你观察过鹦鹉螺的外壳吗？注意过松果表面的螺纹吗？侦探剧中确定嫌疑人位置的三角定位是什么原理？阿尔法狗的算法与数学有哪些关联？
在史前时代，数学是为了实际应用而出现的。数字被用来计算羊群的数量，几何图形被用来测量田地并绘制道路。自那时以来，很多艺术家、创作者、匠人或者单纯的梦想家和好奇者，在无意中踏入了数学的领地。他们是不自觉的数学家，是人类历史上最早的提问者、最早的研究者、最早的头脑风暴践行者。如果想了解数学到底是什么，我们就必须追随他们的脚步，因为一切正是因为他们而起。
法国概率学博士米卡埃尔·洛奈所著的这本《万物皆数：从史前时期到人工智能，跨越千年的数学之旅》（以下简称《万物皆数》）将引领我们穿越回史前时代、四大文明古国、欧洲中世纪与文艺复兴时期，也会带领我们漫步于巴黎卢浮宫与发现宫。作者巧妙运用历史学的方法，构建了无数历史或现今的场景，将数学从亭台楼阁之上带入我们的日常生活，将数学之美化为一篇篇优美的文字，娓娓道来。
今天刊登的章节取自书中第八章“三角原力”，介绍了阿拉伯学者在三角学方面的贡献。微信公号下留言被点赞最多（截至6月15日24点）的四位读者可获赠《万物皆数》一本。
作者 | 米卡埃尔·洛奈
译者 | 孙佳雯
公元762 年，我们又重新回到美索不达米亚平原——所有故事开始的地方。彼时，古巴比伦文明已经作古，只剩下一片断壁残垣，然而，不可思议的研究工作已经在距离此地100千米左右的北部地区展开了。正是在这里，底格里斯河的右岸，阿拔斯王朝的哈里发阿布· 曼苏尔决定建立他的新首都。
此前，阿拉伯帝国刚刚经历了快速扩张的一个世纪。130年前， 即公元632年，34岁的婆罗摩笈多刚刚完成《婆罗摩修正体系》；哈里发们一个接一个地继续着征服世界的征程，从西班牙南部到北非、波斯、美索不达米亚，一直抵达印度河流域。
阿布· 曼苏尔治下的哈里发帝国，幅员超过1000万平方千米。就算在今天， 这样大的领土也算得上世界第二大国，仅次于俄罗斯，但比加拿大、美国或者中国都要大。阿布· 曼苏尔是一位英明的哈里发。为了建造新都城，他请来了阿拉伯世界最优秀的建筑师、工匠和艺术家。他将建筑地点和开工日期的选择，全权委托给了他请来的地理学家和天文学家。
为了打造他梦想中的城市，阿布· 曼苏尔花费了4年时间，征用了超过10万的建筑工人。新首都的特点是它的轮廓——完美的正圆形。城郭由双层的同心圆构成，周长8千米，圆周上均匀分布着112座防御塔楼，同时沿着直径在东南西北四个方向的城墙上开了四扇城门。在城市的中心位置，是兵营、清真寺和哈里发宫殿，宫殿有着漂亮的绿色圆形穹顶，总高度在50米左右，方圆20千米的范围内都能看到。
新城竣工之时，被赋予Madīnat as-Salām之名，意思是“和平之城”。人们也称之为Madīnat al-A nwār，即“光明之城”；或者?simat ad-Dunyā，即“世界的首都”。然而，伴随着阿布· 曼苏尔的这座城市真正被载入史册的，则是另外一个名字：巴格达。
很快，巴格达的人口就达到了数十万。这座城市位于主要贸易路线的交会处，城中的街道上挤满了来自世界各地的客商。货摊上铺满了丝绸、黄金和象牙，空气中充满了香水和香料的味道，城市中的人们低声传唱着来自远方的故事。这是《一千零一夜》和传说故事的时代；是苏丹、大臣与公主的时代；是飞毯、精灵和神灯的时代。
阿布· 曼苏尔和接替他的哈里发们，希望将巴格达建设成一座一流的文化与科学城市。于是，为了吸引那些伟大的学者们前来，哈里发们将使用一个成功性在1000年以前的亚历山大港就已经被证明的“诱饵”：一座图书馆。公元8世纪末期，哈里发哈伦· 拉希德开始创建藏书馆，他希望能够保存那些从古希腊时期、古美索不达米亚时期、古埃及时期以及古印度时期积累下来的知识，并让这些知识真正地“活”过来。
