You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it.
——当代大数学家Mikhail Gromov
撰文 | 林开亮
也许历史上第一个将钱直接与数学挂钩的数学家是古希腊数学家欧几里得。据说，曾经有个年轻人跟随欧几里得学习几何，当他学完第一个命题以后就问老师，学习这些东西有什么用。欧几里得懒得理他，叫来仆人，嘱咐道：
给他三毛钱，打发他滚蛋！
在今日之中国，与这个古希腊年轻人抱有同样想法的，也大有人在（真是阴魂不散呀！）。甚至类似的情景也一度再现，我就亲见微信群里发生这样一幕，有人拿出一个题目请大家讨论，下面有人就说“这题目做出来有什么用”，于是出题人立即发了一个红包。在我看来，其用意与欧几里得如出一辙：请你闭嘴！
也许很多人深信司马迁在《史记》里的一句话“天下熙熙，皆为利来；天下攘攘，皆为利往”，但凡做点什么事情，都先想着是否能得到某些实际的好处。对于许多喜爱学问的人而言，他们从做学问中所享受到的快乐就是无穷的财富，而且远非物质财富可以比拟。
当然，钱财虽然是身外之物，但对大多数人而言，终究是一个实实在在的诱惑。而且，再聪明厉害的人，可能也有他迫切想要解决但自己一时又无法攻克的问题。于是就诞生了五花八门的有奖悬赏问题。这样的问题往往是公开的，一旦有人解决了问题，就会得到提问者许诺的奖金或奖品。
当今数学界最有名的有奖悬赏问题乃“百万大奖问题”（Millennium Prize Problems），由美国 Clay 数学研究所在 2000 年提出，这个清单中有七个悬赏问题，每个悬赏 100 万美元。可以想见，这些问题都是大问题，不适合在这篇小文章中介绍，有兴趣的读者可以参考下书。
其实更多的悬赏问题是由数学家个体而不是研究机构提出的。例如，葛立恒教授曾提到，对下述问题悬赏 1000 美元。
对此有兴趣的读者还可以参见数学家 R. K. Guy（1916年出生，9 月底就要满 103 岁）的《数论中未解决的问题》B.33 节 (中译本第 115 页)。这书中 F.15 节(中译本第 327 页) 还提到了葛立恒的下述问题：
这个问题由葛立恒 1970 年在《美国数学月刊》上提出，直到 26 年以后，才由 Balasubramanian 和Soundararajan 给出完整解决（答案是肯定的），他们的论文[1]近 40 页。2018 年, B. Bosek 等将上述猜想推广为一个图论结果，有兴趣的读者可以读读这篇不足 4 页的短文[2]：Graph coloring and Graham’s greatest common divisor problem, Discrete Mathematics,Volume 341, Issue 3, March 2018, Pages 781-785.
葛立恒的好友、匈牙利数学家 Paul Erd?s (1913–1996) ，以提出悬赏问题而著称。例如，他有以下一个悬赏3000 美元的问题：
Selfridge, Wagstaff 和 Pomerance 为下述问题提供了 620 美元奖金：
虽然 John Selfridge (1927–2010) 已经过世，但悬赏仍然有效，有兴趣的读者可参见 John Selfridge 的wikipedia 条目。关于本题的背景，可参见前面提到的《数论中未解决的问题》A.12 节 (中译本第 40 页)。
下述问题由 Anatole Katok (1944–2018) 悬赏 10000 欧元，考虑到只有极少数人明白其含义，我们就直接引用原文了：
有兴趣的读者可参见 A. Zorich 的综述文章Flat surfaces第 13 页[3]。
在中国，也有一位数学家提出了许多悬赏问题，他就是南京大学数学系的孙智伟教授。他在其主页[4]公布了几百个猜想，涉及数论、组合、行列式等，以下我们选取几个有代表性的分享给读者。
该猜想已经对 2×1010以内的 n 验证。孙智伟教授对此猜想悬赏 3500 美元。注意，3 与 5 恰好是后面两项的底数。
Giovanni Resta 验证该猜想对 1010以内的 n 成立。孙智伟教授对此猜想悬赏 2500 美元。
Yaakov Baruch 验证该猜想对 2×1012以内的 n 成立。孙智伟教授对此猜想悬赏 2468 美元。
侯庆虎对 1010的 n 验证了这一猜想。孙智伟教授悬赏 2400 美元。一个类似的猜想如下：
侯庆虎对 1010的 n 验证了这一猜想。孙智伟教授悬赏 1350 美元。
孙智伟教授证明了 x, y, z 可以取为整数。他对此猜想悬赏 135 美元。
孙智伟教授对此猜想以及一个平行猜想共悬赏 500美元。
孙智伟教授还有一个可能超越人类解决能力的猜想（2013年提出，未悬赏），如下：
以上猜想是关于整数或分数的特殊表示的，下面还有一个与圆周率 π 相关的无穷级数的猜想。
