两个香蕉和两个人之间的共同之处（2）。”并因此发展出了现代数论。
毕达哥拉斯定理
“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。”即x2+y2=z2，我们国家习惯叫做勾股定理或商高定理。人类“理性数学”的真正发端就是源于此定理的发现，怎么形容其重要性都不为过；物理学家费恩曼说过“如果人类突然灭绝，只能给后世留下一句话那么就是‘物质是由原子构成的’”如果是一位数学家那么他必然会说“这太复杂了！应该是‘x2+y2=z2；再画一个正方形标出对角线’。它足以使后世文明提前开始很长时间！”现代社会数学和科学研究中你总能看到此定理的影子。
毕达哥拉斯定理并不是其学派所发现的，我们现在根据早期古埃及和巴比伦的记载以及其他古文明的不同记载可以知道人类很早在应用方面就已经认识到了这条定理，毕达哥拉斯学派也未必最早证明这个定理，只是因为其学派“系统证明和传播作用的影响力”这条定理才以此命名。笔者以有限所见毕达哥拉斯证明不下百种，下面给出一个很有趣的证明：
证明原理：
RT△斜边上的高，将三角形分成两部分A与B，那么A、B与大三角形S三者相似，且都是RT△。
量纲分析：物理计算方程中等式两边的计算量纲必须相同。
如下图：
一个RT△的面积S可它的一边（如斜边c）和一个锐角β所决定，β(弧度制)是无量纲的，利用量纲分析法得：
S=c2f(β),这是因为S的量纲为L2。同理又可将两个小的相似RT△面积定位A=a2f(β)、B=b2f(β)
因为面积A+B=S 带入以上等式得
a2f(β) +b2f(β)= c2f(β) 消去f(β)得
a2+b2=c2
毕达格拉斯定理证毕。
数学证明居然从意想不到的物理法则（量纲计算）入手解决了，第一次看到这个证明我惊讶的半天合不拢嘴，后来咽了口唾沫，好半天才从恍惚中醒过来，心里不由得叫道“绝妙”。
由毕达哥拉斯定理很容易得到正方形的对角线长是√2。第一个无理数“诞生”了！
无理数的发现
毕达哥拉斯的学生希帕索斯（约公元前5世纪）发现正方形对角线长为√2，它不能表达为两个整数之比，当时叫“没有比”或“不能表达”，后来叫“不可公度量”。这样就从根本上动摇了“万物皆数”这个信仰圭臬。无理数的发现还推翻了“万物皆数”的几何表示：“给定任意两条线段，我们总能找出第三条很短的线段，使得给定的两条线段都包含这条线段的整数倍。”颠覆了希腊数学的根基“比与比例”理论。
学派会众目瞪口呆之余就不得不“努力面对”了，据说毕达哥拉斯学派成员采取了一般宗教信仰教徒的通常手段“灭口”以封堵怀疑，他们将希帕索斯赶出学派并立墓碑宣布“此人已挂”；另一种说法是将其抛入爱琴海。进而否定“无理数是数”。
“无理”这个词用于维护教条、堵塞思辨倒是很合适。
回避数学实证总算在当时勉强解决了“第一次数学危机”。但疑问的种子已经深埋到了人们的心理，纸里包不住火，希腊人很快将这个发现传播了出去……
在“√2质疑”面前希腊人变成了鸵鸟（这倒是很像现今的“网络达人”和“青年导师”面对质疑是贯常采用的方式）。将几何量“形”与“数”割裂开来，使应用之“数”和几何之“量”完全成为两个不相关概念，希腊数学因此成为“几何即数学”的偏瘫病人。文艺复兴后费马、笛卡尔发明解析几何才终于有了突破，“数形结合”才能成为现代“数学理解”的基本方法。
归谬法
对√2无理性的证明采用了“反证法”——从公认的前提（定义、公理、公设）下进行逻辑演绎，如果得出荒谬的结论，那么，只能是两个情况：1.“公认的前提”原本就是错误的；2.逻辑过程有误。逻辑过程没有错误，所以“前提错误”就成了矛盾的唯一解释。下面我们看看对√2无理性是怎样反证的：
命题：证明√2的无理性
证：设√2是有理数，那么它就可以表示为p/q（p、q是互素正整数），即√2=p/q
2=(p/q)2
2q2=p2
所以p2是个偶数，那么p本身也就是个偶数（偶数的平方是偶数）
p是偶数就能表示为：p=2a（a是正整数）
则2q2=4a2
q2=2a2
由此得出结论q也是偶数（还是因为“偶数的平方是偶数”）
那么，问题出来了：p/q就一定不“互素”与假设矛盾。
