整体相对论 | 贤说八道
由朴素的相对论，经伽利略-、狭义-和广义相对论，物理定律的表述已经被要求对任意运动的参照系都是成立的，引力论也成了广义相对论的一部分。那么，相对论还有推广的空间吗？其实，广义相对论的时空依然是有结构的时空，有内禀的度规场gμν。马赫原理由爱因斯坦于1918年首次提出，源于对转动相对性和惯性起源的讨论。马赫原理尽管表述很含糊、细究起来有不少技术性的困难，却提醒我们思考关于时空基本性质的必要性和构建具有更大对称性的原初方程的可能性。整体相对论要求物理的原初方程关于任意相对运动都是等价的，坐标系的选择只是个约定问题，这要求在建构原初方程时要剔除任何的内禀时空结构。整体相对论指向一个基本问题，或许一个物体的惯性是由存在之整体决定的。
撰文 | 曹则贤（中科院物理所研究员）
I see Mach’s greatness in his incorruptible skepticism and independence.
- Albert Einstein
01 两体运动
考察力学的最基本问题——通过万有引力相互作用的两个物体的运动。牛顿力学下的两体问题可以用来模型化行星绕太阳的运动。当然，实际情况是对真实的行星绕太阳运动的研究引导人们得到了万有引力的观念。根据牛顿第二定律，假设两个物体的质量分别为 m 和 M ，且 m << M ，这个两体体系的运动可近似为质量为 m 的物体绕质量为 M 的物体的转动，满足方程
，其中 r 表示两物体间的距离，t 是时间。接下来就是解二阶微分方程，得出质量为 m 的物体的运动轨迹是一个绕质量为 M 的物体的圆锥曲线，云云。
不过，且慢。在仅由两个物体构成的世界里，距离（位置）是什么？时间是什么？它们是如何度量的？如果我们愿意再深入一点思考的话，在仅由两个物体构成的世界里质量又是什么？这些我们学习时随便就接受了的观念，逃不过一些习惯具有批判性思维之人的注意。这些人包括但不限于牛顿、马赫、爱因斯坦等。马赫说，从经验得来的物理概念必须为其正当性作辩护。空间、时间、惯性，这些在建立物理学（方程）时作为基本出发点的概念，需要最严格的思考与批判。
02 牛顿的水桶实验
牛顿于1689年描述了他对水桶实验的观察。一只半满的水桶，静止时水面是平的。在接下来转动（spinning）水桶的不同阶段，大致可观察到如下现象：1）水桶开始转动，水也跟着转动，水贴着桶壁的地方会升高，表面变成凹的；2）水桶和水同步转动（相对静止）时，水面是凹的；3）水桶停止转动（相对大地是静止的），水（相对于水桶）继续转动，水面保持是凹的。现在的问题是，水面为什么变凹了？答案是因为水面转动起来才变凹的。但是，这转动是相对于什么的转动呢？刚开始时，水桶转动而水尚未动时，水面是平的；水桶和水都转动（相对静止）时，水面是凹的；等到后来水桶停下来，而水继续转动时，水面保持是凹的。显然，水面是凹的这个事实不是因为水相对于水桶的转动！后来我们知道，这里牛顿发现的是，转动物体之间不只有静的万有引力（static gravitation），还有一个拖曳效应（dragging effect）。
牛顿的水桶实验
牛顿进一步设想，在深空中观察一根绳两头系着两块石头，让这样的体系绕中心转动起来（类似杂技演员玩水流星）。转动越快，绳子会绷得越紧。但是，空旷的空间里没有任何参照物可用来定义这个转动。那总得有什么东西可用来标志这个转动啊，毕竟绳子的紧张状态是不同的。牛顿说，那就是绝对空间。空间是个整体性概念（entity）。牛顿的论证有个明显的漏洞，就是不存在这样的孤立体系。宇宙就是作为一个整体在那儿的，宇宙里的一切现象就应该从存在出发加以理解。
莱布尼茨就不同意牛顿的观点。在莱布尼茨看来，位置是相对的，运动的各个特征都是相对的。空间不是个整体性概念，空间只是提供了编码（encoding）物体间相互关系的工具。笔者猜测，这是不是说，运动的特征是相对的，描述一个运动（的相对性），也许局部宇宙提供的背景就足够了？
03爱因斯坦的马赫原理