这一时期，大量的书籍被复制并被翻译成了阿拉伯语。彼时，依然还在知识界大量流传的、来自古希腊时期的著作首先被巴格达的学者们翻译成了阿拉伯语。几年之后，欧几里得的《几何原本》已经有若干个阿拉伯语版本问世。人们还翻译了阿基米德的数篇论文（包括《圆的测量》），托勒密的《天文学大成》及丢番图的《算术》。
公元9世纪初期，数学家花拉子米发表了他的重要著作之一《印度数字算术》。在这本书中，他描述了来自印度的十进制记数系统。多亏了花拉子米的工作，包括0在内的10个数字从此将传遍阿拉伯世界，进而被全世界的人们所接受。在阿拉伯语中，零写作zifr，意为“空”。在传向欧洲的过程中，这个单词“分裂”为两个部分：一部分变成了意大利语的“zefiro”，后来变成了法语的“zéro”（零）；另一部分变成了拉丁语的“cifra”，后来变成了法语的“chiffre”（数字）。在欧洲，人们忘记了这10个数字符号来源于印度，并称之为“阿拉伯数字”。
公元809年，哈伦· 拉希德去世，他的儿子阿明继承哈里发位。阿明的统治时间并不长，公元813年，他被自己的兄弟马蒙废黜。
传说，有一天晚上，马蒙在梦中见到了亚里士多德来访。这次梦中的会面深深地影响了这位年轻的哈里发，他决定为科学研究事业增加新的推动力，并且随时欢迎世界各地的学者来到他的城市。因此，公元832年，巴格达图书馆成立了一个机构，旨在促进科学知识的保护和发展。这个机构被称为“Bayt al-Hikma”，即“智慧之家”，它独特的运行模式让人联想起了亚历山大港的博物馆。
哈里发马蒙在很大程度上参与了智慧之家的发展。他直接与外国交涉，比如拜占庭帝国，只为了将几本稀有的书籍引进巴格达，并且在巴格达复制和翻译成阿拉伯语；他命令学者们将科学书籍推广到整个哈里发的疆域；他有时甚至亲自参加科学或者哲学的辩论——在智慧之家，这样的辩论每星期至少有一次。
几个世纪之后，巴格达的智慧之家将会“散布”到整个阿拉伯世界。许多其他城市也将建设起自己的图书馆和专门招待学者的机构，其中最有影响力也最活跃的例子，包括公元10世纪安达卢西亚的科尔多瓦城、公元11世纪埃及的开罗城、公元14世纪位于现今摩洛哥的非斯城。
应该说，科学的这种从一个中心向地方分散的过程，在很大程度上因为一个来自中国的发明而变得更加容易，那就是纸。纸的到来几乎是一个偶然，那是在公元751年，在现今哈萨克斯坦地区爆发的怛罗斯之战的过程中实现的。[1]纸让书籍更容易被复制和运输，从此，人们不再需要亲自前往巴格达，也能了解在数学、天文学和地理学方面最前沿的新发现。伟大的科学家们也能够在阿拉伯帝国的各个角落进行自己的研究、创作出革命性的新作品。
阿兰布拉宫的密铺
那些人类历史上伟大的灵魂在智慧之家内创造数学史的时候，在巴格达和其他阿拉伯城市的阡陌小巷中，历史通过另外一种方法继续着。原则上，伊斯兰教禁止在清真寺或者其他宗教场所出现人类或者动物的肖像。因此，为了恪守这一禁令，穆斯林艺术家们在装饰性几何图案的设计和发展中，展现出了令人惊叹的创造力。
你应该还记得定居于美索不达米亚平原的古代部落中，第一批设计出花纹来装饰陶罐的那些工匠们。他们在不知不觉中发现了全部7种类型的腰线画法。那么，如果说一条腰线是在一个方向上重复某一图案的话，我们应该也可以想象在两个方向上重复这个图案，也就是铺满整个表面。这就是我们所说的“密铺”。巴格达与其他伊斯兰城市的街道将逐渐地换上华丽的几何新装，这将成为伊斯兰艺术制造的标志之一。
样式简单的密铺
样式复杂的密铺
