能够同时照顾到自然存在的“咪”和“嗦”这两个音符的，只有十二平均律。估计就是这个原因，使得十二音音阶系统分别在中国和古代希腊独立出现，并且延续至今。
撰文 | 吴进远（美国费米国家加速器实验室）
下午最后一门课考完，不用复习功课的晚上还多少有点无聊。我在宿舍半躺着刷手机，两双眼皮上下打架。
泉余室友冲我招招手：“带你去个好地方，我们实验室有兴趣没有。”
我迷迷糊糊跟着他来到实验室。
“看看，”泉余室友指着实验室中间一个尖头大圆筒：“咱们坐上这个，经过虫洞，穿越时空，到古代转一圈如何？”
“别逗了，”我感觉智商受到侮辱：“穿越虫洞？你需要的能量差N多个数量级好吧？你靠这个也就能哄哄非物理专业的妹子。”
“可如果是物理专业的学霸妹子，你暗恋的女神请你，又该怎么说呢？”泉余室友拉开舱门，里面是珍旭班长。
“这个么？”我后半句话还没有想好，人已经钻到舱里了。
“脑细胞在某些生物化学大分子浸润下，物理定律经常失效，”泉余室友有些得意地唠叨着，也进来坐到了后座。
舱门关上，灯灭了，我睁了一下眼。哦，宿舍熄灯了。
珍旭班长按下启动按钮，穿梭机开动了，可是刚走了不一会儿，机舱里的噪音变低了。看看显示屏，才走了400多年。珍旭班长点开另一个显示：“好像前面有人不高兴，影响了空间曲率，我们得先停一下了。”
我看看窗外，模糊地看到路边一块石碑一晃而过，上面的字是：“端靖世子”。哇，这是大名鼎鼎的明代音律学家朱载堉呀。
下了穿梭机，来到一间土屋，一位老者在案上秉烛握笔写作。
“世子老师好，”我们三人立定挺身，双手附心，高揖行礼。
老者起身拱手回礼：“坐吧。”
1傻傻分不清的五音七音十二音
“世子老师，”泉余室友请教：“很多同学知道您发现了十二平均律，因此以为在您之前中国音乐只有五个音符，在您之后才有了十二个音符。”
“你们不会也这么以为吧？其实，十二音律出现得非常早，我找到的十二平均律是一种给这十二个音符确定音高的方法。”
“据传说，”老者接着讲：“在黄帝的时代，十二音就出现了。传说固然是传说，但我们可以相信，十二律的产生，是古代各族交流中音乐律制融合的结果。看样子你们对古代典籍存疑？那么从土里头挖出来的东西总该算眼见为实吧。战国时期的曾侯乙，他的编钟有完整的十二音律，可以旋宫转调。”
“十二音律产生的年代，比三分损益法早很多，自然更比我的十二平均律早。当然，十二音出现的具体过程并没有详细的记载，你们完全可以根据现代的声学知识去猜测。谁愿意先谈谈自己的想法？”
“我觉得人们是首先认识了音符。”我说：“在自然界的稳定单音高声音当中，比如老牛的叫声，就包含了基频的整数倍频率成分。这里面的 4，5，6 倍频就对应着‘多’，‘咪’，‘嗦’这三个音符，听力好的人，直接就可以听出来。实际上，用牛角号还可以把这几个音符单独吹出来。然后，通过不同牛角号之间这几个音符的匹配组合，人们就有可能认识五音或七音音阶，我前一阵写过一篇文章讨论了这个猜想。”（见向牛学琴：伟大的七声音阶是怎样出现的）
“那么有了五音或者七音音阶，人们又是怎么得到12音阶的呢？”
“世子老师，”珍旭班长说：“借您的琴用用好吗？”
老者把柜子上的芭蕉木古琴搬到台案上，珍旭班长拨动琴弦：“我们把这个满弦的音唱成‘多’，或者‘宫’。”
她按住琴弦一半的地方，这时琴弦拨动后发出高八度的“多”。然后又按住不同的位置，逐个找到“来咪发嗦啦西”几个音符。老者拿了支毛笔，沾了白色的水粉，让珍旭班长把这几个音的位置标注在琴板上。
“七个音的位置画出来了，显然这些音之间的间隔是不均匀的，有的宽有的窄。”珍旭班长说：“看看这样的不均匀，大家有木有冲动，想在这些音中间插入新的音符呢？如果我们在比较宽的间隔中插入一个音，就会得到十二个音，它们的间距也会显得比较均匀了。这有点像是在钢琴的七个白键之间，插入五个黑键。”
