文接上回《会通中西的历算家薛凤祚（上）》
话说清初第一畴人薛凤祚在波兰籍传教士穆尼阁的帮助下，于1644年完成中西历学巨著《历学会通》。此书大量运用了当时西方科学界颇为流行的对数。17世纪西方数学界三大成果——对数、微积分和解析几何中，对数最先传入中国。究其原因，一方面是穆尼阁比较了解对数，薛凤祚也深受影响；另一方面，运用对数能节省时间，因而受到清初科学家尤其是畴人们的喜爱。对数的引入，为沉寂了两三百年的中国数学起到了增添新鲜血液的效果，激发了中国数学家的研究兴趣，为中西数学的融会贯通做出了重要贡献。
对数到底有什么魅力？薛凤祚为何要竭尽全力研究对数？他为数学的西学东渐做了哪些贡献？……要揭示这些答案，得从薛凤祚的南京之行谈起。
中西方友聚南京
1652年春，薛凤祚从京城出发，星夜兼程赶往南京，只为拜访西方来的老朋友穆尼阁。此行除了叙旧外，他更想了解西方数学界正流行的新生事物——对数。
现在念过高中数学的人都知道，对数是指数的逆运算，先学指数再学对数，就跟先学乘法再学除法一样自然。比如，5的3次方是125，5的指数是3，数学式为5^3=125；反之，125是5的3次方，125的对数是3，数学式为log5(125)=3。可是在清朝以前，西方科学界没有指数的概念，数学家为了节省天文历法的计算时间发明了对数。从未到国外的薛凤祚早听对数之名，却不知其中原理。当他听闻穆尼阁带着关于对数的著作再来中国后，便心急火燎地赶往南京了。
指数与对数的关系（网络图）
薛凤祚的想法没有错。在南京的传教士住所，穆尼阁热情接待了这位才华横溢且彬彬有礼的中国老友。他先赠送给薛凤祚一部西方流行的专著《奇妙的对数定律说明书》，再结合实例讲起对数的发明故事。“对数的发明，是本世纪西方数学界的一大杰作。”穆尼阁娓娓道来。
原来，50年前，西方自然科学家尤其是天文学家们经常要用到精密而庞大的数值运算。这些繁杂的运算或结果的表述占用了他们很多时间。比如，某两个星球之间距离有几千亿米，这是多少个数相乘的结果；没有工具可查，只有挨个地算。苏格兰数学家约翰·纳皮尔经过20年辛勤研究，终于找到了“求一个大数是某个小数多少次相乘”的简便算法，那就是对数。1614年6月，纳皮尔的数学专著《奇妙的对数定律说明书》在爱丁堡出版。此书深受西方科学家及传教士的喜欢。穆尼阁再次到中国时也带着它。
纳皮尔的杰作《奇妙的对数定律说明书》书影（网络图）
薛凤祚听完故事后，当即表示在天文、历法的计算过程中也遇到过同样的问题。他深信对数在未来的数学乃至科学发展中都将起着更重要的作用。于是，他提出在中国推广对数的想法，并希望得到先生的帮助。穆尼阁爽快答应了。
两年辛勤编两表
薛凤祚推广对数的第一项工作，是翻译西方的对数表。对数表是类似于九九乘法表一样的数学工具，通过查询此表，可以快速知道某数的对数是多少。“今有对数表则省乘除，而况开方、立方、三四五方等法?皆比原法工力，十省六七，且无舛错之患。”他把这句感受记录下来，准备选入所译对数表的序言中。
当时西方研究对数的学者很多，所制的对数表也不少。薛凤祚经过分析，决定主要翻译英国数学家布里格斯和沃拉克的对数表，再用我国传统的五舍六入法进行改编，制成通行版对数表。
经过近两年的编译，薛凤祚在穆尼阁的帮助下完成了两个对数表：《比例对数表》和《四线对数表》。《比例对数表》只有一卷，包括从1到10000的对数值。数值大多是七位数，精确到个位。《四线对数表》是一个关于四个常用三角函数的对数工具表。四线即正弦、余弦、正切、余切。此表序言由穆尼阁口述，薛凤祚执笔，主要介绍对数的定义、计算方法等，及如何用对数求开平方、三次方、四次方等。正文部分共列出16000多个关于常用三角函数的四线对数值，这些数值均保留到小数点后第一位数。
《比例对数表》书影（网络图）
通过两个对数表，中国科学家可以较轻松地解决多个数连乘等问题。尤其是《比例对数表》，因其简洁便于查询得到当时畴人们的喜爱。若干年后，英国著名科学史家李约瑟潜心研究此表后，称它是“中国最早的对数表及其讨论”。
穆尼阁即将离开南京去其它地方传教，薛凤祚也带着书稿和愉快的心情踏上返乡之旅。
再创会通对数表
薛凤祚回到家乡后，再次研究《比例对数表》和《四线对数表》，发现它们只是对西方对数知识和对数工具表的翻译，查询对数及一般运用没有大问题，但要实现会通中西数学和方便使用殊为不易。经过反复思考，他决心将西方先进的数学方法和中国传统数学知识结合起来，编写新的对数表。
一年多后的1655年，薛凤祚在金岭镇薛家院子完成了一部关于会通中西数学对数的新著——《比例四线新表》。此表虽仅一卷，但共载对数数值18000余个，及正弦、余弦、正切、余切的函数对数值，所有数值都精算到七至八位数。表序言部分阐明了薛凤祚的写作初衷：“对数者，苦乘除之烦，变为加减，用之作历，省易无讹者也。此算经三变，可称精详简易矣。”
《比例四线新表》（网络图）
为方便计算和运用，《比例四线新表》将西方通用的六十进制改成传统的一百进制。此举虽然过程颇为复杂，但充分体现了薛凤祚为会通中西数学而做的努力。
自此，薛凤祚开始在多种场合使用对数及《比例四线新表》。编写《历学会通》过程中，《比例四线新表》起了很大的作用，《历学会通》几乎各部分知识都涉及对数知识。运用对数的同时，他还将西方对数方法传播给同行和朋友，尤其是年轻人。所传后辈中，以颍川（今河南许昌）人学刘捷、刘拱校最为有名。
薛凤祚的付出没有白费。清朝初年许多科学家都推崇《比例四线新表》，并由此投入到对数的研究中。钱塘籍数学家戴煦多年研究对数，觉得当时西方所传求对数的万法太过繁杂，初学者不易掌握，遂是详细推究薛凤祚的著作，最终发明多种快捷方法，并著成《对数简法》等书。
戴煦《对数简法》书影（网络图）
薛凤祚完成《比例四线新表》时已经56岁，完成《历学会通》时已经65岁。本该是贻养天年、含饴弄孙的年纪，可他老骥伏枥、志在千里，反而收拾行装，奔走在水利治理和地理研究的路上。晚年薛凤祚还做了哪些贡献？后人是怎么评价他的？请看《清初畴人系列之薛凤祚》下集。
【参考资料】
1、专著《独领风骚的古代数学》，李穆南主编，中国环境科学出版社，2006年1月。
2、论文《薛凤祚科学思想研究》，山东大学学报，作者王雪源。
作者：魏德勇
