在《奥妙神奇的量子世界》一文中，我们介绍了量子叠加原理，讲了由此导出的又是粒子又是波的神奇量子粒子。这些量子粒子组成了世间万物，给了我们一个绚丽多彩的世界。今天这篇文章将继续讲述量子粒子的故事，我们将要讲的是费米子的故事。我们想从对量子粒子更深刻的认识，来理解我们这个世界的丰富多彩是从何而来。我们发现，量子粒子并不能保证给我们一个丰富多彩的世界，有的量子粒子只能给我们一个荒芜死寂的世界。我们的世界能如此的精彩，生气盎然，实在是我们的运气。
撰文 | 文小刚（麻省理工学院终身教授、格林讲席教授）
绚丽多彩的世界
什么是玻色子和费米子？
两个可能性叠加，可变成不可能
量子粒子有很多种，各有不同的内秉性质。其中最重要的内秉性质就是玻色性和费米性。有玻色性或费米性的量子粒子分别叫做玻色子和费米子。到底什么是玻色性、费米性？在物理上，要定义任何一个概念，都要通过实验。那玻色性、费米性是通过什么样的实验来观察到和定义的呢？
其实一个玻色子或费米子粒子的行为，可以用同样的薛定谔方程来描写，其在实验中的表现是完全相同的。读者可能会问：既然这两类粒子的行为一模一样，为什么要自找苦吃，要把有同样行为的粒子起两个名字呢？
当我们只有一个粒子的时候，玻色子和费米子的行为的确一模一样，无法区别。但当我们有两个或多个相同种类的粒子的时候，他们的玻色性或费米性就显示出来了。也就是说我们必须做一个含有多个粒子的实验，才能看出粒子的玻色性和费米性。例如，一个含有两个粒子的实验是让两个相同种类的粒子相向而行，产生碰撞，我们在九十度偏折的方向，观测碰撞的结果（见图1）。
图1 两个全同粒子的散射实验可以探测到粒子的玻色性和费米性。
我们注意到，当探测器探测到一个粒子的时候，这可能是由两个量子状态引起的：一个是粒子1向上跑粒子2向下跑，探测器看到的是粒子1；另一个是粒子1向下跑粒子2向上跑，探测器看到的是粒子2。因为这两个粒子是全同粒子，探测器无法区分看到的是粒子1还是粒子2。所以探测器看到的是两个可能性的总和。这时候量子世界的神奇就显示出来了：虽然两个可能性分别都不为零，但它们的"和"却可以是零!
图2 两个波的"+ "叠加和"- "叠加.
这怎么可能呢？我们注意到，在两种可能性中，向上跑的粒子1和粒子2都是波。所以两种可能性的叠加是波的叠加。但两个波的叠加可以是"+ "，也可以是"- "（见图1）。如果波峰对波峰，波谷对波谷，两个波的叠加就会加强，探测器会看到更强的信号。但如果是波峰对波谷，波谷对波峰，两个波的叠加就会相消，探测器就会得到零信号。这就是所谓的量子干涉现象。
玻色（左）、费米（中）、狄拉克（右）
那么探测器究竟会测到什么信号呢？上面提到，探测器探测到一个粒子，对应于两个量子状态：一个是1上2下，一个是2上1下。两个状态差了一个粒子1和粒子2的交换。如果两个粒子是玻色子的话，交换不会给出负号，两个波的叠加是"+ "，探测器可以探测到散射的粒子。如果两个粒子是费米子的话，交换会给出额外的负号，两个波的叠加是"- "，两波相消，探测器观察不到90度散射的粒子（当然探测器可以看到其它角度散射的粒子）。所以通过散射实验，我们可以判断粒子是玻色子还是费米子。
这就是我们奇妙的量子世界：粒子可以带玻色性或者带费米性。玻色性和费米性纯粹是量子性质，没有经典对应，不容易理解和想象。比较通俗地说，两个玻色子交换，它们的波相加。所以两个玻色子喜欢待在一起，有亲和力。两个费米子交换，它们的波相消。所以两个费米子无法待在一起，互为排斥。这就是有名的泡利不相容原理：两个费米子不能占据同一个状态。
标准的量子教科书中有很多关于玻色子和费米子的描述，但很少讲如何从实验定义玻色子和费米子。一个比较标准的讲法是玻色子有对称的波函数，而费米子有反对称的波函数。其实这一讲法不很合适，因为玻色子费米子都可以用对称的波函数来描写。另一种说法是玻色子由对易算符产生，而费米子由反对易算符产生。其实费米子产生算符仅仅是人脑的一个想象，自然界中不可能实现。另外，一个没有反对易算符的量子体系，照样可以有费米子。所以用反对易算符来定义费米子，也可算是一个误导。到了博士阶段，教科书又把费米子定义为反对易量子场。这有同样的问题，一个没有反对易量子场的系统照样可以有费米子。到底什么是费米子？有时候，我们学得越多并不代表我们理解得越深。它有可能代表我们陷的更深，代表我们坐井观天的井更深。
泡利
原子不像一个缩小的太阳系
更像一个乐器