不久之后，数学家们将会成功地证明，存在且只存在17种类型的几何密铺，所有的密铺都是其中某一种类型的几何形变。而每一个类别的密铺，都能产生无数种不同的变体密铺。阿拉伯艺术家们在不知道这个定理的情况下，发现了全部17 种类型的密铺，并且巧妙地将它们运用到建筑设计中，如同将它们运用到日常生活或者艺术装饰之中一样。
在安达卢西亚的首府格拉纳达，阿兰布拉宫是中世纪的伊斯兰世界在西班牙留下的引人注目的古迹之一。每一年，都有超过200万的游客到此参观， 而很少有人知道的是，对于数学家来说，这座宫殿享有着特殊的声誉。事实上，阿兰布拉宫之所以声名在外，是因为在它的内部，从花园到大厅当中，能够找到全部17 种类型的密铺——虽然有的时候需要花点儿工夫去“挖掘”。
所以，如果未来的某一天你来到格拉纳达，你知道不可错过的是什么了吧。
让我们在巴格达再多停留片刻，推开智慧之家的大门，看看里面到底有什么。这些阿拉伯的数学家们，在为我们精心创造什么样的新数学呢？在图书馆书架上堆放着的那些刚刚写好的新书，又是关于什么的呢？
在这一时期，发展最为迅速和成熟的学科之一是三角学，也就是关于测量三角形的研究。乍一看，这似乎令人有点儿失望：古代人已经对三角形做了研究，毕达哥拉斯定理就是证据。然而，阿拉伯人将他们对三角学的研究发展到了极致，使之成为一门非常精确的学科，阿拉伯数学家们得出的诸多结论，到今天我们依然在使用。
与人们想象中的可能有所不同，三角形并不总是那么容易理解的，在古典时代末期的时候，有很多方面还有待厘清。为了了解一个三角形，我们需要弄清楚它的6个主要信息：三条边的边长和三个角的度数。
然而，在实际工作中使用三角学测量的时候，测量两个方向的夹角往往比测量三角形两个顶点之间的距离更加容易。天文学就是一个最明显的例子。我们会观察夜空中的星星，但是两颗星星之间的距离是非常难以确定的，有的时候，人们不得不等上几个世纪来找到答案；而另一方面，测量这些星星彼此之间或者与地平线之间构成的角度就简单得多了，一个简单的八分仪——六分仪的前身——就足够了。同理，一位想要绘制地图的地理学家会发现，他可以很容易地测量出由三座山构成的三角形的三个角的角度。他所需要的不过是一台照准仪（一种带有瞄准系统的量角器）而已。为了给地图定向，只需要一个简单的罗盘，就能测量出正北方向和一个给定方向之间的角度。然而，测量给定三座山之间的距离，却需要一场沉闷无聊的旅行以及更加复杂的计算。在这一点上，相信亚历山大大帝和他的土地测量员们是不会反驳我们的！
所以，三角学的目的是这样的：如何在测量尽可能少的距离的前提下，知道关于某个三角形的全部信息？通过这个问题，三角学的学者们发现自己面对的是一个类似于阿基米德早在1000多年前就被问到过的问题。首先，如果我们知道三角形三个角的大小，但是并不知道任意一条边长，我们能够推断这个三角形的形状，但是不能推断它的大小。作为证据，请看下面这组三角形，它们都有同样的内角，但是边长却不尽相同。
然而，这3个三角形却具有相同的比例。比如，如果我们想知道三角形最短的一条边边长除以最长的一条边边长等于多少，就会发现这3个三角形会给出同样的答案，那就是0.64！这就有点儿类似于无论一个圆是大是小，它的周长总是等于直径乘以π。
好吧，其实是差不多0.64，这个数字不过是一个近似值。如同 π 的数值一样，这个数值不可能被精确地计算出来，我们不得不采用它的近似值。如果我们提高计算的精度，会得到0.642或者0.64278，但是这仍然是不精确的。在十进制的记数系统之下，这个数字的小数点之后会有无穷位（即无理数）。如果我们计算这些三角形中的其他边长之间的比例，情况也是一样。因此，我们得出结论，上述3个三角形中，斜边的边长乘以0.766等于较长的那条直角边边长，而较短的直角边乘以1.192也等于较长的那条直角边边长。