“如果是从五音出发呢？”老者把“发”和“西”擦掉。
“五音在琴弦上的间隔也很不均匀，如果我们在比较窄的间隔中插入一个音，在比较宽的间隔中插入两个音，也可以得到12个音。这就有点像在钢琴的五个黑键之间，插入七个白键。”珍旭班长说：“所以，我觉得我们的祖先应该是以自然存在的‘多咪嗦’等音符为骨架，先获得五音或七音，然后在它们之间逐步插入其他音，最后得到了相对比较均匀的12音。”
“有了12音，我们就可以方便地把一首歌或者乐曲转调了。看看，这是我弹的。”泉余室友拿出手机，点开一个视频。“这里面，是CDEFG这几个音符分别作为‘多’的情况。”
（戳https://dwz.cn/oWdEqsJG可听音乐）
呵呵，是《小小星星》，弹了五遍，一遍比一遍高一度。
2从三分损益法到十二平均律
可是，这12个音在琴弦上的准确位置，应该是什么地方呢？也许这就该问问世子老师了。
“其实，人们两千多年前就已经开始在想这个问题了。”老者说：“那时候人们提出的想法叫做三分损益法。”
在古希腊也有类似的方法叫五度相生法，两种方法细节上有一些差异，但基本的原理是一样的。
老者先拨动了一下满弦，这个音是“多”。然后用手指按在琴弦2/3的位置，或者说，把琴弦“损”掉1/3。琴弦短了，拨动时发出的声音因此变高了，是“嗦”。
把“嗦”的琴弦长度量出1/3，然后加回去，或者说“益”1/3。琴弦长了，拨动时发出的声音变低了，听上去是“来”。把“来”的琴弦缩短或“损”1/3，得到“啦”。把“啦”的琴弦长度量出1/3，然后“益”回去，得到“咪”。
“用这种方法可以生成五音或者七音，继续做下去，还可以生成12个音，而且最后那个音基本上能够循环到高八度的“多”，只不过略微差了一点点”。老者指着我：“你算算看，差了多少？”
f(HI_DO)/f(DO) = 312/218= 531441/262144 = 2.027
我拿出手机，算出上面这个数。高音“多”与“多”之间的频率比例应该是精确的 2。现在通过三分损益法或者五度相生法，得到频率比是2.027，差了1.3%左右。
“不要小看这么一点差别，实际演奏起来就会非常难听”。老者继续讲解：“这个方法中大部分五度之间都是和谐的，频率比值为3/2，但是最后那个五度，也就是从‘发’到高音‘多’之间，会显得非常不和谐。”
欧洲的音乐家管这样的五度叫做“狼五度”，意思是合在一起演奏像狼叫一样难听。除了“狼五度”，还有其他的“狼音程”，也很难听。此外，由于音程之间的频率比不统一，所以，一个乐曲一转调，听着就非常别扭。两千年来，有不少人试着解决这个难题，但结果一直不很理想。
“那么，您是怎么解决这个难题的呢？”
“我的做法是把所有音符之间的比例统一起来，也就是说，让任意两个相邻半音之间的频率比等于一个常数”：
“这样一来，不管你怎样转调，所有音程之间的频率比都是统一的。一首歌曲或者乐曲就不会因为转调而变得难听了。”
泉余室友用手机算出了这个数，我也拿出手机，找到世子老师《乐律全书》的书页，仔细地比较了一下这两个数。好嘛，一个字都不差，确切说，世子老师算的比手机计算器的结果还多9位，这可是用算盘打出来的呀。
由Zhu Zaiyu (Chinese: 朱載堉; Wade–Giles: Chu Tsai-Yu; ?: Chu Tsai-yü) (1536 - 19 May 1611), - mybook，公有领域，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=15283411
3朱载堉之烦恼
“世子老师的著述，我等读过感触颇深。”泉余室友道：“您的高尚精神，令我辈感动无比。”
“差矣，”老者摇摇手，明显有些不悦：“后世无知多谬语也。”