好了，逻辑演绎部分没问题，那么一定就是前提错了！
故，√2是无理数
证毕
逻辑有时生出怪蛋——庞加莱
逻辑中的矛盾律和排中律是数学（以至于科学）间接证明的核心，归谬法就是基于“逻辑没有错”（这句话同时也导致了第三次数学危机,后文涉及）这个前提论证的，这个方法产生了深远的影响，甚至在现代几乎所有科学学科理论研究中都能找到它的身影。比如说伽利略就是用这个方法做了“自由落体假想实验”从矛盾中得出自由落体运动规律进而给出“惯性定律”（牛顿第一运动定理）；爱因斯坦也是利用归谬法做了“等时性”的“假想实验”得出“牛顿经典力学前提与逻辑不能自洽”的结论，进而对牛顿运动理论加入了一个“修正因子√1-（v/c）2”发展出了“狭义相对论”。
“归谬法”也是现代考据学的基本方法之一，最近“人造韩寒”论战中方舟子就频频使用“归谬之剑”斩“韩偶像”于马前。
第一次数学危机对数学的影响
欧多克斯和欧几里得试图用“比的理论”来统一有理数和无理数，他们认识到圆面积与半径的平方成正比（A=πr2），圆周长与直径之比是一个常数（D=πd）；但对这个常数“π”却回避不述。
有人作鸵鸟回避危机，就有人敢于正视危机，并做出克服危机努力。从无理数发现伊始一代代数学家在看不到“山头和尚”的情况下努力的攀登跋涉。
首先，亚里士多德解释了√2的“无理性”。他采用的就是前文所用当今教科书随处可见的“反证法”；据柏拉图说他的老师泰奥多勒斯（公元前5世纪末）还证明了3-17（除4、9、16）的平方根的无理性并提出了无理数的基本思想。
14世纪英国数学家布拉德瓦丁（1300-1349）最早采用“无理”一词；至十六七世纪，欧洲人才逐渐将无理数纳入运算。但认识仍然很矛盾：一方面“不得不承认无理数是确切的数”另一方面“也不是一个真正的数”（<德> 斯蒂费尔）。甚至伟大的牛顿和他的老师巴罗还认为“√3只能是几何的量”。
1761年数学家兰伯特在用欧拉的方法研究后得出定理：
如x是有理数（0除外）那么tanx必为无理数；反之，如果tanx是有理数（0除外），则x必为无理数。
如果x是有理数（除0外）则ex必为无理数；反之，如果ex是有理数（除1外），则x必为无理数。
但他给出的证明后来发现不够严格。
18世纪后期，拉格朗日证明了“任何无限连分数都是无理数，逆命题也成立。”
至此，无理数的基础理论大体完成，但还不能够严格定义。
疑问仍然存在，套用一句数学家克罗内克的名言“上帝创造了整数（正），其他一切都是人造的。”因此都是可疑的。他仍然否定无理数的存在，现在看来“理应如此”的无理数直到19世纪末如克莱因等著名的数学家仍然拒不承认，从2000多年前对希帕索斯的追杀开始到现在无理数的争论就一直在进行。
无理数的本质特征是“无限不循环”。
19世纪末以代戴德金、罗素、康托尔和维尔斯特拉斯等人为代表，进一步为规范“无理数”概念做努力；同时无理数的研究已经广泛地涉及到三角学、级数、分析、连续性、数域、群等等方面；并且还发现了一些很重要的无理数——圆周率π和自然对数的底e黄金数h等的奇妙性，在研究这些数的“奇妙性”时提出了“代数数”和“超越数”的概念，由无理数的性质引申出来的“代数数和超越数”概念更是为最终解决如“划圆为方”这样的数学难题提供了有力武器。
无理数的研究为整个“数学之树”提供了大量的养料，并因此结出了累累硕果。
关于无理数理论的研究虽然有了相对圆满的结果，但还远未结束，例如“欧拉常数γ是不是无理数”这样看似简单的问题仍没有解决。
戴德金分割
英国数学家、物理学家哈密尔顿（1805-1865）在《代数作为纯时间的科学》中给出了一个无理数的处理方法。
1869年，法国数学家梅雷（1835-1911）在有理数的基础上给出了无理数的定义。
但无理数的严格定义是由维尔斯特拉斯、戴德金（1831-1916，高斯的最后一名学生）、巴赫曼、斯托尔茨、康托尔、波莱尔共同工作最后完成的。我们下面给出著名的“戴德金分割”定义无理数：
一个分割把有理数分成两类，是的第一类中的每个数小于第二类中的每个数；每一个这样的不“相应”于一个有理数的分割定义了一个无理数。