因为我们没有办法准确地给出这3个比例的精确值，为了更好地研究它们，数学家们给它们分别起了名字。根据时代和地点的不同，这些称呼也有所不同，但是在今天，我们统一称它们为“余弦”（cos）、“ 正弦”（sin）和“正切”（tan）。它们的变形同样也被发明出来并得到了应用——虽然后来它们又被人们遗忘了。例如，古埃及人曾使用“谢特”（seked）[2]来估计金字塔的斜率；古希腊人使用绳索来测量等腰三角形中的边长比例。
然而，三角形的边长比例将带来一个新的问题。对于每一个三角形来说，边长比例的数值都是不同的。因此，边长比例分别为0.642、0.766和1.192的三角形，只可能是三个内角分别为40°、50°和90°的三角形。换言之，如果我们考察三个内角分别为20°、70 ° 和90°的直角三角形，那么70 °角的余弦值、正弦值和正切值将分别0.342、0.940和2.747！总之，研究三角学的数学家们所面临的任务，比他们想象中的要繁重得多。因为这并不仅仅意味着要找出一个数字，甚至不是要找出三个数字，这意味着要制作出一个完整的列表，计算出关于所有可能的三角形内角的数据！
下面就是一张直角三角形数据表， 列举了一个内角从10 ° 到80 ° 的部分数值。你会注意到， 表格中的三角形都只有一个内角度数被标出来了。事实上，的确没有必要把所有的内角度数都标出来，因为我们可以很容易地算出来：一方面，直角的度数始终是90° ；另一方面，定理指出，三角形三个内角之和为180 °， 因此我们可以推导出第三个角的度数。事实上， 我们甚至都没有必要绘制出一个三角形， 只需要这个给定的内角度数就足以重建三角形。这就是为什么三角函数列表的第一列中往往只给出角度的度数。因此，我们会说，10 ° 角的余弦等于0.9848， 或者50 ° 角的正切等于1.1918。
当然了，一个“完整”的三角函数列表是永远不可能被完成的。我们总是能够对它加以改进，或者找到其中某个比例的更精确的近似值，或者是细化表格中三角形的种类。在上面的表格中，两个临近的角度之间相差10°，但是如果精度能够做到1°或者1/10°，应该会更好。总之，计算出更精细的三角函数表是一个永无止境的任务，因此一代又一代的数学家前仆后继，投身于此。直到20世纪中期，电子计算器的出现，才最终将他们从这种无尽的繁重负担中解脱出来。
毫无疑问，希腊人是人类历史上第一个建立三角函数表的民族。现今流传下来的最古老的三角函数表载于托勒密的《天文学大成》，曾经被公元前2世纪的一位数学家喜帕恰斯借用。公元5世纪末期，印度学者阿耶波多也发表了三角函数表；中世纪时期，生活于公元11世纪的波斯人欧玛尔· 海亚姆和14世纪的阿尔· 卡西也都建立了著名的三角函数表。
对于三角学来说，阿拉伯世界的学者们将起到关键的作用，不仅仅是因为他们撰写出了更精确的三角函数表，还因为他们对于三角函数的应用。阿拉伯学者不但最有效率地使用了三角函数表， 还将三角函数的艺术发展到了顶峰。
1427年， 阿尔· 卡西发表了他的著作Mif tā? al-?isāb，即《算术之钥》。在这本书中，卡西描述了一个从毕达哥拉斯定理推导出来的结论。通过巧妙地运用余弦，卡西最终创造出一条对所有三角形——而不仅仅是直角三角形——都绝对适用的定理。卡西定理的原理基于修正的毕达哥拉斯定理：如果一个三角形不是直角三角形，那么两条较短边边长的平方和就不等于第三条边的平方。然而，只需要添加一个修正项， 这个等式就又会成立了，而这个修正项是通过计算两条较短边边长之间的夹角的余弦得出的。