“世子老师，”我小心地问：“我们说了什么错话吗？您算出十二平均律的音律比例，几乎不用重抄就可以送印刷厂付印，不仅是在音乐艺术上的贡献，更是科学上的贡献。我们对您可是真心崇敬呀，您看，我在您的书页上还加了我的理解。”
由Zhu Zaiyu (Chinese: 朱載堉; Wade–Giles: Chu Tsai-Yu; ?: Chu Tsai-yü) (1536 - 19 May 1611), - mybook，公有领域，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=15283408
“嗯，这也不怪你们。”老者说：“你们想必读了不少明史，被误导了。”
“现在的明史不少是清朝人写的，里面净是明朝的坏话。他们不会平衡地反映明朝近三百年，也有国泰民安，人们安居乐业的时候。不说别的中国历史上人口首次超过一亿就在明朝。他们想让人们对明朝的印象是残暴黑暗，民不聊生。可是这样一来，这个朝代岂不就不会出现了不起的航海家、音乐家、科学家了吗？而实际上，三百年间出了郑和、李时珍、徐光启、宋应星还有我朱载堉这样的人物，这不是很打脸吗？于是他们就先设法忽视这些人物的成就，忽视不了就贬低，贬低不了就编造这些人物有无比高尚的精神，多么非凡，多么和皇上过不去，反正就是不能承认这些成就是在合适的环境中出现的。就说我吧，要不是连年丰收，百姓逛社火过大年，我写了那么多的歌曲，给谁唱？绘制了那么多舞蹈，给谁跳？”
老者很是气愤：“这种瞎编的人中国外国都有，我听说，外国有个作曲家写了个挺欢快、挺好听的曲子，有人就硬说他这么高兴是因为头一年他们国的领导人死了。照这么说，我研究音乐舞蹈几十年，中间死过两个皇上，我的这些成就岂不都可以说成是为了庆祝皇上驾崩？”
“您说的对，”旭珍班长表示同意：“我们到现在，还能读到有人说郑和航海没有用，只会耀武扬威，不会经商做生意。”
“你们现代人发射探测器去火星冥王星，难道不是为了探索未知？难道也是没有用？你们去那里难道就是为了经商做生意？”老者说：“在明朝初年科技条件下，人们看西洋，就像你们现在看火星冥王星一样。”
“您说得好。”我忍不住接话：“我回去用您的话去怼那帮人。清朝灭亡那么多年了，旧的误导还没有澄清，有人又编出新的。”
“你是说有人写了篇《挤一挤朱载堉泡沫》？那个人大概是嫌人们对我的介绍会引起大家的民族自豪感，所以先硬说有个泡沫，然后挤一挤。”老者见我们惊讶，狡黠地说：“你们想知道我怎么了解这么多？我经常化身退休老头，到市里图书馆看书上网。那里一茬茬管理员从小姑娘熬成退休老太，大家都奇怪这个老头怎么还这么硬朗。”
“那篇文章我看过，他的意思是没有朱载堉的十二平均律，巴赫也能写出伟大的音乐作品。”泉余室友说：“这就像是说，没有欧冶子在金属冶炼上取得的成就，关公用石头片绑树棍，也能当青龙偃月刀耍。”
“还有更可乐的，”泉余室友说：“我有个中学同学，硬说朱载堉的十二平均律是通过利玛窦从欧洲学的。”
“哈哈，”老者笑道，“欧洲那边过了二十多年才有人头一次提到2的12次方根这个数。过了五十多年才把这个数算对，你让我上哪儿学去？”
“可不是吗，”珍旭班长说：“这中间差着大约半个世纪了。”
“嗯，看到你们能独立思考，老朽甚慰。”老者说，“你们下一站到哪儿去？”
“我们想去访问毕达哥拉斯老先生。”
“好啊。”老者说，耐不住打了个哈欠，“你们先去玩吧，我要睡了，下次咱们再聊。”
“世子老师，您睡吧。”泉余室友说：“这些年真的委屈您了，要不要我们搬块大石头，帮您压着点棺材板？”
“钻你的虫洞去吧。”
4可以有十七平均律吗？
坐进了穿梭机，我还是有个疑问：“朱载堉为什么发现的是十二平均律，而不是，13，14，15等等平均律呢？”
“我对这个问题倒是有个猜测。”泉余室友敲敲座舱的墙板，上面显示出一个表格。“这里是10到18平均律每个音符与‘多’的频率比。”
