数理史上的绝妙证明:电子自旋是相对论性质?

近代物理的两大支柱是量子力学和(狭义)相对论。量子力学和(狭义)相对论是不分家的,它们之间有着千丝万缕的联系,这一点可从电子自旋的相对论性窥见一斑。

撰文 | 曹则贤(中科院物理所研究员)

01

量子力学方程的三个层次

提起量子力学,人们就会想起薛定谔(Erwin Schr?dinger, 1887-1961)方程

,以为薛定谔方程就是量子力学的基本方程。这个看法我曾有过,但我觉得它很不全面,如果不是很不正确的话。薛定谔方程于1925年底由薛定谔构造出来(那是个传奇过程)并用于氢原子问题(相关内容于1926年分四部分发表),求得电子-质子体系中电子的能级满足关系

。这个结果,再现了玻尔原子模型给出的氢原子中电子能级公式,但是更高明。玻尔的氢原子能级公式

是一个量子数 n 的函数,其中量子数 n 来自轨道量子化条件。虽然玻尔的氢原子能级公式很好地解释了氢原子的光谱,但它依然是错的。薛定谔的原子能级

是三个量子数的函数,量子数

是相关联的。薛定谔方程是电子的量子力学方程的第一层次,波函数是单分量的。薛定谔1926年的论文的题目是“作为本征值问题的量子化”,大概到1987年才算有人看出这题目的深意,虽然当时参与协助的外尔(Hermann Weyl)早就明白。

1927年,泡利 (Wolfgang Pauli, 1900-1958)为电子构造了泡利量子力学方程

,这里的哈密顿量描述电子与电磁场之间的相互作用,

,其中(Φ,A)是电磁势,σ是所谓的泡利矩阵(见下文)。泡利矩阵是2×2矩阵,因此此处的波函数必是两分量的,即要求

。泡利量子力学方程是电子的量子力学方程的第二层次,波函数是两分量的,称为旋量(spinor)。两分量波函数足以描述电子这样的自旋为1/2的粒子。

1928年,狄拉克(P. A. M. Dirac, 1902-1984)构建了关于电子的相对论量子力学方程。这其中关键的一步,类似做因式分解 x2+y2= (αx+βy)2,要求 αβ+βα=0,α22=1, 前面的那个反对称条件是非常强的限制。一个合理的选择是α,β应为矩阵。狭义相对论考虑的是四维时空,最简单的α,β应为4×4矩阵。常规的狄拉克方程写法是

,其中

 i=1, 2, 3 ,其中σi是泡利矩阵。鉴于γμ都是4×4矩阵,则此处的波函数是4分量的。狄拉克量子力学方程是电子的量子力学方程的第三层次,它会告诉我们更多关于自然的奥秘。

02

二值问题、自旋与泡利矩阵

原子物理的研究,比如银原子束在非均匀磁场中的分裂问题(图1),原子谱线的双线问题,引出了二值问题(two-valuedness),就是哲学上的一分为二的问题。这个问题的理解最后着落到电子拥有自旋标签这个结论上。自旋的问题博大精深,自旋的发现是一场思维历险,有兴趣的读者可以深入了解一下。如何描述一个二值问题呢? 如果表现的二值是等价的,则表现的是特征值, 用矩阵表示的话,应该用本征值为1和-1的2×2厄密特矩阵来描述。但是,本征值为1和-1那就意味着这矩阵的迹(trace)总为零。如果自旋是类似角动量的物理量的话,那自旋还要满足角动量的代数。

综合这几项考虑,表述的问题那就几乎没有多少选择了。这个描述电子自旋角动量的数学对象,就是泡利矩阵:

泡利矩阵所包含的内容就多了去了, 其中之一是它引领我们认识到,粒子的自旋是相对论性的。

图1. 著名的Stern-Gerlach实验,一束银原子经过非均匀磁场后总是被分为了两束(1922)

03

相对论度规

考察某四维空间,其中的距离由洛伦兹度规定义,即对于矢量 x= (x0,x1,x2,x3) ,其模平方为

。这样的空间就是狭义相对论的闵可夫斯基空间。所谓的洛伦兹变换A,就是保洛伦兹度规的变换,要求保证 |Ax|2=|x|2成立。

群的同构方面的知识,告诉我们这个空间有其它的表示方式。考察洛伦兹群同 SL(2,C) 群之间的同构关系,每个矢量x= (x0,x1,x2,x3) ,可以表示成一个2×2自伴随矩阵(就是厄米特矩阵),