在卡西发表研究结果之前，他在数学界就已经不是一个籍籍无名的小辈了。1424年，他就因为计算出了π 值小数点后16位数值而在数学界大放异彩。在当时，这可算得上是世界纪录了！但是，纪录存在的意义就是为了被打破[3]，而定理却恰恰相反，它们会永久留存。直到今天，卡西定理依然是经常使用的三角学结论之一。
巴黎左岸。正值六月盛夏，而此刻的我则变身为一个有些特别的导游。这一天，我带领着一个大约20人的旅游团在拉丁区的街道上漫步，追寻数学和数学史的脚步。我们的下一站，是伟大的探险者们的花园。面向北方，可以看见卢森堡公园对称的林荫小径，一行行，一列列，齐齐通往卢森堡宫的方向。面向南方，可以看见巴黎天文台的穹顶，它那浑圆的身躯傲然挺立，俯瞰着脚下的首都。
沿着卢森堡公园的中轴线，我们像走钢索一样，精确地走在了巴黎子午线之上。只要不小心向左边偏一步，我们就踏入了世界的东半球，再朝右边走两步，我们就踏入了世界的西半球。500米开外的地方，巴黎子午线穿过巴黎天文台的正中心，笔直地进入巴黎第14区，然后从蒙苏里公园穿出，就此离开巴黎。接下来，巴黎子午线一路向南，穿越法国广袤的乡村风光，并将西班牙一分为二，然后贯穿整个非洲大陆和南极大洋，最终一头扎入南极点。而在我们身后，巴黎子午线一路向北，沿着蒙马特高地的街道一路攀登，与不列颠群岛和挪威擦肩而过，最终抵达北极点。
想要精确地画出地球经线的路径并不是一件容易的事，因为这需要在大面积的范围内做精密的调查。例如，我们如何能够在不穿越一座大山的情况下，精确地测量出这座山两侧的两个点之间的距离？为了回答这个问题，18世纪初期的学者们用一系列的、从法国南部到北部的虚拟三角形来覆盖巴黎子午线。
三角测量的关键点被选在了海拔较高的地方，比如丘陵、山地或者钟楼，从这些地方出发，人们能够瞄准其他的定点，并测量它们之间的角度。一旦完成这些角度的采集，剩下的只不过是大量地使用阿拉伯人发明的三角学方法，来确定三角形中每一个点的精确位置，而将这些点连接起来，就能测定巴黎子午线。
卡西尼家族是第一批献身于测量巴黎子午线事业的研究者之一。这个家族是一个货真价实的科学世家，以至于人们用命名国王的方式来指代该家族中的成员！乔瓦尼· 多梅尼科，也就是卡西尼一世，是第一代来到法国的意大利移民，1671年巴黎天文台建成后，他出任第一任总监。他的儿子雅克，或称为卡西尼二世，在1712年卡西尼一世去世后接替了他的位置。卡西尼一世和二世最先开始使用三角测量法绘制覆盖巴黎子午线的三角形，这项工作在1718年完成。在他们之后，卡西尼三世（卡西尼二世的儿子，名叫塞萨尔· 弗朗索瓦）也使用了三角测量法，在父亲和祖父测量出的三角形序列的基础上，第一个绘制出了法国整个领土范围内的巴黎子午线。1744年，卡西尼三世发表了他的成果——第一张建立在严谨的科学考察基础上的全法地图。卡西尼三世的儿子让· 多米尼克，也就是卡西尼四世，继承了父亲的事业并将其做了细化，他用三角测量法绘制出了法国每一个地区的地图。
744年的法国地图，上面有卡西尼家族绘制的一系列关键的三角形， 还有巴黎子午线的位置
沿着巴黎子午线一路向前，我们仿佛正在追随着那些建立了三角学基础理论的古代阿拉伯学者的脚步。在地图上，每一个三角形的绘制都需要用到余弦、正弦或者正切。每一个三角形都承载着来自阿尔· 卡西和巴格达第一代三角学学家们的智慧遗产。所有这些数据，都需要科学观测者们在三角函数表的帮助下，花费无数的时间手动计算。
