数理史上的绝妙证明：简单泡泡背后的恐怖数学
两个肥皂泡沾到一起后是什么构型？三个肥皂泡沾到一起后是什么构型？回答这个问题，观察敏锐还会点抽象的物理学家容易得出结论，但若要给出证明数学家也得绞尽脑汁。最小面理论、几何测度论了解下？
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）
1 泡 泡
夏天下雨的时候，雨滴打在积水上有时候会击打出气泡（bubble）来。气泡刚产生时会四下游移，然后没过多久就啵的一声破裂了。这说明气泡的产生和维持都是需要满足某些条件的。干净的水不容易产生气泡。气泡内外的压差 △p同界面能γ 和界面几何之间的关系为 △p = γ（1/R1+2/R2），其中 R1，R2是液膜的主曲率半径，γ 是液体的表面张力，又叫表面能。 对于球形气泡 R1=R2=R ，R是气泡的半径，气泡的内外压差为 △p = 2γ/R 。常温下纯水的表面能高达72 mJ/m2，这几乎是液体金属以外的物质能达到的最大值，因此半径在毫米以下的水气泡，其内外压差是大气压量级的。加入肥皂、酒精、草木灰一类的物质能显著降低水的表面能，有助于水泡的产生。吹泡泡大概是最简单的游戏了：向清水里加入一些洗洁精，再找一根吸管，一件能给孩子带来无穷乐趣的玩具就做好了。看着因为吹泡泡而欢呼雀跃的孩子，成年人的心里想必也充满了欢乐。
有些成年人在吹泡泡时，内心充满的除了欢乐还有深刻的数学和物理。 醉心于吹泡泡的大神有著名的物理学家开尔文爵士（Lord Kelvin，1824-1907），那可是热力学的奠基人，熵概念的缔造者。据说其侄女1887年到乡下去看望他时，德高望重的老爵士就在忙着吹泡泡。很多泡泡聚在一起，形成泡沫（foam），见图1。泡沫的整体构型是表面能 （表面积）最小的构型，这是一个我们坚信不疑的物理原理。不知是否是受泡沫的启发，开尔文爵士猜测截角八面体堆积构型的总表面积最小，这即是所谓的开尔文猜想。不过，1993年 Denis Weaire 和 Robert Phelan 找到了一种表面积更小的泡沫结构，从而判定开尔文猜想不成立。这是来自观察肥皂泡沫的一项重要的数学、物理研究。
本篇要介绍的，是关于泡泡的普拉托定理的证明。这是一类看起来简单、直觉上明白其是对的、但是却非常难以证明的著名命题之一。
图1. 泡泡（bubbles）的聚集体是泡沫（foam）
2 关于泡泡的普拉托定理
比利时物理学家普拉托（Joseph Plateau, 1801-1883）是一个醉心于视觉研究和吹泡泡的人（图2）。普拉托是最早认识到视觉暂留的人，其晚年失去了视觉，据说仍指导侄子吹泡泡继续他的研究。他1873年出版的长达450页的《仅置于分子力之下的液体之静力学》一书是关于泡泡研究的经典。作为一个科学家，面对泡-沫 （bubbles and foam）这种人所共知的存在，普拉托看出来了许多很不直观的内容。普拉托其人其事，特别适于用来阐述科学家（依人之本性而非职业而言）同非科学家之间的区别。
图2. 比利时物理学家普拉托
关于泡泡，一个孤立的悬浮气泡，不考虑空气流动或者重力、温度场对液体分布的影响，是球形的。如果许多泡泡漂浮在空中，很可能会发生两个或多个气泡相遇而合并（merge, coalesce） 的情形（图3）。那么，两个气泡相遇其稳定构型是什么样的呢？三个呢？或者笼统地说，气泡团簇 （bubble cluster）的构型会是什么样的呢？一般人很容易想到，若两个气泡是完全等同的，则它们相遇后的构型必定是对称的，因此它们的边界必然是一个平面，两个泡泡各自的形状关于这个平面成镜面对称。然而，我们知道，一个球形气泡其内外压差为 △p = 2γ/R。因为飘在空中的气泡，其外部都是一个大气压，显然气泡越小，其内部压力越大。若一大一小两个气泡相遇，小的气泡会挤压大的气泡，进入大气泡的内部（可能许多人此时的反应是：是吗？ 我没注意啊）以达到一个平衡的构型 （图4），为此气泡内的体积和压力都要调整。
图3. 单个气泡（左图） 与聚在一起的气泡团簇（右图）
普拉托经过多年研究，得到了关于气泡及其合并构型的许多重要结论，可总结为普拉托定理如下：
1. 气泡由完整光滑的曲面（entire smooth surfaces）拼成；
