让·布尔甘（Jean Bourgain）是这个时代最具独创性、最多才多艺的分析学大师之一，他1994年获菲尔兹奖，2010年获邵逸夫奖，2017年获突破奖。数学家陶哲轩曾经走到布尔甘在普林斯顿高等研究院的办公室门前，却不敢敲门拜访，他曾经说，自己的早期工作可概括为：“读让的论文，学会他的技巧，尝试做些改进。”
布尔甘于2018年12月22日去世，他对整个数学学科做了突出贡献。在第500篇论文发表之际，布尔甘亲自选定了要展示的两个成果，其中一个便是这篇文章要介绍的离散化和积不等式，这是布尔甘在连续统迷宫中探险的成果。在连续与离散的不断切换中，我们大概可以体会到布尔甘曾经体验到的、在数学中思想自由飞舞的乐趣。
撰文 | Alexander Gamburd
翻译 | 唐璐
审校 | 赵世凡
人类心智有两大迷宫：一个是连续统的构造，另一个是自由的本质，两者来自同一源头——无穷。
——冯·莱布尼茨男爵
第二次世界大战期间，冯·诺依曼在设计核武器时，认识到分析方法不足以完成这项任务，处理连续介质力学方程的唯一方法是将它们离散化。......冯·诺依曼在战后将精力都用在了这件事情上。
——彼得·拉克斯（Peter Lax）
序 曲
布尔甘男爵，普林斯顿高等研究院（IAS）数学院IBM冯·诺依曼讲席教授，是我们这个问题重重的时代最具独创性、最敏锐、最多才多艺的分析学大师之一，值得我们致以最崇高的敬意。
让·布尔甘（Jean Bourgain，1954-2018）| 图片来源：Brigitte Lacombe/Breakthrough Prize 2017
他坚决不肯接受为庆祝他60岁生日召开会议的建议，不过大家还是在他的第500篇论文发表之际举行了一次聚会——2016年5月21-24日在普林斯顿高等研究院召开了名为“分析学及其影响：让·布尔甘的成就及其意义”的会议。会议报告展示了布尔甘工作的深度和广度，以及对整个学科的突出贡献和深远影响。布尔甘亲自选定了会议海报上展示的两个成果。阅读安德烈·纳哈莫德（Andrea Nahmod）2016年发表在《美国数学会通报》上的精彩论文可以明显感受到第一个结果的美和力量。本文则是简要阐释第二个成果——离散化和积不等式（discretized sum-product inequality）——的来源、性质和发展。
让·布尔甘选定的两个重要公式，下面的被称为布尔甘离散化和积不等式，也是本文的主题。
按照历史顺序，数学的三大分支是几何、代数和分析。几何主要归功于希腊文明，代数起源于印度-阿拉伯，分析（或微积分）则是由牛顿和莱布尼茨开创，并在现代大放异彩。
——迈克尔·阿蒂亚爵士
（Sir Michael Atiyah）
《数学欣赏：论数与形》（Von Zahlen und Figuren — On Numbers and Shapes）是一本广受欢迎的数学科普书的名字，这个书名体现了一种普遍的看法，即数学是代数和几何的联姻。托尔斯泰有句名言，“幸福的婚姻都是相似的，不幸的婚姻各有各的不同，”尽管如此，这个幸福的联姻也并不是没有矛盾（也许，幸福的婚姻也各有各的不同，二分心智可能就属于这样的联姻）。赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）在1939年曾说过，“现如今，拓扑学天使和抽象代数魔鬼正在争夺每个数学领域的灵魂。”
这种矛盾体现在分析函数生长的沃土——实数系——的两面性中，就好像古罗马神话中两面神的脸朝向两个不同的方向：一方面，它是对加乘运算封闭的域；另一方面，它是连续的流形，各部分紧密相连，以至于无法彼此精确隔离。实数的一面是代数，另一面是几何。连分数就是对连续统进行离散化的一种更本质的几何形式；由于缺乏针对它们的实用加乘算法，从而催生了基于普通（例如十进制）分数的离散化。
让·布尔甘设计的徽章，2015年7月比利时政府授予了布尔甘男爵头衔。