大家也许会问，我们为什么要在乎这种虚无缥缈的玻色性和费米性？这有什么用？有什么应用价值？有什么工业价值？对人类的生活能带来什么好处？还是这仅仅是好奇的大孩子们之间的智力游戏？
其实人类的存在，生物的存在，多彩物质世界存在，都源于电子的费米性。如果没有电子的费米性，根本就不会有智慧生物，更没人来研究电子的费米性。
为什么电子的费米性如此重要？我们首先要理解原子的内部结构。1909年，卢瑟福用
粒子（也就是氦原子核）轰击原子，试图来探测原子的内部结构。他发现原子都是由原子核和电子组成的。但电子绕着原子核的运动轨道并不像地球绕太阳那样，它不是一个圈儿。这是因为电子是一个波，电子绕原子核的各种不同的运动，是由不同形状的波函数来描写的。所以电子的运动，实际上是一个三维分布，是电子波函数的形状。这就像敲鼓一样，敲在鼓面的不同点，将引起鼓面不同形式的振动。
图3 鼓面的不同振动模式。最简单的振动模式频率最低
。振动模式越复杂频率越高。
我们知道，鼓面有一些特殊的振动模式，它们有自己的固有的振动频率(见图3)。类似的，电子的波函数也有一些特殊的模式，有其固有的振动频率
，描写有确定能量的电子运动状态。而能量
，是根据著名的普朗克公式，由频率
给出：
。这里
是普郎克常数。
由于电子受到原子核的作用，电子有一个不为零的势能
。描写电子波函数演化的薛定谔方程也需要修正一下
通过解这一带势能的薛定谔方程，我们可以得到原子中有确定能量的波函数（见图4），其描写有确定能量的电子运动状态。我们看到一个电子的运动模式，跟鼓面的振动模式很相似。有些模式能量高（频率高），有些模式能量低（频率低）。
图4 原子中各种电子轨道(波函数)的形状。这些轨道分成几行。每一行上的轨道能量接近(最后两行应分别插入到第六行和第七行之中)。第一行只有一个球形轨道(左上角)，其能量最低。下面随着行数的增加轨道能量也递增。如果同颜色的轨道都被电子占据，那么这个原子就是一个完美的球形。如果同颜色的轨道有些被占据，有些没被占据，那么原子的形状就有这些轨道给出。
原子中的电子总是想降低它们的能量。这个能量最低的运动模式最稳定。当一个原子只有一个电子时（像氢原子），能量最低的运动模式就是由图中左上角那个球形的波函数来描写的。这就是氢原子的形状：一个完美的圆球（而不是像很多文章中画的那样，为一个圆盘）。
我们把原子中的电子运动模式，称之为电子的轨道。当一个电子以某一个模式的波函数运动时，我们就说这个电子占据了那个轨道。所以氢原子中的电子占据了左上角那个球形轨道。
这些电子轨道能量的结构，可以通过原子的光谱来探测和验证（见图5左上）。当一团原子气温度很高的时候，原子之间会有激烈的碰撞。这些激烈的碰撞，会使原子内的电子，跳到能量较高的轨道上去。当电子从高能轨道跃迁到低能轨道时，会发射一个具有确定能量的光子，其能量等于这两个轨道的能量差。由于能量和频率的关系，这些光子也有确定的频率。这给出了高温原子气体的发射光谱（图5右上图中的亮线）。
图5 电子从高能轨道向低能轨道跃迁，产生发射光谱。电子还可以吸收光，从低能轨道跳到高能轨道，这一过程产生吸收光谱。
当我们把光照到一团冷原子气时，电子会从低能轨道跃迁到高能轨道，从而吸收一个确定能量，也就是有确定频率的光子。因为只有某些特定频率的光子被吸收，这给就出了冷原子气体的吸收光谱（见图5下图中的暗线）。注意，发射光谱的亮线位置和吸收光谱的暗线位置，是有一定的对应关系的，因为它们都对应与电子轨道之间的能量差。
我们看到，一个原子不象一个太阳系，而更像一个乐器。不同的乐器有不同的音质。类似的，不同的原子有不同的光谱。
走运的玻尔
图6 玻尔原子模型 = 缩小的太阳系
谈到原子的内部结构，不能不提到玻尔模型。1913年玻尔提出的原子模型，就是把原子想象成一个缩小的太阳系，电子绕着比原子小十万倍的原子核转圈儿。以太阳系不同的是，玻尔加了电子运动量子化条件：电子的角动量
必须是
的整倍数。也就是
，这里
是整数。利用牛顿方程（当时还没有薛定谔方程），加上角动量量子化条件，玻尔计算出氢原子中电子轨道的能量
这一从牛顿方程所推导出来的结果当然是错的。正确的结果是
但玻尔十分走运，如果我们把角动量平移一个单位：