2. 气泡的每一片膜都是常平均曲率曲面 （mean curvature is everywhere constant on any point on the same piece of a film）；
3. 泡泡表面的边界一定是由三表面两两相接构成的三条曲线 （称作普拉托边界）， 其交角为120°，即夹角为 arccos(?1/2) = 120°；
4. 普拉托边界之间相交一定是由四条边界相交构成一个点，四条边界线两两之间的交角都相同，等于正四面体的中心同各顶点连线所成的角，即夹角为arccos(?1/3) = 109.47°。
这四条普拉托定理，除了第一条以外，都不是那么直观，意思是不是寻常人通过观察能总结出来的。普拉托定理第1、2两条谈论的是气泡（团簇）的光滑部分，第3、4两条谈论的是结构中存在的奇性（singularity）问题。普拉托定理的第3、4两条的意思是泡泡有两种相遇的模式，或者说气泡团簇的奇性有两类：要么是三个表面沿一条曲线相遇；要么是六个表面相遇于一点。最重要的是，相遇处相邻面之间的夹角是相等的，分别为120°或者为109.47°。至于证明，我们会发现，这要求很高深的学问，包括微分几何和几何测度论等即便是对数学专业的人也不算容易的学问。不过，泡泡多有趣啊，为了理解泡泡，为了帮助孩子理解泡泡，学点微分几何不是搂草打兔子的事儿吗？
图4. 两个全等气泡合并时，其界面是平面，而大小不等的两个气泡合并时，其界面是个小气泡突入大气泡一方的球帽
3 普拉托定理的证明
普拉托定理证明的关键，是要证明有第3、4两条给出的相遇模式，还要证明此构型相对于变形是稳定的，且在此构型下面积最小。可以想见，这个问题的证明不能一蹴而就，它是一场智慧的接力。先看普拉托定理的第一条，气泡由完整光滑的曲面构成。对于一个自支持（free-standing）的气泡，即悬浮在空中的、单个的气泡，观察告诉我们它是球形的 （图1），此时结构不存在奇性，应该属于最简单的情形。然而，关于这个结论的证明，也有许多可訾议处。一般证明是纯数学角度的，论证给定面积的曲面，球面包裹的体积最大。这个证明据信在亚里士多德的《论天》 （de caelo） 一书里就有。从物理的观点来看，限定一个气泡的条件（忽略重力、温度等因素）是泡内气体的量（而非体积）和外部的环境气压。气体的流动性使得气压各向同性，它注定了气泡膜的构型具有最大的对称性，即球对称性。压力平衡的条件是硬性的，气泡膜的厚度（这是物理问题）会适度调整来达到平衡条件，因此也就调节了气泡内的体积。以气泡内体积恒定的数学证明与物理现实是有出入的。
普拉多问题证明的难点，是不容易做到 without a strong initial assumption on the smoothness and symmetry，即很难做到一开始不对构型的光滑性与对称性做一些强的假设。在数学上，可以把曲面理解为从平面区域（2D domain）向三维空间的映射，变分法是求极值（比如要求面积最小）的方法。但是这个方法有很多弊端，其最大的问题就是缺乏紧致性。如果预先假定肥皂泡是紧致曲面的话, 那么根据曲面微分几何中的阿列克桑德罗夫定理，这曲面必定是一个标准球面。然而，气泡团簇构型是一个含有奇性的结构，比如两气泡相遇后造成的界线，此处曲面发生弯折。可以想见，关于气泡问题证明的首要任务是分析奇性的结构（structure of singularity），并予以分类。此问题已研究过一个多世纪，相关成果也非得自一篇论文。
所幸的是，一个真正科学的问题不会只有一个侧面，它可能会以不同的面目遭遇不同的科学家。1964年，Aladar Heppes 证明了球面上测地线以120°夹角相交（这和普拉托定理的第3、4条有关）的构型只有10种 （图5）可能性。接着，女数学家泰勒（Jean E. Taylor， 1944-） 证明了前三种以外的构型面对变形都是不稳定的，而前三种对应的就是光滑表面和普拉托定理的第3、4条涉及的奇性种类（types of singularity）。泰勒1976年顺着切锥（tangent cone）、关于等周不等式到奇性结构的路子，构造了一个对普拉多问题的证明。如大家可能已经感知的，这个证明是冗长的、且是有些限定的。这个证明利用了 rectifiable current （可求长的流），测度等几何测度论的概念。大致说来，这要用到几何测度论的学问，可分为三部分：切锥分析， 一个微分形式的等周问题不等式的证明，然后从此不等式得到微分结构。其中第一部分证明三维空间中面积最小的锥是Y （半圆盘及其绕直径为轴转120°和240°之构型的交集）， 以及 T（