相信每个初次看到这条理论的人都会如坠迷雾般的困惑，数学教师的职责之一就是解释让人听懂、明白。
假定某一规则把一切实数分成两类：A与B，A中的每个元素称为“上类”都大于B中的每个元素称为“下类”；那么这样的分割可能出现三种互斥的结果：
下类B中能找到个最大数；
上类A中能找到个最小数；
B中无最大和A中无最小。
如果3成立，那么“分割点”（这个点只是假想的，你根本不能给出它到底是什么数！）就是无理数。
戴德金分割是首见于他1872年发表的“连续性与无理数”一文后来于1888年收录在他的名著《数是什么？数应该是什么？》，那么“为什么要用这样晦涩而又神秘的方式定义无理数呢？”原因是要避免逻辑悖论，但是避免了一个悖论时往往又会产生新的悖论，戴德金分割中的“类”就是这个新的悖论：“无穷类”！
在人类数学史中一代代数学家前赴后继的对某一问题进行持续研究而取得关键性突破是“常态性发展模式”；但是在“常态”的连续曲线中总会有一些“天才”制造出“前无古人的思想火花”，这些奇迹在人类的思想之火的光明中迸发出耀眼的璀璨光芒。
康托尔的集合论就是这些最为耀眼“火花”之一。康托尔发明集合论的起初目的就是想办法比较“无穷∞”的大小。
“无穷还能比较大小？！谁能告诉我无穷多个自然数和无穷多个实数到底谁多？”
“天才”康托尔会“于无声处响惊雷”式的宣布“能！”只要建立集合的对应关系就能比较两个无穷集合种元素的多少。关于集合论将在后文《数学是完善的真理吗？——第三次数学危机》详细介绍，这里我们只是告诉读者结论：在实数域中无理数比有理数多多啦！打个比方，如果我们随机在实数轴中选取一点，那么这一点是有理数的可能性是0！是无理数的概率是100%！“在无穷这个大锅里有理数是米，无理数是汤”（陈仁正）。
康托尔的集合论给无理数（实数）的研究带来了崭新的方法和工具，代数数论和数理逻辑走入了理论研究的领域。
数域能任意扩充吗？
无理数的引入自然地将人类的数域扩展到了实数，人类对“数”和“数域”的认识在不断扩展。从整数——有理数——无理数——实数（有理数和无理数；代数数和超越数）——复数——四元数（哈密尔顿数）——八元数（凯莱数），数域的新成员不断地增加，数的维度也同时在扩充，似乎只要人们愿意，还可以不断扩充“数”的概念，“那么有没有更高维度的数呢？”——“没有！”看看下表就明白了。
实数 复数 四元数 八元数
乘法逆元 有 有 有 有
结合律 有 有 有 —
交换律 有 有 — —
序 有 — — —
乘法逆元：AB=1时，A与B互逆；
结合律：A（BC）=（AB）C，A+（B+C）=(A+B)+C;
交换律：AB=BA，A+B=B+A；
序：规定一个起点时，就存在后继。
看出来了吧，“数”是用于“记、算、测”的，那么它必定要有自己的“原始法则”，我们不能如蒋春轩式的数学，任意规定“法则”而不顾“逻辑完备与自洽”。从这张表格我们看出到了八元数我们已经没有“数的法则”可以再挥霍了。
中国古代
中国古代只有整数与分数（有理数），而没有无理数之说。“率”例如“圆周率”“勾率”“股率”都指的是“比与比率”
约3世纪刘徽不但认识到√2、√50都是“不可开”，还认识到π应该是“至然之数”；约1300年，中国元代数学家赵友钦指出：“若节节求之，虽至千万次，其数终不穷。”这实际上离“无理数”概念只差一步——“无穷集合”与“逻辑证明”。但就是这一步，中国人始终不能跨越。“一步之遥”里存在着“革命”。世界上大多数古文明都没有跨出从“感性——理性”这一步，从这一点上看希腊人和他们所发展的希腊文明（不只是数学方面）至于人类的弥足珍贵。
由于只是一般的科普网文，引述就不做标注了，有幸以后如果变成纸面文字再补，本文历史资料部分重点参考如下，。
陈仁正《说不尽的π》
伊弗斯《数学圈》
休森《数学桥》
斯科特《数学史》
卡兹《数学史通论》（2版）
斯蒂维尔《数学及其历史》
汉密尔顿《希腊精神》
《几何原本》人民日报社版
由于数学本身还有很多“未解”之处，加之作者水平有限，如网友能发现错漏加以指点一二，感激不尽！
作者：七是；高校教师，科普作者。