牛顿在发明微积分时，主要的出发点是“动力学”（力、加速度），掉落在他头上的苹果也体现了这一点；莱布尼茨则似乎对现在被称为大自然的分形几何的东西更感兴趣。“想象一个圆；在圆里面画三个彼此相切且半径尽可能大的圆；在这其中每个圆中，以及它们之间的每个空隙中，继续画圆，想象这个过程无限继续下去。”莱布尼茨所说的四圆相切的构造也出现在了布尔甘的男爵徽章上。莱布尼茨将直线定义为“曲线，其任何部分都与整体相似，并且这种性质不仅体现在曲线之间，也体现在集合之间”，这反映了连续统的分形特性：康托集*就符合莱布尼茨的定义。[1]
*康托集由不断去掉线段的中间三分之一而得出，即首先从区间[0,1]中去掉中间的三分之一，然后在留下的线段[0,1/3] ∪ [2/3,1] 各去掉中间的三分之一，如此直至无穷。
古希腊几何学家阿波罗尼乌斯（Apollonius）曾断言，给定3个彼此相切的圆，恰好会有两个圆与它们都相切；给定4个彼此相切的圆，则可以构造4个新的圆，使得每个圆与原来的其中3个圆相切。如此重复直到无穷，就可以得到无限圆堆积（Infinite circle packing）。而如果最初给定的4个圆的曲率为整数，那么所有的堆积圆都将具有整数曲率，从而形成整数阿波罗尼乌斯堆积（Integral Apollonian packing）。这也是离散化和积不等式的一个应用 | 图片来源：Alexander Gamburd
从广义上说，动力学可以被认为是对变化的研究，变化所处的基本（物理）背景是时间。康托集和连续统则与时间无关，即在时间中处于静态，但是“从某种观察角度上”它们也存在一种（几乎）“同样基本的”变化，即以改变放大比例和“缩放”的形式表现的变化。布尔甘对离散化和积不等式的证明的“多尺度”特征就体现了这一点。
在序曲结束的时候，顺便指出一下，布尔甘选择的两个成果都不是等式，而是不等式，并作如下评论：
如果说代数通常被认为是对等式的研究，则分析的核心也许可以认为是不等式或估计，是比较两个量或式子的大小。爱因斯坦发现没有什么的速度能比光速更快，就是不等式的例子。不等式“2^X远大于X”可以说巧妙地涵盖了P与NP问题*（对于有限的X来说是如此）和康托连续统问题**（将X视为第一个无穷基数）。中学就学过的一个初等不等式断言，两个正数的算术平均值绝不会小于它们的几何平均值。在这两个极值之间，有各种各样重要的估计值。这些估计值体现和量化了底层问题的一些微妙方面，往往很难证明。后面我们将看到，对于离散化和积不等式，这种底层问题是连续统的代数性质和（分形）几何性质之间的矛盾的核心。分形（fractal）一词源自拉丁语fractus，意思是破碎分解；代数（algebra）源自阿拉伯语al-jabr，意思是破碎的部分重新结合。
*P与NP问题中的P是指能够用算法在多项式时间（Polynomial time）内解决的问题，NP则指那些无法快速解决，但如果提供了一个答案，能够用算法在多项式时间内验证的问题。P与NP问题问的是，P=NP是否成立，即一个能够在多项式时间内验证的问题是否也能在多项式时间内解决。
** 连续统假设由康托提出，是说在自然数基数与实数基数之间不存在其他基数，实数的基数严格大于自然数的基数。
1 起源：挂谷-贝西科维奇问题（Kakeya-Besicovitch Problem）
希尔伯特有一句广为人知的名言：“如果你能向在街上遇到的第一个人解释清楚一个数学问题，这个问题就很好。”如果让挂谷宗一（Sōichi Kakeya，1917年，大战正如火如荼，他在一个岛国写了一篇论文）来向随便一条街上的某个人解释这个现在以他的名字命名的问题，可能会是这样：
让你负责防卫一个岛屿，岛上有崎岖陡峭的山峰，你的任务是以最低的财政支出在平坦的山顶购买一块土地，并且这块地要具有以下属性：让一门长度为1的大炮能指向任何方向。
一个明显的解是，直径为1、面积为π/4的圆。挂谷宗一给出了一个解，面积是这个明显解的一半。他提出的解是三尖内摆线，内切直径为1/2的圆。同年，在彼尔姆（1940-1957年间改名为莫洛托夫；现在还是彼尔姆），十月、十一月间的俄国/苏联革命期间，贝西科维奇（A. S. Besicovitch）将面积上限减少到了几乎为零。
