这个看似简单的问题难道了不少数学爱好者，你也来试试？
问题
从下面这个图形，你能数出多少个正方形？
解决方案
方案一
第一次面对这类题目时，很多人下意识的解决方法是数格子，没错，一个一个把整个图所包含的正方形数出来，最后得出结论：图中所包含大大小小的正方形一共有30个。
这是一个正确的答案。但得出这个正确答案的代价，是耗费掉不短的时间，以及形形色色因数多或数少而产生的错误答案。如果图形更复杂一些甚至复杂得多，数格子这样的方法还能应付得过来吗？或者说，是否存在比数格子更方便、更有效的解决方法？
答案是肯定的，即方案二：数学公式法。
方案二
为解决此题目及其更复杂的推广形态，我们需要创建一种普适性的方法，即：N ×M（N ≤ M）的方格中，存在多少个正方形？
1
建立一个坐标系，设方格左下角为坐标原点，方格边长为单位S，纵坐标与横坐标轴分别为N和M。
2
N×M方格中有多少S×S的正方形？
解：以正方形左下角点的坐标标记该正方形，显然方格与这些点的坐标一一对应，这些点的纵坐标取值方位在0至N-S之间的整数点（包括0与N-S），横坐标取值在0至M-S之间的整数点（包括0与M-S），所以共有（N-S+1)(M-S+1)点，即共有（N-S+1)(M-S+1)个S×S的正方形；
当S=1时，很容易看出，一共有NxM个1x1阶正方形；
当S=2时，正方形少了一行一列，即：存在(N-1)(M-1)个2×2正方形；
当S=3时，正方形又比S=2的时候少了一行一列，即：(N-2)(M-2)个3×3正方形；
依此类推，S=S时，有(N-S+1)(M-S+1)个SxS正方形；
最后，将所有正方形数相加。
3
取S=1、2……N，求和既得到所有正方形个数=1×(M-N+1)+2×(M-N+2)+...+N×M
当N=M时，根据平方和公式，正方形个数=1×1+2×2+...+N×N=N(N+1)(2N+1)/6；
4
因此，在原题中N=4，则最终答案为：4 ×（4+1）×（2×4+1）/ 6=30。
小结
就此题而言，虽然方案二在建立数学公式的过程中耗费了比方案一更多的时间，但建立这个公式的意义要重要得多，即：今后在面对诸如此类甚至更加复杂的问题时，我们可以通过公式用最短的时间得出最正确的答案。这正是方法论与“知其然但不知其所以然”的最大区别。
此外，我们可以就此解决方案进行一般化拓展：考虑NxM的格子里，有多少长宽比为T/S的长方形，计算方法类似，但求和过程要更加复杂一些，有兴趣的读者可以在本题解决方案的基础进行进一步推理。
作者：NKLiang；高校数学教授，科普作者。