,即这个矩阵的矩阵值再现了闵可夫斯基空间的洛伦兹度规。这个2×2自伴随矩阵一样构成了一个四维矢量空间,其四个正交基为

明眼人可能已经注意到了,σ1,σ2,σ3就是前述的泡利矩阵,而它们出现在闵可夫斯基空间的洛伦兹度规的表示中。这让人们隐约感觉到,自旋与狭义相对论有关。

04

狄拉克方程下的角动量守恒

狄拉克的电子哈密顿量为

。根据我们一直坚信的经典力学和量子力学的信条,一个物理量同哈密顿量之间的量子对易式(经典力学语境下是泊松括号)为零,则该物理量为守恒量。现在考察一个自由电子的角动量算符

(这就是经典的角动量定义)。可计算其任一分量同哈密顿量之间的对易式,

;可见

,也即自由电子的角动量不守恒。这是怎么回事,一个自由的电子怎么可能角动量不守恒呢?

如何消解这个矛盾?若假设电子具有大小?/2的内禀角动量,即自旋角动量矢量为

,则电子的总角动量为J=L+S。考察S的任意分量随时间的变化,发现

。 这样,我们得到了

,即算符 J=L+S 是守恒的。也就是说,若我们认定一个自由的电子其角动量应该是守恒的,那它就应该除了轨道角动

以外,还有个自旋角动量

。这就是人们常说的电子具有内禀角动量?/2,或者说电子是自旋1/2的粒子。在量子力学语境下引入的电子自旋这个概念,竟然凭借相对论性的狄拉克方程获得了存在的合理性。

05

多余的话

有一种说法,近代物理的两大支柱是量子力学和(狭义)相对论。我们看到,量子力学和(狭义)相对论是不分家的。它们有着某些千丝万缕的联系,只是在学问的深处才体现出来。

在给出相应的量子力学方程时,薛定谔1926年39岁,泡利1927年时27岁,狄拉克1928年时26岁,他们除了有极强的物理直觉以外,还有扎实的数学基础。这方面尤以泡利最为突出,他中学毕业时即有足够的数学水平研究广义相对论。泡利引入了泡利矩阵,其实那个矩阵据信在数学里出现过。但是在1925年,海森堡(Werner Heisenberg, 1901-1976)甚至没听说过矩阵,多亏了大师玻恩(Max Born, 1882-1970)敏锐地注意到了海森堡推导的关于谱线强度的内容与矩阵算法有关,这才有了所谓的矩阵力学(量子力学的一个别名)。数学,物理,很难说一个不懂数学的人做的物理算是物理。

关于物理的内容, 一方面描述自旋的泡利矩阵和洛伦兹度规有关系,另一方面(狭义)相对论量子力学方程的哈密顿量不能让自由电子的角动量守恒,除非给电子的角动量加上内禀的角动量?/2,也就是说相对论量子力学方程要求电子有自旋。这两点应该说没有人为地往一起凑的痕迹。巧合指向同一结果,巧合便有了确切的意义。类似的巧合还发生在量子概念引入的过程中。普朗克从瞎猜的熵与内能关系得到了黑体辐射公式, 又从玻尔兹曼的统计物理原理出发得到了黑体辐射公式。两个完全不同的假设,循着完全不同的路径,得到了同一样的公式,那就不是一般的巧合。那里的假设,比如Uν/ hν 为整数的假设,就必须被认真对待了。Uν/ hν 为整数,那hν就是频率为ν的光的能量单元。光的能量有最小单元hν,这个结论吓坏了提出者本人,普朗克自己也没想到啊—普朗克后来一直被誉为“违背自己意愿的革命家!”

笔者还注意到一个问题,电子的量子力学波函数是由1分量而2分量而4分量这么扩展的,想起了数系是由unarion(实数)而binarion(复数)而quaternion(四元数)扩展的。可数还有octonion(八元数)啊,总觉得没有8分量波函数的量子力学方程,量子力学就不完整。量子力学不完整,这世界也不完美。

建议阅读

1. Erwin Schr?dinger,Quantisierung als Eigenwertproblem (量子化是本征值问题), Ann. Phys. 79, 361(1926);79, 489(1926);80, 437(1926);81, 109(1926).

2. Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons (磁性电子的量子力学), Zeitschrift für Physik 43, 601-623(1927) .

3. P. A. M. Dirac, The Quantum Theory of the Electron, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 117 (778), 610. (1928).

4. Sin-itiro Tomonaga, The story of spin, The University of Chicago Press (1997).

5. S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press (1994).

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