的话，错误的公式可以完全吻合上正确的公式。这完全是一个巧合。因为原子的光谱只在乎不同轨道的能量差，并不在乎每个轨道的角动量是多少，所以玻尔的错误公式，精确地解释了实验观测到的氢原子光谱。这对早期让大家接受量子力学，起了很大的帮助。玻尔实在是运气。如果电子和原子核的作用力，不是正好和距离平方成反比，玻尔模型所得出的轨道能量值，就会是错的，和实验观测到的光谱，将会完全比不上。那样大概会没人接受量子力学。我觉得玻尔最大的贡献是提出了量子态的概念。他帮助我们跳出牛顿理论的框框。
世界的多彩来源于电子的费米性
当原子中有很多电子的时候，这些电子也将尽量占据能量低的轨道。如果电子是玻色子的话，原子中的电子都会挤在同一个最低能量的轨道上（玻色子喜欢待在一起），也就是图4中左上角那个球形轨道。这样所有原子都是球形的，长的都一样，个个都像惰性的氦原子。这样的原子没有化学活性（没有化学反应，没有化学键）。缺少了丰富的化学，我们就失去了坚硬的固体，所有行星都是像木星一样气态行星（见图7），从而失去了多彩的世界。我们还失去了有机分子，当然也失去了最复杂的生物世界。
图7：木星和它的大红斑。虽然没有丰富多彩的生物世界，但还是有复杂的湍流气候现象。在电子是玻色子的宇宙中，这大概是可能出现的最复杂的自然现象。但没人欣赏。
如果电子是玻色子的话，我们宇宙还是会有很多原子。但每种原子都像氦原子一样，没有化学活性。这样的世界将是荒芜的世界。每颗行星都是像木星一样的气体行星。氦原子根本无法形成复杂的有机分子，我们更不会有活生生的的生物世界。但这个世界会有让人惊艳的湍流。
幸运的是我们这个宇宙中的电子是费米子。原子中的电子必须占据不同的轨道（费米子无法待在一起）。所以当原子带有多个电子时，电子，按能量由低到高，依次的填充不同的轨道。所以当电子数目不同时，电子的轨道占据构形也是不同的。因为原子的形状，主要是由最后被占据的同颜色轨道所决定的，我们发现，带不同数目电子的原子，会有不同的形状。这导致了原子的丰富形状和丰富的化学活性。
在《奥妙神奇的量子世界》一文中，我们提到金属中的电子在疯狂地，以1500倍的音速，跑来跑去。其实一块金属和一个原子有些相像。在金属中电子待在一个大盒子里，而在原子中电子待在一个小盒子。所以像金属一样，多电子原子中的电子也在疯狂地跑来跑去。这是因为由于电子的费米性，电子不能都占据，那个最安静能量最低的球形轨道。大多数电子不得不占据那些能量高的轨道，不得不跑来跑去。这也是为什么金属中的电子，不得不跑来跑去的原因。这种，从低能量轨道到高能量轨道，逐一按顺序填充的图像，导致了所谓费米子海的图像。金属和原子都可以看成是填到某一个水平的费米子海。
我们还有另一个图像，来想象金属中费米子的行为。由于泡利不相容原理，金属中的每一个费米子都有自己一个私密空间。每个费一米子都待在自己的私密空间中，老死不相往来。这样每个费米子的位置就比较确定。那么根据海森堡测不准原理，它的动量和速度就不那么确定，不会是确定为零。这个不为零，不确定速度可以从私密空间的大小
来估算：
。我们看到，电子的密度越高，
就越小，它跑的就越疯狂。
但一个玻色子体系就有很不相同的图像。玻色子相互渗透亲和，没有自己的私密空间。所有玻色子都喜欢待在同一个能量最低的轨道上，安安静静，和和谐谐。这就是所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态，其导致了令人惊叹的超流超导现象。
我们看到电子的费米性，导致了丰富多样的原子。这使我们有了更加丰富多样的分子，有了形状奇特让人惊艳的蛋白质，有了玲珑精巧一让人不可思议的病毒，还有了巧夺天工让人目瞪口呆的细胞。由电子的费米性所导致了绚丽精彩的世界，让人叹为观止。我们很幸运，生活在这个电子有费米性的宇宙之中，能够欣赏由原子这些乐器，所演奏的自然大观交响乐。
这就是我们多彩世界的基础。发现了费米性，我们就理解了我们世界多彩的起源，也为我们创造更加精彩的世界，提供了理论工具。
丰富多彩的分子
惊艳的蛋白质
玲珑精巧的病毒。第一行描写了病毒如何往细胞内注射它自己的DNA/RNA。第二行描写了爱滋病毒，和它如何利用细胞来复制自己。
巧夺天工的细菌。很多细菌带有会旋转的尾巴。这一尾巴是通过一个原子轴承来接到细胞膜上。这一原子轴承还是一个原子发动机， 能靠离子的流过，消耗细菌内的能量，来带动尾巴旋转。
本文曾发表于《赛先生》
《返朴》，一群大科学家领航的好科普。国际著名物理学家文小刚与生物学家颜宁共同出任总编辑，与数十位不同领域一流学者组成的编委会一起，与你共同求索。关注《返朴》参与更多讨论。二次转载或合作请联系fanpu2019@outlook.com。