孙智伟教授 2011 年提出上述猜想，共悬赏 300 美元。目前孙教授正在写一本书《数论与组合中的新猜想》，今年年底交稿，将由哈工大出版社出版。对以上这些猜想有兴趣的读者，可浏览孙教授的主页，其中包含更多的信息。网上也可以搜到其他一些相关的信息，例如这篇论文[5]解决了孙教授的一个悬赏 520 美元的猜想。
当然，大多数公开的数学问题都是没有悬赏的，悬赏更多的是为了引起部分人的关注，并表达对解答者的一个鼓励。现如今，微信交流群与公众号中也有不少人发布数学问题征解，推动并加快了数学的交流。一个精彩的互动案例由三峡大学信号与信息处理重点实验室王仕奎教授与美国伯克利实验室的邵美悦博士提供。
据王教授告知，他们后来又进一步讨论其他问题，并合作发表论文《线性相位 FIR 滤波器的充分必要条件》，将现有教科书上的一个细节进行了严密化。由此可见，交流互动何其有益！
在“许康华竞赛优学”公众号，还有许多悬赏问题，有很多都已经获得解决，不过仍然有一些悬而未决，以下是一些代表：
此问题由山西大学附属中学王永喜老师征解，悬赏500 元人民币。王永喜老师还有另外一个征解问题:
其中 det 表示行列式。王老师对此问题悬赏 200 元人民币。
下述问题由美国伯克利实验室的邵美悦博士征解（无悬赏），注意与之类似的一个问题已经为骆来根解决。
以下四个问题由杭州许康华老师征解，其中第 9 题
悬赏 200 元人民币，第 10-12 题各悬赏 300 元人民币。
我还想说明两点：
第一，本文介绍了部分悬赏问题，也许重赏之下必有勇夫，为了奖金而有志于解决这些问题的朋友，请你一定先找提问者（不是我）确认问题的现状以及许诺是否有效。此外，即便有些人是为了荣耀而去思考这些问题，我也不能确认这里介绍的一些问题是否是真正的好问题，因为当代大数学家Mikhail Gromov 曾说：You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it.
第二，我还是建议对数学有兴趣的朋友，多去思考自己有感觉的问题，这样收获可能更大些。我们的本意是让大家了解到，数学中一直有不少尚未解决的问题。如果你也有一个很关心的难题，能自己想出来当然最好，如果一直束手无策，可以考虑拿出来分享乃至悬赏征解。例如，您可考虑投稿“许康华竞赛优学”公众号，这里卧虎藏龙，说不定就有解决可能乃至合作机会。就我个人而言，我有个小问题愿意悬赏 500 元人民币给第一个在《数学传播》发表其解答的作者 (允许合作，所有作者奖金之和是 500 元[6])，该问题如下：
现有结果表明，当 z1, . . . , z5满足一定条件时，命题成立。如果要问我个人的意见，我倾向于相信它是对的。
电影《东邪西毒》剧照
最后，我想说明一下我个人悬赏的动机。主要是希望看到这个问题如何被解决，我曾经解决了四个点z1, z2, z3, z4情形下的对应问题，可是方法未能推广到五个点的情形，这让我很没辙。之所以要求解答者在《数学传播》发表，有两个原因：第一，本人未必有足够的时间和精力来判断可能的解答是否正确；第二，我想通过这种方式表达对《数学传播》的支持，我与该刊已有十年交往，读稿与投稿都令我受益良多。7其实，奖金的诱惑远远赶不上在《数学传播》发表一篇有趣文章所带来的喜悦。我希望，不多久就能在《数学传播》上看到这样一篇漂亮文章。
致谢：感谢南京大学孙智伟教授、三峡大学王仕奎教授、吉安市吉水县阜田中学孙志跃老师、山西大学附属中学王永喜老师、杭州许康华老师、美国伯克利实验室邵美悦博士对作者提供帮助。作者还参考了 mathoverflow 论坛上的讨论。
脚注
[1]https://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa75/aa7511.pdf
[2]https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0012365X17303898
[3]https://arxiv.org/pdf/math/0609392.pdf
[4]https://maths.nju.edu.cn/~zwsun/
[5]https://arminstraub.com/downloads/pub/sun520.pdf
[6]极有可能, 作者将从《数学传播》获得的稿酬都比这里的悬赏要多.
[7]原文就发表于《数学传播》，见林开亮，Mordell的一个问题，《数学传播》，第 35 卷第 2 期（2011 年），51–58.
HTML格式：
https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle18.jsp?mID=35205
PDF：
https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d352/35205.pdf
本文经授权转载自“好玩的数学”。
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