虽然平面（二维空间）中的挂谷集的测度为零，但它的分形维数为2。[2]有一个基本猜想是，在高维空间中，同样的现象也成立：例如，三维空间中包含指向所有方向的线的集合具有分形维数3。这个猜想是调和分析中许多问题的核心，一直是我们这个时代一些最杰出的分析学家深入研究的主题，布尔甘在1999年取得了重大突破，他将挂谷问题与算术组合联系起来（译注：和积不等式在2004年布尔甘与Nets Katz、陶哲轩合著的研究挂谷问题的论文中给出）。
2 和积现象和连续统迷宫
算术组合中的一个基本结果是“和积现象（sum-product phenomenon）”，其基本性质可以简单描述如下。当研究从1到9的数字的加法和乘法表时，人们可能会注意到乘法表中的数字更多。大致来说，这与从1到9的数字构成算术级数的事实有关。如果你将一个构成算术级数的集合（或它的子集）与其自身相加，它不会增长太多；如果你将一个构成几何级数的集合（或它的子集）与其自身相乘，它也不会增长太多。然而，整数的子集不能既是算术级数又是几何级数，所以它在与自身相乘或相加时都会增长。这可以表示为命题|Α + Α | + |Α·Α| ≥ |Α|^1+τ对任何有穷实数集都成立；其中|Α|度量集合的大小，即集合中元素的数量。
布尔甘离散化和积不等式N (Α + Α, δ) + N (Α· Α, δ) > N (Α, δ)^1+τ处理的是连续统的无穷子集，式中用“测度熵（metric entropy）”N (Α, δ)度量集合的大小，测度熵是覆盖Α所需的直径为δ的球的最少数量。简单说，这个不等式说的是，对于连续统的任意子集，在温和的假设条件下，当它与自身相乘或相加时，分形维数会随之增长。
3 扩展主题中的的离散和连续变化
扩展图（Expander）是计算机科学中广泛使用的高度连通稀疏图。高连通性对通信网络显然很重要。而最容易理解稀疏性必要性的场景也许是大脑神经网络：由于轴突要占据一定的体积，因此轴突的总长度不可能超过大脑的平均容积与轴突横截面积之比。事实上，这就是展开图首次隐含出现在巴尔茨丁（Y.M. Barzdin）和柯尔莫戈洛夫（A. N. Kolmogorov）1967年的论文中的背景。[3]
现在，基本上有两种构建数学结构的原材料来源：随机性和数论。随机正则图很早就被发现是扩展图。最优扩展图的显式构造——拉马努金图（Ramanujan graph）——使用了自守形式理论中坚深的数论结果，将扩展图构造为群的凯莱图（Cayley graph）[4]，其中涉及一些很特殊的生成器选择。
具有80个顶点的富勒烯（C-80）及其立方图（左）。在图论中，正则图是每个顶点都具有相同数目邻居的图，即每个顶点的度相同。而每个顶点的度数均为3的正则图被称为立方图。
扩展图是高度连通的稀疏图，它一方面具有高度连通的特性，另一方面又是稀疏的。扩展图的拓展系数反映了其连通性，例如图中阴影部分的子集的扩展系数为1/4。
凯莱图是编码群的抽象结构的图。一个群相对于一个固定生成器的凯莱图，其顶点是群的元素，而一个元素的邻居是通过与所有生成器相乘来确定的。| 图片来源：Alexander Gamburd
当我1994年刚开始攻读博士学位时出现的一个基本问题是，这种扩展在多大程度上只是群本身的属性，与生成器的选择无关。我对这个问题着了迷，在彼得·萨纳克的指导下，我在1999年的博士论文中取得了部分进展。2005年秋，我与布尔甘合作引入了一些刚发展出来的与和积现象有关的加性组合学工具（译注：布尔甘和积不等式），最终针对许多情形解决了这个问题。
尾 奏
向对互联网已习以为常的人们解释布尔甘的成就显著和非凡的意义时，我们可以强调它们在数学物理、计算机科学和密码学中的应用，这些在现代生活中有巨大的实用价值，尤其是使得互联网通信成为可能。它们的精妙、美丽和深邃似乎很难用“平常的语言”来表达。此时此刻，也许我们应当提醒自己，网络新人类虽然装备了（源自冯·诺依曼的）各种数字设备，但也还是人类，仍然着迷于用Twitter表达简洁而深邃的洞见：面对着似乎虚幻、不真实的对象（例如实数轴），布尔甘在连续统迷宫的奇幻探险代表了人类心智伟大卓越的成就。
2005年9月，我女儿刚刚出生六个月，我在IAS访问并参与亚历克斯·卢博茨基（Alex Lubotzky）主导的“李群、表示和离散数学”项目[5]时遇到了让。我不记得确切的日期，但记得时间：当时是凌晨2点至3点之间。在给女儿换尿片后，我睡不着，前往西蒙尼礼堂，遇到了正去图书馆的让。在迷迷糊糊的状态下，我壮起胆子和他搭话。到天亮时，这个困扰我长达十年的问题终于在让的办公室里土崩瓦解。[6]