“我们设计音律的时候，不能无中生有凭空臆想闭门造车，而应该把自然界中已经存在的和谐频率关系包括进来”。泉余室友解释道：“比如说，‘多’，‘咪’，‘嗦’这三个音符，对应于牛角号基频的4，5，6倍频。其中，‘咪’，‘嗦’与‘多’之间的频率比，是 1.25 和 1.5 。”
“经过简单粗暴的计算，我们可以看得出来，只有 12 和 17 平均律可以比较好地近似得到1.5，重现‘嗦’这个音符，其他误差都很大。而可以比较准确地得到 1.25，重现‘咪’的平均律相对多一点，有12，15，16和18。由此可见，能够同时照顾到自然存在的‘咪’和‘嗦’这两个音符的，只有十二平均律。估计就是这个原因，使得十二音音阶系统（不一定是十二平均律）分别在中国和古代希腊独立出现，并且延续至今。”
“嗯，有道理。”
5在维也纳看见十二平均律的美妙
“这样说来，”我还有个疑问：“十二音音阶系统很早以前就出现了，那么，朱载堉算出十二平均律，对世界音乐的影响体现在哪儿呢？”
“我觉得，这种影响主要体现在听觉的领域。”泉余室友说：“就拿键盘乐器来说，确实是在朱载堉出生之前就出现了，但是，每一个键所对应的音高是按照不同的音律调出来的，难免出现类似‘狼五度’这样的问题。十二平均律这样一种定音方法传到欧洲后，键盘还是那个键盘，但每一个键所对应的音高已经不同了。这种变化能够听得见，但却不容易看到。”
“其实也能看到，有了十二平均律，音乐从听觉到视觉都变得更美妙了。”我听到珍旭班长的声音，好像是在一个空旷的音乐厅里回荡。仔细看看，是维也纳金色大厅，已经坐在钢琴边的她，确实让我感觉到了视觉的美妙。
珍旭班长让我和她一起做个实验，我按要求点开手机上一个叫Spectrum View的APP，珍旭班长在钢琴上从低到高把白键与黑键一个挨着一个演奏一遍。APP上记录下了这样一个图，嗯，她说的是美妙其实是这个意思。
这个图里横坐标是时间，纵坐标是频率。我们可以看到，钢琴的声音在谱图上构成了几条完美平滑的指数曲线。我小时候总问一个音符的频率是多少赫兹，十二平均律给了我们一个非常简单的公式，从音符A数，第n个音符的频率为：
从图里我们看到，每次按下钢琴的一个键，都会产生基频和二次三次等倍频，基频和每个倍频都分别构成一条完美平滑的指数曲线。如果钢琴不是按十二平均律调出来的，这些曲线就会多少显得有点坑坑洼洼的。
珍旭班长从钢琴边站起来，音乐厅瞬间变成了一个展览厅。这里是维也纳技术博物馆，珍旭班长指着两件展品让我看。
早期人们发明的键盘一直流传到现在，虽然也有12个键，但是这12个键的地位却不是等同的。它们看上去是以七个白键为主，后来在中间插进了五个黑键。这种设置方法对于转调很不方便，同一个首歌曲，歌唱家唱着嫌高或者嫌低，想降半音或在升半音，钢琴伴奏的指法往往就有不少改动。从另一方面说，由于早期的键盘乐器是用五度相生法或者其他音律调出来的，转了调，有些音之间的频率比会改变，乐曲听起来多少会和原来感觉不同。
在十二平均律普及以后，乐曲转调已经没有了音乐上的障碍，而原来的键盘设计就变成了唯一的障碍。从17世纪中叶开始，很多人重新对乐器键盘做优化设计，在1882年，维也纳一位数学与音乐学生Paul von Janko发明了这种键盘。
这个设计当中，原来钢琴的白键和黑键，现在被错开行安排，于是所有键的地位都是相同的了。这样，在一个调之下学会一首乐曲，转调的时候，只要把手平行移动就可以了，不需要改变指法。当然，使用这种键盘需要钢琴家重新练习，这也就限制了这种键盘的推广。
哦，维也纳，一个音乐的城市，在这里和珍旭班长独处的时光才是真正的美妙。我刚冒出这样一个念头，就发现一下又回到了灯泡耀眼的穿梭机里。泉余室友在后座装睡，嗯，还算自觉。
（未完待续）
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