，其中C是对中心在原点、顶角包括点（3, 0, 0）和
之正四面体之一侧所张的中心锥）。 从这里大家应能看到普拉托定理的影子了。
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图5. 10种球面上以120°相交的测地线构型
4 多余的话
泡泡问题展示了一个非常简单的原理，即物理意义上的表面能最小或者数学意义上的面积最小，然而问题却未必那么简单。从物理的角度来看，哪怕完全不考虑重力、温度等因素的影响，泡泡问题的外部约束也是外部压力恒定，而非数学证明擅长的给定边界的最小曲面问题。对于单个泡泡来说，其构型为球形，此时对称性最大。对称性最大意味着某些物理量取极值。笔者2018年才想到并坚信了这一点 （比如笔者坚信金刚石的极大杨氏模量就与其化学的和电子结构的对称性有关）。以笔者有限的见识，从此角度出发做物理的范式，似乎未见过。
泡泡问题的复杂性源于几何构型变化的本质。肥皂泡沫这种结构是那种几乎处处规则（regular almost everywhere）的结构。那规则的曲面部分可看作是从二维圆盘到三维空间的一个光滑的映射好了，但是，那些不规则的地方，比如两个泡泡的（一维）界线处，就需要特别的描述，比如引入特殊的测度。关于泡泡团簇构型的证明，难就难在这里。为此，数学家不得不准备一门全新的学问。证明一个问题，可能首先需要在别的层次、用别样的眼光看这个问题。
在阅读关于泡泡问题的数学书时，备受煎熬的笔者忽然想到，优秀的数学家应该是典型的一类不能好好说话的人吧，不知道优秀数学家的配偶是否也必须是不能好好说话的那类人？笔者脑中灵光一闪，发明了一个关于数学家的定理: “任何配偶集合非空的数学家都不是合格的数学家，除非其配偶自身是合格的数学家。” 或者换个更强一点的表述，“若任何配偶集合非空的数学家是一个合格的数学家，则其配偶自身必然是合格的数学家。” 五分钟后笔者看到了女数学家泰勒同其第二任丈夫、数学家兼导师Almgren的结婚照。泰勒女士1976年证明普拉托定理的论文就是基于Almgren的理论的。世界太神奇了，笔者提出数学家定理5分钟后就发现了证据。顺便提一句，泰勒女士本科是学化学的，硕士导师是几何大家陈省身先生。
建议
本篇可以和《物理学咬文嚼字》088 Bubble & Foam （泡与沫）对照阅读。
深度阅读
1. Joseph Plateau，Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires （仅置于分子力之下的液体之静力学）, Gauthier-Villars （1873）.
2. Jean E. Taylor, The Structure of Singularities in Soap-Bubble-Like and Soap-Film-Like Minimal Surfaces, Annals of Mathematics, Second Series, 103 （3）, 489-539 （1976）.
3. Cyril Isenberg, The science of soap films and soap bubbles, Dover publications, Inc. （1992）.
4. Frank Morgan, Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide, 3rd edition, Academic press （2000）.
5. 曹则贤，《物理学咬文嚼字》卷四，中国科学技术大学出版社（2019）.
6. Philip Ball, Nature's Patterns, Oxford University Press （2009）.
本篇取自曹则贤《惊艳一击——数理史上的绝妙证明》一书，外语教学与研究出版社，2019.
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