马赫（Ernst Mach, 1838-1916）是一个极具批判精神的科学家，他的Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch dargestellt（《历史批判地呈现其发展史的力学》）一书影响了爱因斯坦，也就影响了相对论的发展。马赫也不接受绝对时间、绝对空间的概念：“绝对时间不能通过同任何运动的比较被测量，它因此没有任何实际的或科学的价值；没有人敢说关于绝对时间他知道点儿什么。那就是一个毫无根据的形而上的概念。” 马赫的这段话，恰恰坚定了笔者的信念，时间是个导出概念（time is derivative），运动才是本原的、第一位的。马赫认可运动的相对性。1872年马赫断言，是地球在自转，还是整个宇宙背景在转，怎么说都行。这大概就是所谓的转动相对性。1883年马赫详细讨论了牛顿的水桶实验，指出：“牛顿的水桶实验告诉我们，水相对于桶壁的相对转动不会产生可观的向心力，但是相对于地球或者远处其它星体的转动产生了那样的向心力。 毕竟，我们不知道如果桶足够厚实、质量足够大时的结果会怎样” （大意）。后来的发展证明，马赫的这句话是极具洞察力和先见之明的。
1918年，在广义相对论场方程面世两年后，Joseph Lense（1890-1985）和Hans Thirring （1888-1976）得到了转动物体的相对论场方程的近似解，其结果表明旋转的物体会拖曳时空，这被称为参照框架拖曳效应（frame-dragging effect）。Dieter Brill（1933- ）和 Jeffrey Cohen（1940-2003）于1966年证明了在空球壳情形下拖曳效应也会发生。1985年，Herbert Pfister（1936-2015）和Karlheinz Braun（??）的计算表明在空球壳的中心会诱导出足够大的向心力，使得那里的水面尽管不是处于相对远方星体的转动中也是凹的。这样，利用广义相对论终于得到了马赫找寻的那种对称性形式——自转对远处背景转动的对称性。牛顿关于水桶实验的观察至此得到解决。
转动相对性的问题让人们深入思考参照框架的问题。1870年，纽曼（Carl Neumann，1832-1925）提出了一个有趣的问题：“宇宙中一个孤独的星体，其若旋转应是椭球形的，其若静止则是球形的。”爱因斯坦在其1916年的“广义相对论基础”一文中对此问题有进一步的发挥。设想宇宙中有两团流体，从其一的角度看另一个是绕中心连线转动的，若从相对其一静止的体系来做测量的话，则此一流体是球形的，而彼一流体是椭球型的。可是，我们有什么理由认为这两个相互作为参照的流体会有不同的行为呢？爱因斯坦的回答是，原因必然在这个体系之外（Die Ursache mu? also au?erhalb dieses Systems liegen），这两个物体的力学行为完全由远处的质量分布所决定。
1918年爱因斯坦第一次提及马赫原理这一概念——惯性源于物体之间的相互作用（Inertia originates in a kind of interaction between bodies）。时空的度规张量 gμν完全由物体的质量所决定，或者说更一般地由 Tμν所决定。关于马赫原理有不少不同的、很含混的表述，技术细节也不能细究。一般认为，它未能推动物理学向前发展。然而，即便它未建功于理论的创生，却有助于剔除蔓芜的理论杂草。
马赫原理的意义在于关注惯性的起源问题。所谓的惯性，是由存在之整体决定的。 空旷空间里的孤立物体无所谓惯性，有人由此推论宇宙从空间上是闭合的。一个物体的运动状态，是由全体存在作为背景决定的。描述这个运动状态的所有参数都和这个大背景有关。局域物理定律由宇宙的大尺度结构决定，这是爱因斯坦发展广义相对论时的指导因素之一。这种思想，同哲学上的一元论（holism）有关。存在整体如何决定其中之个体的惯性，这是个构建物理理论过程中要回答的哲学问题，也是个数学问题。
04 整体相对论