卡西尼家族之后，三角测量法依然被继续使用，直到20世纪人造卫星横空出世。最精确的网络，计数点高达8万个。那些标记着计数点的标志至今仍然可见，它们遍布整个法国领土。在巴黎，你仍然可以找到两个确定巴黎子午线的瞄准点：其中一点在南边的蒙苏里公园中，另外一点在北边的蒙马特高地之上。1994年，以天文学家弗朗索瓦· 阿拉果之名打造的35枚纪念章被安置在巴黎市内的巴黎子午线的35个点上，其中之一就位于卢浮宫内。下次当你在巴黎的街道上漫步的时候，请睁大你的眼睛，说不定能发现一些纪念章呢！
公制（米制）的出现是在法国大革命期间，出于对普及性的考虑，而对于“1 米”长度的界定，正好与巴黎子午线有关。1米恰好等于巴黎子午线长度的四千万分之一（从北极到巴黎再到赤道这一部分长度的千万分之一）。1796年，16个用大理石雕刻的标准米尺被安置在巴黎市的各个角落，任何人都能够前去参考。今天，16个大理石米尺还剩下2个， 其中一个位于卢森堡公园对面的沃日拉尔路上，另外一个位于法国司法部门前的旺多姆广场。
一直到1884年，在美国华盛顿召开的国际本初子午线大会之前，巴黎子午线始终都是重要的参照。然而在那次大会上，巴黎子午线被穿过英国伦敦皇家天文台的格林尼治子午线取代。因为子午线的变换，英国人承诺会调整长度公制，而我们还一直在等待这一刻的到来。
随着电子计算机和人造卫星的到来，三角函数表和实地三角测量法失去了原有的作用。但是，三角学却并没有没落，而是进入了那些处理器的核心部位。三角形们藏了起来，但是它们始终都在那里，没有消失。
看，天文观测台大道上车水马龙，川流不息。现在的汽车通常都装配了全球定位系统，无论何时，汽车的轨迹都由它们所在的位置决定，而它们的位置则由位于太空中的4 颗卫星进行追踪。定位的过程依然需要使用三角学。那些驾驶车辆的司机是否知道，他们的GPS 导航仪发出的“向左转、向右转”的指令，实际上是使用正弦或者余弦计算得出的即时结论呢？
另外，当你观看警匪片或侦探剧的时候，有没有听过电视里某位调查员说，犯罪嫌疑人的电话已经通过三角定位锁定？这种定位之所以能确定一台正在使用的手机的位置，是因为它能测定这部手机距离附近最近的3个信号发射点的距离。这个几何问题的解决不得不依赖于一些三角学公式，而我们的电子计算机能够以迅雷不及掩耳之势计算出所需要的结果。
三角学不仅在现实测量中被使用，还在创建虚拟世界的过程中大放异彩。三维动画电影和视频游戏中，就大量使用了三角学原理。下页图片所示的是由一些几何图形组成的纹理，这些由几何网眼形成的3D结构让人想起卡西尼家族地图上那些奇奇怪怪的三角形。正是这些网状结构，通过变形，使得物体和人物“动”了起来。任何合成图形的计算，比如下面这个犹他茶壶[4]——这是1975年第一批通过计算机建模实现绘制的物体之一，都需要大量的三角学公式的应用。
参考文献
[1] 编注：近年已有学者考证，造纸术经怛罗斯之战西传为误传。造纸术在怛罗斯之战前已通过和平方式从唐属国拔汗那的首府浩罕传入中亚的撒马尔罕。
[2] 译注：金字塔某一面的斜率，在埃及语中也被称为“谢特”（seked），相当于两个高度之间相差 1 肘尺的定点在水平线上投影的距离。
[3] 170年之后，荷兰数学家鲁道夫 · 范 · 科伊伦算出了 π 值小数点后的35位数值。
[4] 译注：或称纽维尔茶壶，是在计算机图形学界广泛采用的标准参照物（有时也是个内行幽默）。其造型来自于生活中常见的造型简单的茶壶，被制成数学模型，外表为实心、柱状和部分曲面。
本文节选自《万物皆数：从史前时期到人工智能，跨越千年的数学之旅》，北京联合出版公司出版。
版权声明：本文由《返朴》原创，欢迎个人转发，严禁任何形式的媒体未经授权转载和摘编。
《返朴》，致力好科普。国际著名物理学家文小刚与生物学家颜宁联袂担任总编，与几十位学者组成的编委会一起，与你共同求索。二次转载或合作请联系fanpu2019@outlook.com。