从左到右：亚历山大·甘博德（Alexander Gamburd）、彼得·萨纳克（Peter Sarnak）和让·布尔甘（Jean Bourgain）
2005-06年是我生命中最快乐的一年，这一年我往返于以赫尔曼·外尔命名的小径，外尔的观点是，“数学不是外行人所认为的严格和无趣的公式；相反，我们在数学中恰恰站在反映人类自身本质的局限和自由的边界上。”
本文中描述的布尔甘的大部分工作是在IAS完成的。IAS的徽章是一幅安静、优雅和古典的装饰艺术作品，描绘了两位优雅的年轻女士，一位着衣，一位裸身，站在一棵结了很多果实的树旁。徽章设计的典故出于济慈（John Keats）的《希腊古瓮颂》中最后那个著名的对句（译注：真即是美，美即是真），他的观点是，“每种艺术的卓越之处在于其强烈性，能够使所有的令人不悦从与美和真的密切关联中消失。”
IAS徽章
在这篇文章中，我尝试捕捉布尔甘艺术的卓越之处，最后让我们通过引用他在获得2017年数学科学突破奖（Breakthrough Prize in Mathematical Sciences）时的谈话来体会一下他强烈的情感：
当你遇到一个被普遍认为无法解决的问题时，通常你甚至都不知道要到哪里去寻找答案。处于那种境况下，我们就像傅立叶一样被困在沙漠中，完全迷失了方向。而一旦你洞悉真相，你就会在突然间逃离沙漠，一切都展现在你面前。这时我们会感到非常兴奋。这是最好的时刻。之前费尽心思却毫无进展的所有痛苦都是值得的。
作者介绍
亚历山大·甘博德（Alexander Gamburd），IAS数学院成员（2007-08，2005-06），纽约城市大学首席数学教授。
注释
[1] 莱布尼茨还写了第一本组合学教科书《组合的艺术》（Dissertatio de arte combinatoria），并发明了二进制记数法，这使得现代计算机成为可能，并将在布尔甘探索迷宫的论证中发挥重要作用。莱布尼茨的第一个作品集在1735年由Rudolf Erich Raspe编辑出版，这位作者后来以《孟乔森男爵的奇幻探险》（Singular Adventures of Baron Munchausen）闻名。
[2] 如果A是曲线，很容易看出N(A, δ)是δ-1阶。如果A是曲面，则N(A, δ)近似为δ-2阶。这就启发了将任意集合的分形维数定义为N(A, δ) ~ δ-d中的数字d的想法。
[3] A. N. Kolmogorov & Y. M. Barzdin, On the realization of networks in three-dimensional space, Selected Works of Kolmogorov, vol. 3, Kluwer, Dordrecht, 1993, 194–202[3] PSL2(Fp)在p = 5时与标准生成器相对应的凯莱图是巴克球（C60）。
[4] https://mathinstitutes.org/highlights/expander-graphs
[5] 布尔甘的日常习惯如下。他会在离餐厅关门不到5分钟的时候赶到餐厅吃午餐，在下楼时会找人一起用餐（具体找谁主要取决于他们与让目前正在研究的问题的专业相关性）。午餐后，日落前，他办公室的门是半开的。晚上9点左右，让会带一瓶红酒（通常是梅多克）去吃晚餐，之后再来一杯双倍特浓咖啡（通常是在小世界咖啡馆），然后回到办公室，给妻子和儿子打电话，然后快步走一走，绕着爱因斯坦大道走5圈左右。午夜和日出之间，他的办公室通常都关着门。他手写的笔记（风格像莫扎特，不像贝多芬）基本不用改，部分原因是在用餐和散步时，他会想好回到办公室后写些什么。
本文翻译自IAS，原文标题为“Singular Adventures of Baron Bourgain in the Labyrinth of the Continuum”。
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