从相对论的角度来讲，马赫原理意味着整体相对论（total relativity）。整体相对论宣称任何不同的坐标系都具有等价性，坐标系的选择完全是约定层面上的事情。整体相对论要求我们从时空中剔除所有的内禀结构，这比广义相对论又进了一步。广义相对论虽然努力营造相对不同的加速运动物理定律都是成立的理论构架，但广义相对论的时空不是没有结构的, 爱因斯坦把惯性和引力植入了时空。广义相对论包含一个度规场 gμν，告诉我们如何给时间和空间的间隔赋值，ds2=gμνdxμdxν。广义相对论可表述为对称性原理：时空局部总满足洛伦兹对称性。这是广义相对论对时空的先验要求。若要构建整体相对论，我们期望该理论包含比广义相对论等价原理更大的对称性——整体相对性或者对称性，任何不同坐标系都具有物理等价性。这可参照 Kaluza-Klein 理论来理解。Kaluza-Klein是对 (3,1) 时空中理论推广的尝试。在紧致化额外维度回到我们熟悉的 (3,1) 维时空时，高维空间的等价性原理破缺为 (3,1) 维时空版本的低对称性。
如何构造整体相对论的基本方程？无人知晓答案。关于整体相对论，也许唯一要保留的是惯性定理。只有当相对惯性，以及引力，作为物体相互间的效应在一个统一的基础上得到了理解以后，我们才能指望得到惯性定理的正确形式。
05结 语
最后，作为结尾，作者想说出自己的观点如下。全部的存在通过相互作用构成一个整体，这个整体给我们以空间的概念——空间是凸的、闭合的。运动是存在的方式。静止和位置是纯粹抽象的概念。基于空间（位置）和运动，于是有了时间这个衍生概念。用时间和空间来描述运动，由运动的规律推测相互作用，这是自然通过人类做出的聪明选择，也是物理学局限性的来源。存在以最合理的方式存在，存在就是存在。
时间是个导出概念，但却被当作原初概念来构造物理学。在从前这是个令作者感到困扰的矛盾，如今它依然困扰着我，但我却能坦然接受。这样的矛盾在物理学中其实有很多。热机理论是建构在可逆过程上的，可逆过程是其上任何状态都是平衡态的过程，而平衡态之间没有过程。从静电荷间的库仑力出发，有静电学，然后有电动力学，有麦克斯韦方程组直至量子电动力学、规范场论，但我们知道电荷从不静止。牛顿三定律中，惯性定律在前。经典力学认为未置于外力之下的物体的运动是惯性运动，但是且慢，事物都是存在于相互作用中的啊。从存在中隔离出一个作为研究对象的个体，从个体、两体问题出发我们获得了关于相互作用的认识，但是现实中从没有孤立的个体（in reality there is no isolated body）。这些做法矛盾吗？矛盾，但不碍事，一点儿也不妨碍人类构造物理学。
人类，就是这样带着迷惘，一点一点地不断获取对这个包含着人类自身之自然的理解。理解自然，是自然赋予人类的使命。自然产生了试图理解它的人类，这是自然最有趣的地方。
参考文献
1. Ernest Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch dargestellt. F.A. Brockhaus (1883). 英译本为The Science of Mechanics: a critical and historical account of its development, Thomas J. McCormack (translation), The open court publishing Co. (1893).
2. Herbert Thirring, Uber die Wirkung rotierender ferner Massen in der Einsteinschen
Gravitationstheorie. Physikalische Zeitschrift 19, 33-39(1918).
3. Frank Wilczek, Total relativity: Mach 2004, Physics Today, April, 10-11(2004).
本篇取自曹则贤《惊艳一击——数理史上的绝妙证明》一书，外语教学与研究出版社，2019.
《返朴》，致力好科普。国际著名物理学家文小刚与生物学家颜宁联袂担任总编，与几十位学者组成的编委会一起，与你共同求索。二次转载或合作请联系fanpu2019@outlook.com。
